Sætning om positiv energi - Positive energy theorem

Generel relativitet
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu}+\ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c^{4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introduktion Historie Matematisk formulering Test
Grundlæggende begreber Ækvivalensprincip Særlig relativitet Verdens linje Pseudo-Riemannian manifold
Fænomener Kepler problem Gravitationslinse Gravitationsbølger Ramme-træk Geodetisk effekt Begivenhedshorisont Singularitet Sort hul Rumtid Rumtid diagrammer Minkowski rumtid Einstein – Rosen bro
Ligninger Formalisme Ligninger Lineariseret tyngdekraft Einstein feltligninger Friedmann Geodesik Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Formalisme ADM BSSN Post-Newtonian Avanceret teori Kaluza – Klein teori Quantum tyngdekraft
Løsninger Schwarzschild ( interiør ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson -Walker pp-bølge van Stockum støv Weyl − Lewis − Papapetrou
Forskere Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Ny mand Yau Thorne andre
Fysik portal  Kategori
v t e

Den positive energisætning (også kendt som den positive massesætning ) refererer til en samling grundlæggende resultater inden for generel relativitet og differentialgeometri . Dens standardform hævder i store træk, at gravitationsenergien i et isoleret system ikke er negativ, og kun kan være nul, når systemet ikke har nogen gravitationsobjekter. Selvom disse udsagn ofte betragtes som primært fysiske, kan de formaliseres som matematiske sætninger, som kan bevises ved hjælp af teknikker til differential geometri , partielle differentialligninger og geometrisk målingsteori .

Richard Schoen og Shing-Tung Yau , i 1979 og 1981, var de første, der gav beviser for den positive massesætning. Edward Witten gav i 1982 konturerne af et alternativt bevis, som senere blev udfyldt grundigt af matematikere. Witten og Yau blev tildelt Fields -medaljen i matematik til dels for deres arbejde med dette emne.

En upræcis formulering af Schoen-Yau / Witten positive energisætningen siger følgende:

I betragtning af et asymptotisk fladt indledende datasæt kan man definere energimomentum for hver uendelig region som et element i Minkowski-rummet . Forudsat at det indledende datasæt er geodetisk komplet og opfylder den dominerende energitilstand, skal hvert sådant element være i oprindelsens kausal fremtid . Hvis en uendelig region har nul energimomentum, så er det indledende datasæt trivielt i den forstand, at det geometrisk kan indlejres i Minkowski-rummet.

Betydningen af ​​disse udtryk diskuteres nedenfor. Der er alternative og ikke-ækvivalente formuleringer til forskellige forestillinger om energimomentum og til forskellige klasser af indledende datasæt. Ikke alle disse formuleringer er blevet grundigt bevist, og det er i øjeblikket et åbent problem, om ovenstående formulering gælder for indledende datasæt af vilkårlig dimension.

Historisk oversigt

Det originale bevis for sætningen for ADM-masse blev leveret af Richard Schoen og Shing-Tung Yau i 1979 ved hjælp af variationsmetoder og minimale overflader . Edward Witten gav endnu et bevis i 1981 baseret på brugen af spinorer , inspireret af positive energisætninger i forbindelse med overgravitation . En forlængelse af sætningen for Bondi -massen blev givet af Ludvigsen og James Vickers, Gary Horowitz og Malcolm Perry og Schoen og Yau.

Gary Gibbons , Stephen Hawking , Horowitz og Perry beviste forlængelser af sætningen til asymptotisk anti-de Sitter rumtiden og til Einstein-Maxwell teori . Massen af ​​en asymptotisk anti-de Sitter rumtid er ikke-negativ og kun lig nul for anti-de Sitter rumtid. I Einstein -Maxwell -teorien opfylder rumtiden i en rumtid med elektrisk ladning og magnetisk ladning (i gaussiske enheder ) ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle M \ geq {\ sqrt {Q^{2}+P^{2}}},}$

med lighed for Majumdar - Papapetrou ekstreme sorte hulløsninger .

Indledende datasæt

En indledende datasættet består af en Riemannske manifold ( M , g ) og en symmetrisk 2-tensor felt k på M . Den ene siger, at et indledende datasæt ( M , g , k ) :

• er tidssymmetrisk, hvis k er nul
• er maksimal, hvis tr ^g k = 0
• opfylder den dominerende energitilstand, hvis

${\ displaystyle R^{g}-| k | _ {g}^{2}+(\ operatorname {tr} _ {g} k)^{2} \ geq 2 {\ big |} \ operatorname {div} ^{g} kd (\ operatorname {tr} _ {g} k) {\ big |} _ {g},}$

hvor R ^g betegner skalarens krumning af g .

Bemærk, at et tidssymmetrisk indledende datasæt ( M , g , 0) opfylder den dominerende energitilstand, hvis og kun hvis skalarkurvaturen for g er ikke-negativ. Den ene siger, at en Lorentzian manifold ( M , g ) er en udvikling af et indledende datasæt ( M , g , k ), hvis der er en (nødvendigvis rumlignende) overflade indlejring af M i M , sammen med et kontinuerligt enhedens normale vektorfelt, sådan at den inducerede metric er g, og den anden grundform med hensyn til den givne enhed normal er k .

Denne definition er motiveret fra Lorentzian geometri . Givet en Lorentz manifold ( M , g ) af dimension n + 1 og et rumlige nedsænkning f fra en tilsluttet n -dimensional manifold M i M som har en triviel normal bundt, kan man betragte den inducerede riemannsk metriske g = f ^* g samt som den anden grundlæggende form k af f med hensyn til et af de to valg af kontinuerligt enhedens normale vektorfelt langs f . Det tredobbelte ( M , g , k ) er et indledende datasæt. Ifølge Gauss-Codazzi-ligningerne har man

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {G}} (\ nu, \ nu) & = {\ frac {1} {2}} {\ Big (} R^{g}-| k | _ {g}^{2}+(\ operatorname {tr}^{g} k)^{2} {\ Big)} \\ {\ overline {G}} (\ nu, \ cdot) & = d (\ operatorname {tr} ^{g} k)-\ operatorname {div} ^{g} k. \ end {align}}}$

hvor G betegner Einstein tensor Ric ^g - 1/2R ^g g af g og ν betegner den kontinuerlige enhed normale vektorfelt langs f anvendes til at definere k . Så den dominerende energitilstand som angivet ovenfor er i denne Lorentzian -kontekst identisk med påstanden om, at G ( ν , ⋅) , når den ses som et vektorfelt langs f , er tidslignende eller null og er orienteret i samme retning som ν .

Enderne på asymptotisk flade indledende datasæt

I litteraturen er der flere forskellige forestillinger om "asymptotisk flad", som ikke er indbyrdes ækvivalente. Normalt er det defineret i form af vægtede Hölder -mellemrum eller vægtede Sobolev -mellemrum.

Der er dog nogle funktioner, der er fælles for stort set alle tilgange. Man betragter et indledende datasæt ( M , g , k ), som måske eller måske ikke har en grænse; lad n betegne dens dimension. Man kræver, at der er en kompakt delmængde K af M, således at hver tilsluttet komponent i komplementet M - K er diffeomorf til komplementet af en lukket kugle i det euklidiske rum ℝ ⁿ . Sådanne tilsluttede komponenter kaldes enderne af M .

Formelle udsagn

Schoen og Yau (1979)

Lad ( M , g , 0) være et tidssymmetrisk indledende datasæt, der opfylder den dominerende energitilstand. Antag, at ( M , g ) er en orienteret tredimensionel glat Riemannisk manifold-med-grænse, og at hver grænsekomponent har positiv middelkurvatur. Antag, at den har den ene ende, og den er asymptotisk Schwarzschild i følgende betydning:

Antag, at K er en åben forkompakt delmængde af M, så der er en diffeomorfisme Φ: ℝ ³ - B ₁ (0) → M - K , og antag, at der er et tal m, så den symmetriske 2-tensor

${\ displaystyle h_ {ij} = (\ Phi ^{\ ast} g) _ {ij}-\ delta _ {ij}-{\ frac {m} {2 | x |}} \ delta _ {ij}}$

på ℝ ³ - B ₁ (0) er sådan, at for enhver i , j , p , q er funktionerne og alle afgrænsede.${\ displaystyle | x |^{2} h_ {ij} (x),}$ ${\ displaystyle | x |^{3} \ delvis _ {p} h_ {ij} (x),}$${\ displaystyle | x |^{4} \ delvis _ {p} \ delvis _ {q} h_ {ij} (x)}$

Schoen og Yaus sætning hævder, at m skal være ikke -negativ. Hvis derudover funktionerne og er afgrænset for en hvilken som helst så skal m være positiv, medmindre grænsen for M er tom og ( M , g ) er isometrisk til ℝ ³ med dens standard Riemannian -metrik. ${\ displaystyle | x |^{5} \ delvis _ {p} \ delvis _ {q} \ delvis _ {r} h_ {ij} (x),}$ ${\ displaystyle | x |^{5} \ delvis _ {p} \ delvis _ {q} \ delvis _ {r} \ delvis _ {s} h_ {ij} (x),}$${\ displaystyle | x |^{5} \ delvis _ {p} \ delvis _ {q} \ delvis _ {r} \ delvis _ {s} \ delvis _ {t} h_ {ij} (x)}$${\ displaystyle i, j, p, q, r, s, t,}$

Bemærk, at betingelserne på h gør gældende, at h sammen med nogle af dets derivater er små, når x er stort. Da h måler defekten mellem g i koordinaterne Φ og standardrepræsentationen af t = konstant udsnit af metoden Schwarzschild , er disse betingelser en kvantificering af udtrykket "asymptotisk Schwarzschild". Dette kan tolkes rent matematisk som en stærk form for "asymptotisk flad", hvor koefficienten for | x | ⁻¹ del af metricens udvidelse erklæres at være et konstant multiplum af den euklidiske metrik, i modsætning til en generel symmetrisk 2-tensor.

Bemærk også, at Schoen og Yaus sætning, som anført ovenfor, faktisk (trods optrædener) faktisk er en stærk form for "multiple ender" -sagen. Hvis ( M , g ) er en komplet Riemannian manifold med flere ender, gælder ovenstående resultat for enhver enkelt ende, forudsat at der er en positiv middel krumningskugle i hver anden ende. Dette er f.eks. Garanteret, hvis hver ende er asymptotisk flad i ovenstående betydning; man kan vælge en stor koordinatsfære som grænse, og fjerne den tilsvarende rest af hver ende, indtil man har en Riemannisk manifold-med-grænse med en enkelt ende.

Schoen og Yau (1981)

Lad ( M , g , k ) være et indledende datasæt, der opfylder den dominerende energitilstand. Antag at ( M , g ) er en orienteret tredimensionel glat komplet Riemannian manifold (uden grænse); formoder, at den har uendeligt mange ender, som hver især er asymptotisk flad i følgende forstand.

Antag, at det er en åben forkompakt delmængde, der har uendeligt mange tilsluttede komponenter, og for hver er der en diffeomorfisme, så den symmetriske 2-tensor opfylder følgende betingelser: ${\ displaystyle K \ delsæt M}$${\ displaystyle M \ smallsetminus K}$${\ displaystyle M_ {1}, \ ldots, M_ {n},}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle \ Phi _ {i}: \ mathbb {R} ^{3} \ smallsetminus B_ {1} (0) \ til M_ {i}}$${\ displaystyle h_ {ij} = (\ Phi ^{\ ast} g) _ {ij}-\ delta _ {ij}}$

• ${\ displaystyle | x | h_ {ij} (x),}$ ${\ displaystyle | x |^{2} \ delvis _ {p} h_ {ij} (x),}$og er afgrænset for alle${\ displaystyle | x |^{3} \ delvis _ {p} \ delvis _ {q} h_ {ij} (x)}$${\ displaystyle i, j, p, q.}$

Antag også det

• ${\ displaystyle | x |^{4} R^{\ Phi _ {i}^{\ ast} g}}$og er afgrænset for evt${\ displaystyle | x |^{5} \ delvis _ {p} R^{\ Phi _ {i}^{\ ast} g}}$${\ displaystyle p}$
• ${\ displaystyle | x |^{2} (\ Phi _ {i}^{\ ast} k) _ {ij} (x),}$ ${\ displaystyle | x |^{3} \ delvis _ {p} (\ Phi _ {i}^{\ ast} k) _ {ij} (x),}$og for evt${\ displaystyle | x |^{4} \ delvis _ {p} \ delvis _ {q} (\ Phi _ {i}^{\ ast} k) _ {ij} (x)}$${\ displaystyle p, q, i, j}$
• ${\ displaystyle | x |^{3} ((\ Phi _ {i}^{\ ast} k) _ {11} (x)+(\ Phi^{\ ast} k) _ {22} (x) +(\ Phi _ {i}^{\ ast} k) _ {33} (x))}$ er afgrænset.

Konklusionen er, at ADM -energien for hver defineret som ${\ displaystyle M_ {1}, \ ldots, M_ {n},}$

${\ displaystyle {\ text {E}} (M_ {i}) = {\ frac {1} {16 \ pi}} \ lim _ {r \ to \ infty} \ int _ {| x | = r} \ sum _ {p = 1}^{3} \ sum _ {q = 1}^{3} {\ big (} \ delvis _ {q} (\ Phi _ {i}^{\ ast} g) _ { pq}-\ delvis _ {p} (\ Phi _ {i}^{\ ast} g) _ {qq} {\ big)} {\ frac {x^{p}} {| x |}} \, d {\ mathcal {H}}^{2} (x),}$

er ikke -negativ. Ydermere antager derudover, at

• ${\ displaystyle | x |^{4} \ delvis _ {p} \ delvis _ {q} \ delvis _ {r} h_ {ij} (x)}$og er afgrænset for evt${\ displaystyle | x |^{4} \ delvis _ {p} \ delvis _ {r} \ delvis _ {s} \ delvis _ {t} h_ {ij} (x)}$${\ displaystyle i, j, p, q, r, s,}$

antagelsen om, at for nogle betyder, at n = 1 , at M er diffeomorf til ℝ ³ , og at Minkowski -rum ℝ ^3,1 er en udvikling af det oprindelige datasæt ( M , g , k ) . ${\ displaystyle {\ text {E}} (M_ {i}) = 0}$${\ displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, n \}}$

Witten (1981)

Lad være en orienteret tredimensionel glat komplet Riemannian manifold (uden grænse). Lad være en glat symmetrisk 2-tensor på sådan ${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle R^{g}-| k | _ {g}^{2}+(\ operatorname {tr} _ {g} k)^{2} \ geq 2 {\ big |} \ operatorname {div} ^{g} kd (\ operatorname {tr} _ {g} k) {\ big |} _ {g}.}$

Antag, at det er en åben forkompakt delmængde, der har uendeligt mange tilsluttede komponenter, og for hver er der en diffeomorfisme, så den symmetriske 2-tensor opfylder følgende betingelser: ${\ displaystyle K \ delsæt M}$${\ displaystyle M \ smallsetminus K}$${\ displaystyle M_ {1}, \ ldots, M_ {n},}$${\ displaystyle \ alpha = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ alpha}: \ mathbb {R} ^{3} \ smallsetminus B_ {1} (0) \ til M_ {i}}$${\ displaystyle h_ {ij} = (\ Phi _ {\ alpha}^{\ ast} g) _ {ij}-\ delta _ {ij}}$

• ${\ displaystyle | x | h_ {ij} (x),}$ ${\ displaystyle | x |^{2} \ delvis _ {p} h_ {ij} (x),}$og er afgrænset for alle${\ displaystyle | x |^{3} \ delvis _ {p} \ delvis _ {q} h_ {ij} (x)}$${\ displaystyle i, j, p, q.}$
• ${\ displaystyle | x |^{2} (\ Phi _ {\ alpha}^{\ ast} k) _ {ij} (x)}$og er afgrænset for alle${\ displaystyle | x |^{3} \ delvis _ {p} (\ Phi _ {\ alpha}^{\ ast} k) _ {ij} (x),}$${\ displaystyle i, j, s.}$

For hver definerer ADM -energien og det lineære momentum ved ${\ displaystyle \ alpha = 1, \ ldots, n,}$

${\ displaystyle {\ text {E}} (M _ {\ alpha}) = {\ frac {1} {16 \ pi}} \ lim _ {r \ to \ infty} \ int _ {| x | = r} \ sum _ {p = 1}^{3} \ sum _ {q = 1}^{3} {\ big (} \ delvis _ {q} (\ Phi _ {\ alpha}^{\ ast} g) _ {pq}-\ delvis _ {p} (\ Phi _ {\ alpha}^{\ ast} g) _ {qq} {\ big)} {\ frac {x^{p}} {| x |} } \, d {\ mathcal {H}}^{2} (x),}$

${\ displaystyle {\ text {P}} (M _ {\ alpha}) _ {p} = {\ frac {1} {8 \ pi}} \ lim _ {r \ to \ infty} \ int _ {| x | = r} \ sum _ {q = 1}^{3} {\ big (} (\ Phi _ {\ alpha}^{\ ast} k) _ {pq}-{\ big (} (\ Phi _ {\ alpha}^{\ ast} k) _ {11}+(\ Phi _ {\ alpha}^{\ ast} k) _ {22}+(\ Phi _ {\ alpha}^{\ ast} k ) _ {33} {\ big)} \ delta _ {pq} {\ big)} {\ frac {x^{q}} {| x |}} \, d {\ mathcal {H}}^{2 }(x).}$

For hver betragtes dette som en vektor i Minkowski -rummet. Wittens konklusion er, at det for hver nødvendigvis er en fremadrettet pegende ikke-rumlignende vektor. Hvis denne vektor er nul for enhver derefter er diffeomorf til og den maksimale globalt hyperbolske udvikling af den oprindelige datasættet har nul krumning. ${\ displaystyle \ alpha = 1, \ ldots, n,}$${\ displaystyle ({\ text {P}} (M _ {\ alpha}) _ {1}, {\ text {P}} (M _ {\ alpha}) _ {2}, {\ text {P}} ( M _ {\ alpha}) _ {3}, {\ text {E}} (M _ {\ alpha}))}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha,}$${\ displaystyle n = 1,}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3},}$${\ displaystyle (M, g, k)}$

Udvidelser og bemærkninger

Ifølge ovenstående udsagn er Wittens konklusion stærkere end Schoen og Yaus. Imidlertid viser et tredje papir af Schoen og Yau, at deres resultat fra 1981 indebærer Witten's, idet den kun bevarer den ekstra antagelse, der er og er begrænset til enhver. Det skal også bemærkes, at Schoen og Yaus 1981 -resultat er afhængig af deres resultat fra 1979, hvilket er bevist ved modsigelse ; deres forlængelse af deres 1981 -resultat er også ved modsigelse. Derimod er Wittens bevis logisk direkte og viser ADM -energien direkte som en ikke -negativ mængde. Endvidere kan Wittens bevis i sagen uden større indsats udvides til højere dimensionelle manifolder under den topologiske tilstand, at manifolden indrømmer en spin-struktur. Schoen og Yaus resultat og bevis fra 1979 kan udvides til at omfatte enhver dimension mindre end otte. For nylig er Wittens resultat ved hjælp af Schoen og Yau (1981) 's metoder blevet udvidet til den samme kontekst. Sammenfattende: efter Schoen og Yaus metoder er den positive energisætning blevet bevist i dimension mindre end otte, mens den efter Witten er blevet bevist i enhver dimension, men med en begrænsning til indstilling af spin -manifolder. ${\ displaystyle | x |^{4} R^{\ Phi _ {i}^{\ ast} g}}$${\ displaystyle | x |^{5} \ delvis _ {p} R^{\ Phi _ {i}^{\ ast} g}}$${\ displaystyle s.}$${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {g} k = 0}$

Fra april 2017 har Schoen og Yau udgivet et fortryk, der beviser den generelle højere dimensionelle sag i specialtilfældet uden nogen begrænsning af dimension eller topologi. Det er dog endnu ikke (fra maj 2020) vist i et akademisk tidsskrift. ${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {g} k = 0,}$

Ansøgninger

• I 1984 brugte Schoen den positive massesætning i sit arbejde, der fuldførte løsningen af Yamabe -problemet .
• Den positive massesætning blev brugt i Hubert Brays bevis på uligheden Riemannian Penrose .

Referencer

• Schoen, Richard; Yau, Shing-Tung (1979). "Om beviset på den positive masseformodning i generel relativitet". Kommunikation i matematisk fysik . 65 (1): 45–76. doi : 10.1007/bf01940959 . ISSN  0010-3616 . S2CID  54217085 .
• Schoen, Richard; Yau, Shing-Tung (1981). "Bevis for den positive massesætning. II". Kommunikation i matematisk fysik . 79 (2): 231–260. doi : 10.1007/bf01942062 . ISSN  0010-3616 . S2CID  59473203 .
• Witten, Edward (1981). "Et nyt bevis på den positive energisætning". Kommunikation i matematisk fysik . 80 (3): 381–402. doi : 10.1007/bf01208277 . ISSN  0010-3616 . S2CID  1035111 .
• Ludvigsen, M; Vickers, JAG (1981-10-01). "Bondi -massens positivitet". Journal of Physics A: Matematisk og generelt . 14 (10): L389 – L391. doi : 10.1088/0305-4470/14/10/002 . ISSN  0305-4470 .
• Horowitz, Gary T .; Perry, Malcolm J. (1982-02-08). "Gravitationsenergi kan ikke blive negativ". Fysisk gennemgangsbreve . 48 (6): 371–374. doi : 10.1103/physrevlett.48.371 . ISSN  0031-9007 .
• Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1982-02-08). "Bevis på at Bondi -messen er positiv". Fysisk gennemgangsbreve . 48 (6): 369–371. doi : 10.1103/physrevlett.48.369 . ISSN  0031-9007 .
• Gibbons, GW; Hawking, SW; Horowitz, GT; Perry, MJ (1983). "Positive masse sætninger til sorte huller" . Kommunikation i matematisk fysik . 88 (3): 295–308. doi : 10.1007/BF01213209 . MR  0701918 . S2CID  121580771 .

Lærebøger

• Choquet-Bruhat, Yvonne. Generel relativitet og Einstein -ligningerne. Oxford matematiske monografier. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi+785 s. ISBN  978-0-19-923072-3
• Wald, Robert M. Generel relativitet. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1984. xiii+491 s. ISBN  0-226-87032-4