Beregning af variationer - Calculus of variations

Del af en række artikler om
Regning
Grundlæggende sætning Leibniz integreret regel Funktionsgrænser Kontinuitet Middelværdisætning Rolles sætning
Differentiale Definitioner Afledt  ( generaliseringer ) Differentiale uendelig af en funktion i alt Begreber Differentieringsnotation Andet derivat Implicit differentiering Logaritmisk differentiering Relaterede priser Taylors sætning Regler og identiteter Sum Produkt Kæde Strøm Kvotient L'Hôpital's regel Omvendt General Leibniz Faà di Brunos formel Reynolds
Integreret Lister over integraler Integreret transformation Definitioner Antiderivativ Integreret  ( forkert ) Riemann integreret Lebesgue integration Kontur integration Integration af inverse funktioner Integration af Dele Diske Cylindriske skaller Substitution  ( trigonometrisk , Weierstrass , Euler ) Eulers formel Delvise fraktioner Ændrer rækkefølge Reduktionsformler Differentiering under det integrerede tegn Risch algoritme
Serie Geometrisk  ( aritmetisk-geometrisk ) Harmonisk Skiftevis Strøm Binomial Taylor Konvergens test Summand limit (term test) Forhold Rod Integreret Direkte sammenligning Begræns sammenligning Skiftevis serie Cauchy kondens Dirichlet Abel
Vektor Gradient Divergens Krølle Laplacian Retningsbestemt derivat Identiteter Sætninger Gradient Green's Stokes ' Divergens generaliserede Stokes
Multivariabel Formalisme Matrix Tensor Ydre Geometrisk Definitioner Delvist afledt Flere integrerede Linje integreret Overflade integreret Volumen integreret Jacobian Hessian
Specialiseret Brøk Malliavin Stokastisk Variationer
Diverse Precalculus Historie Ordliste Liste over emner Integrationsbi Analyse
v t e

Den calculus varianter er et felt af matematisk analyse , der bruger variationer, som er små ændringer i funktioner og funktionaler , for at finde maksima og minima af funktionaler: kortlægninger fra et sæt af funktioner til de reelle tal . Funktioner udtrykkes ofte som bestemte integraler, der involverer funktioner og deres derivater . Funktioner, der maksimerer eller minimerer funktionaliteter, kan findes ved hjælp af Euler -Lagrange -ligningen i beregningen af ​​variationer.

Et enkelt eksempel på et sådant problem er at finde kurven med den korteste længde, der forbinder to punkter. Hvis der ikke er nogen begrænsninger, er løsningen en lige linje mellem punkterne. Men hvis kurven er begrænset til at ligge på en overflade i rummet, er løsningen mindre indlysende, og muligvis findes der mange løsninger. Sådanne løsninger er kendt som geodesik . Et beslægtet problem udgøres af Fermats princip : lys følger stien til den korteste optiske længde, der forbinder to punkter, hvor den optiske længde afhænger af mediets materiale. Et tilsvarende koncept inden for mekanik er princippet om mindst/stationær handling .

Mange vigtige problemer involverer funktioner af flere variabler. Løsninger af grænseværdiproblemer for Laplace -ligningen opfylder Dirichlet -princippet . Plateau's problem kræver, at man finder en overflade med minimalt areal, der spænder over en given kontur i rummet: En løsning kan ofte findes ved at dyppe en ramme i en opløsning af sæbeskum. Selvom sådanne eksperimenter er relativt lette at udføre, er deres matematiske fortolkning langt fra enkel: Der kan være mere end én lokalt minimerende overflade, og de kan have ikke-triviel topologi .

Historie

Beregningen af ​​variationer kan siges at begynde med Newtons minimale modstandsproblem i 1687, efterfulgt af brachistochron -kurveproblemet rejst af Johann Bernoulli (1696). Det optog straks Jakob Bernoullis og Marquis de l'Hôpitals opmærksomhed , men Leonhard Euler uddybede først emnet fra 1733. Lagrange blev påvirket af Eulers arbejde for at bidrage væsentligt til teorien. Efter at Euler så 1755-værket i den 19-årige Lagrange, droppede Euler sin egen delvist geometriske tilgang til fordel for Lagranges rent analytiske tilgang og omdøbte emnet til beregningen af ​​variationer i hans 1756-foredrag Elementa Calculi Variationum .

Legendre (1786) fastlagde en metode, der ikke var helt tilfredsstillende, til forskelsbehandling af maksima og minima. Isaac Newton og Gottfried Leibniz gav også noget tidlig opmærksomhed på emnet. Til denne forskelsbehandling har Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradsky (1834) og Carl Jacobi (1837) været blandt bidragyderne. Et vigtigt generelt værk er Sarrus (1842), der blev kondenseret og forbedret af Cauchy (1844). Andre værdifulde afhandlinger og erindringer er skrevet af Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) og Carll (1885), men måske er århundredets vigtigste værk Weierstrass . Hans berømte forløb om teorien er epokegørende, og det kan hævdes, at han var den første til at placere den på et fast og ubestrideligt grundlag. Det 20. og 23. Hilbert -problem, der blev offentliggjort i 1900, tilskyndede til yderligere udvikling.

I det 20. århundrede leverede blandt andre David Hilbert , Emmy Noether , Leonida Tonelli , Henri Lebesgue og Jacques Hadamard betydelige bidrag. Marston Morse anvendte beregning af variationer i det, der nu kaldes Morseteori . Lev Pontryagin , Ralph Rockafellar og FH Clarke udviklede nye matematiske værktøjer til beregning af variationer i optimal kontrolteori . Den dynamiske programmering af Richard Bellman er et alternativ til beregningen af ​​variationer.

Ekstrem

Beregningen af ​​variationer vedrører maxima eller minima (samlet kaldet ekstrema ) af funktionaliteter. En funktionel kortlægger funktioner til skalarer , så funktionaliteter er blevet beskrevet som "funktioner af funktioner." Funktioner har ekstrema med hensyn til elementerne i et givet funktionsrum defineret over et givet domæne . En funktionel siges at have en ekstremum ved funktionen, hvis den har det samme tegn for alle i et vilkårligt lille kvarter af Funktionen kaldes en ekstremfunktion eller ekstremal. Extremum kaldes et lokalt maksimum, hvis det er overalt i et vilkårligt lille kvarter af og et lokalt minimum, hvis der. For et funktionsrum med kontinuerlige funktioner kaldes ekstrema af tilsvarende funktionaliteter stærkt ekstrema eller svagt ekstrema , afhængigt af om de første derivater af de kontinuerlige funktioner henholdsvis alle er kontinuerlige eller ej. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle J [y]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Delta J = J [y] -J [f]}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle J [f]}$${\ displaystyle \ Delta J \ leq 0}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle \ Delta J \ geq 0}$

Både stærke og svage ekstremer af funktionaliteter er for et rum med kontinuerlige funktioner, men stærke ekstremer har det ekstra krav, at de første derivater af funktionerne i rummet skal være kontinuerlige. Således er et stærkt ekstremum også et svagt ekstremum, men det modsatte holder måske ikke. At finde stærk ekstrema er vanskeligere end at finde svagt ekstrema. Et eksempel på en nødvendig betingelse , der bruges til at finde svagt ekstrema, er Euler -Lagrange -ligningen .

Euler – Lagrange ligning

At finde ekstrema af funktionaliteter svarer til at finde maksima og minima for funktioner. Maxima og minima for en funktion kan lokaliseres ved at finde de punkter, hvor dens derivat forsvinder (dvs. er lig med nul). Ekstremet af funktionaliteter kan opnås ved at finde funktioner, hvor det funktionelle derivat er lig med nul. Dette fører til løsning af den tilhørende Euler -Lagrange -ligning .

Overvej det funktionelle

${\ displaystyle J [y] = \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} L \ venstre (x, y (x), y^{\ prime} (x) \ højre) \, dx \ ,.}$

hvor

${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$er konstanter ,

${\ displaystyle y (x)}$ er to gange kontinuerligt differentierbar,

${\ displaystyle y^{\ prime} (x) = {\ frac {dy} {dx}},}$

${\ displaystyle L \ venstre (x, y (x), y^{\ prime} (x) \ højre)}$er to gange kontinuerligt differentierbar med hensyn til sine argumenter og${\ displaystyle x, y,}$${\ displaystyle y^{\ prime}.}$

Hvis funktionen opnår et lokalt minimum på og er en vilkårlig funktion, der har mindst et derivat og forsvinder ved endepunkterne og derefter for et vilkårligt tal tæt på 0, ${\ displaystyle J [y]}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle \ eta (x)}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2},}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle J [f] \ leq J [f+\ varepsilon \ eta] \ ,.}$

Udtrykket kaldes variationen af funktionen og er angivet ved${\ displaystyle \ varepsilon \ eta}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ delta f.}$

I stedet for det funktionelle er resultatet en funktion af${\ displaystyle f+\ varepsilon \ eta}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle J [y],}$${\ displaystyle \ varepsilon,}$

${\ displaystyle \ Phi (\ varepsilon) = J [f+\ varepsilon \ eta] \ ,.}$

Da funktionen har et minimum for funktionen har et minimum på og dermed, ${\ displaystyle J [y]}$${\ displaystyle y = f}$${\ displaystyle \ Phi (\ varepsilon)}$${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$

${\ displaystyle \ Phi ^{\ prime} (0) \ equiv \ left. {\ frac {d \ Phi} {d \ varepsilon}} \ right | _ {\ varepsilon = 0} = \ int _ {x_ {1 }}^{x_ {2}} \ venstre. {\ frac {dL} {d \ varepsilon}} \ højre | _ {\ varepsilon = 0} dx = 0 \ ,.}$

Tager det samlede derivat af hvor og betragtes som funktioner i stedet for udbytter ${\ displaystyle L \ venstre [x, y, y^{\ prime} \ højre],}$${\ displaystyle y = f+\ varepsilon \ eta}$${\ displaystyle y^{\ prime} = f^{\ prime}+\ varepsilon \ eta^{\ prime}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle x,}$

${\ displaystyle {\ frac {dL} {d \ varepsilon}} = {\ frac {\ delvis L} {\ delvis y}} {\ frac {dy} {d \ varepsilon}}+{\ frac {\ delvis L } {\ delvis y^{\ prime}}} {\ frac {dy^{\ prime}} {d \ varepsilon}}}$

og fordi    og  ${\ displaystyle {\ frac {dy} {d \ varepsilon}} = \ eta}$${\ displaystyle {\ frac {dy ^{\ prime}} {d \ varepsilon}} = \ eta ^{\ prime},}$

${\ displaystyle {\ frac {dL} {d \ varepsilon}} = {\ frac {\ delvis L} {\ delvis y}} \ eta +{\ frac {\ delvis L} {\ delvis y^{\ prime} }} \ eta ^{\ prime}.}$

Derfor,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} \ venstre. {\ frac {dL} {d \ varepsilon}} \ højre | _ {\ varepsilon = 0} dx & = \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} \ venstre ({\ frac {\ delvis L} {\ delvis f}} \ eta +{\ frac {\ delvis L} {\ delvis f ^{\ prime}}} \ eta ^{\ prime} \ right) \, dx \\ & = \ int _ {x_ {1}} ^{x_ {2}} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f}} \ eta \, dx+\ venstre. {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f^{\ prime}}} \ eta \ højre | _ {x_ {1}}^{x_ {2}} -\ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} \ eta {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f^{\ prime}}}} \, dx \\ & = \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} \ venstre ({\ frac {\ delvis L} {\ delvis f}} \ eta -\ eta {\ frac {d} { dx}} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f^{\ prime}}} \ højre) \, dx \\\ slut {justeret}}}$

hvor når og vi har brugt integration af dele på det andet udtryk. Det andet udtryk på den anden linje forsvinder, fordi ved og pr. Definition. Som tidligere nævnt er venstre side af ligningen også nul, så ${\ displaystyle L \ venstre [x, y, y^{\ prime} \ højre] \ til L \ venstre [x, f, f^{\ prime} \ højre]}$${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$${\ displaystyle \ eta = 0}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

${\ displaystyle \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} \ eta (x) \ venstre ({\ frac {\ delvis L} {\ delvis f}}-{\ frac {d} {dx }} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f^{\ prime}}} \ højre) \, dx = 0 \ ,.}$

Ifølge det grundlæggende lemma for beregning af variationer er integrandens del i parentes nul, dvs.

${\ displaystyle {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f}}-{\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f^{\ prime}}} = 0}$

som kaldes Euler -Lagrange -ligningen . Den venstre side af denne ligning kaldes det funktionelle derivat af og er betegnet${\ displaystyle J [f]}$${\ displaystyle \ delta J/\ delta f (x).}$

Generelt giver dette en andenordens almindelige differentialligning, som kan løses for at opnå ekstremfunktionen Euler – Lagrange-ligningen er en nødvendig , men ikke tilstrækkelig , betingelse for et ekstrem En tilstrækkelig betingelse for et minimum er angivet i afsnittet Variationer og tilstrækkelig betingelse for et minimum . ${\ displaystyle f (x).}$${\ displaystyle J [f].}$

Eksempel

For at illustrere denne proces overveje problemet med at finde den extremal funktion , som er den korteste kurve, der forbinder to punkter og den buelængde af kurven er givet ved ${\ displaystyle y = f (x),}$${\ displaystyle \ venstre (x_ {1}, y_ {1} \ højre)}$${\ displaystyle \ venstre (x_ {2}, y_ {2} \ højre).}$

${\ displaystyle A [y] = \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} {\ sqrt {1+ [y^{\ prime} (x)]^{2}}} \, dx \ ,,}$

med

${\ displaystyle y \,^{\ prime} (x) = {\ frac {dy} {dx}} \ ,, \ \ y_ {1} = f (x_ {1}) \ ,, \ \ y_ {2 } = f (x_ {2}) \ ,.}$

Euler -Lagrange -ligningen vil nu blive brugt til at finde den ekstreme funktion, der minimerer den funktionelle${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle A [y].}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f}}-{\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f^{\ prime}}} = 0}$

med

${\ displaystyle L = {\ sqrt {1+ [f^{\ prime} (x)]^{2}}} \ ,.}$

Da den ikke eksplicit forekommer i det første udtryk i Euler -Lagrange -ligningen forsvinder for alle og dermed, ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L,}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f^{\ prime}}} = 0 \ ,.}$

Erstatter og tager derivatet, ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ {\ frac {f^{\ prime} (x)} {\ sqrt {1+ [f^{\ prime} (x)]^{2}} }} \ = 0 \ ,.}$

Dermed

${\ displaystyle {\ frac {f^{\ prime} (x)} {\ sqrt {1+ [f^{\ prime} (x)]^{2}}}} = c \ ,,}$

for nogle konstante Så ${\ displaystyle c.}$

${\ displaystyle {\ frac {[f^{\ prime} (x)]^{2}} {1+ [f^{\ prime} (x)]^{2}}} = c^{2} \ ,,}$

hvor

${\ displaystyle 0 \ leq c^{2} <1.}$

Løsning, vi får

${\ displaystyle [f^{\ prime} (x)]^{2} = {\ frac {c^{2}} {1-c^{2}}} \,}$

hvilket indebærer det

${\ displaystyle f^{\ prime} (x) = m}$

er en konstant og derfor den korteste kurve, der forbinder to punkter og er ${\ displaystyle \ venstre (x_ {1}, y_ {1} \ højre)}$${\ displaystyle \ venstre (x_ {2}, y_ {2} \ højre)}$

${\ displaystyle f (x) = mx+b \ qquad {\ text {med}} \ \ m = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} \ quad {\ text {og}} \ quad b = {\ frac {x_ {2} y_ {1} -x_ {1} y_ {2}} {x_ {2} -x_ {1}}}}}$

og vi har således fundet den ekstreme funktion, der minimerer den funktionelle, så det er et minimum. Ligningen for en lige linje er Med andre ord, den korteste afstand mellem to punkter er en lige linje. ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle A [y]}$${\ displaystyle A [f]}$${\ displaystyle y = f (x).}$

Beltramis identitet

I fysik problemer kan det være tilfældet, at der betyder integranden er en funktion af og men vises ikke separat. I så fald kan Euler -Lagrange -ligningen forenkles til Beltrami -identiteten${\ displaystyle {\ frac {\ delvis L} {\ delvis x}} = 0,}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f^{\ prime} (x)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle Lf^{\ prime} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f^{\ prime}}} = C \ ,,}$

hvor er en konstant. Venstre side er Legendre transformation af med hensyn til${\ displaystyle C}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle f^{\ prime} (x).}$

Intuitionen bag dette resultat er, at hvis variablen faktisk er tid, indebærer udsagnet , at lagrangianeren er tidsuafhængig. Efter Noeters sætning er der en tilknyttet bevaret mængde. I dette tilfælde er denne mængde Hamiltonian, Legendre -transformationen af ​​Lagrangian, som (ofte) falder sammen med systemets energi. Dette er (minus) konstanten i Beltramis identitet. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ frac {\ delvis L} {\ delvis x}} = 0}$

Euler -Poisson ligning

Hvis afhænger af højere derivater af det er, hvis${\ displaystyle S}$${\ displaystyle y (x),}$

${\ displaystyle S = \ int \ limit _ {a}^{b} f (x, y (x), y^{\ prime} (x), ..., y^{(n)} (x) ) dx,}$

derefter skal opfylde den Euler- Poisson ligning,${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiel f} {\ delvis y}}-{\ frac {d} {dx}} \ venstre ({\ frac {\ delvis f} {\ delvis y^{\ prime}}} \ højre)+...+(-1)^{n} {\ frac {d^{n}} {dx^{n}}} \ venstre [{\ frac {\ delvis f} {\ delvis y^ {(n)}}} \ højre] = 0.}$

Du Bois-Reymonds sætning

Diskussionen har hidtil antaget, at ekstreme funktioner besidder to kontinuerlige derivater, selvom eksistensen af ​​integralet kun kræver første derivater af prøvefunktioner. Betingelsen om, at den første variation forsvinder ved en ekstrem, kan betragtes som en svag form for Euler -Lagrange -ligningen. Teoremet om Du Bois-Reymond hævder, at denne svage form indebærer den stærke form. If har kontinuerligt første og andet derivat med hensyn til alle dets argumenter, og if ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^{2} L} {\ delvis f ' ^{2}}} \ neq 0,}$

har derefter to kontinuerlige derivater, og den opfylder ligningen Euler – Lagrange. ${\ displaystyle f}$

Lavrentiev fænomen

Hilbert var den første til at give gode betingelser for Euler -Lagrange -ligningerne til at give en stationær løsning. Inden for et konveks område og en positiv tre gange differentierbar Lagrangian er løsningerne sammensat af en tællelig samling af sektioner, der enten går langs grænsen eller tilfredsstiller Euler -Lagrange -ligningerne i det indre.

Imidlertid viste Lavrentiev i 1926, at der er omstændigheder, hvor der ikke er en optimal løsning, men man kan komme vilkårligt tæt på ved at øge antallet af sektioner. Lavrentiev -fænomenet identificerer en forskel i det minimale af et minimeringsproblem på tværs af forskellige klasser af tilladte funktioner. For eksempel følgende problem, præsenteret af Manià i 1934:

${\ displaystyle L [x] = \ int _ {0}^{1} (x^{3} -t)^{2} x '^{6}, \,}$

${\ displaystyle {A} = \ {x \ i W^{1,1} (0,1): x (0) = 0, \ x (1) = 1 \}.}$

Det minimerer klart det funktionelle, men vi finder, at enhver funktion giver en værdi, der er afgrænset fra det minimale. ${\ displaystyle x (t) = t^{\ frac {1} {3}}}$${\ displaystyle x \ i W^{1, \ infty}}$

Eksempler (i én-dimension) er traditionelt manifesteret tværs og men Ball og Mizel indkøbt den første funktionelle, der vises Lavrentiev Fænomen tværs og til der er flere resultater, der giver kriterierne for, hvornår fænomenet ikke forekommer - for eksempel 'standard vækst', en Lagrangian uden afhængighed af den anden variabel eller en tilnærmende sekvens, der tilfredsstiller Cesaris tilstand (D) - men resultaterne er ofte særlige og gældende for en lille klasse af funktionaler. ${\ displaystyle W^{1,1}}$${\ displaystyle W^{1, \ infty},}$${\ displaystyle W^{1, s}}$${\ displaystyle W^{1, q}}$${\ displaystyle 1 \ leq p <q <\ infty.}$

Tilknytning til Lavrentiev -fænomenet er frastødningsegenskaben: enhver funktionel visning af Lavrentievs fænomen vil vise den svage frastødningsegenskab.

Funktioner af flere variabler

For eksempel, betegner forskydningen af ​​en membran over domænet i planet, så er dens potentielle energi proportional med dens overfladeareal: ${\ displaystyle \ varphi (x, y)}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle x, y}$

${\ displaystyle U [\ varphi] = \ iint _ {D} {\ sqrt {1+ \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi}} \, dx \, dy. \,}$

Plateau's problem består i at finde en funktion, der minimerer overfladearealet, samtidig med at der forudsættes foreskrevne værdier på grænsen til ; løsningerne kaldes minimale overflader . Euler -Lagrange -ligningen for dette problem er ikke -lineær: ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ varphi _ {xx} (1+ \ varphi _ {y}^{2})+\ varphi _ {yy} (1+ \ varphi _ {x}^{2})-2 \ varphi _ { x} \ varphi _ {y} \ varphi _ {xy} = 0. \,}$

Se Courant (1950) for detaljer.

Dirichlets princip

Det er ofte tilstrækkeligt kun at overveje små forskydninger af membranen, hvis energiforskel fra ingen forskydning er tilnærmet af

${\ displaystyle V [\ varphi] = {\ frac {1} {2}} \ iint _ {D} \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \, dx \, dy. \,}$

Funktionen skal minimeres blandt alle forsøgsfunktioner, der antager foreskrevne værdier på grænsen til If er minimeringsfunktionen og er en vilkårlig glat funktion, der forsvinder på grænsen for den første variation af must forsvinde: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle D.}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle D,}$${\ displaystyle V [u+\ varepsilon v]}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ varepsilon}} V [u+\ varepsilon v] | _ {\ varepsilon = 0} = \ iint _ {D} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx \, dy = 0. \,}$

Forudsat at u har to derivater, kan vi anvende divergenssætningen for at opnå

${\ displaystyle \ iint _ {D} \ nabla \ cdot (v \ nabla u) \, dx \, dy = \ iint _ {D} \ nabla u \ cdot \ nabla v+v \ nabla \ cdot \ nabla u \ , dx \, dy = \ int _ {C} v {\ frac {\ delvis u} {\ delvis n}} \, ds,}$

hvor er grænsen for arklængde langs og er den normale afledning af på Siden forsvinder og den første variation forsvinder, er resultatet ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D,}$ ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ delvis u/\ delvis n}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle C.}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle \ iint _ {D} v \ nabla \ cdot \ nabla u \, dx \, dy = 0 \,}$

for alle glatte funktioner v, der forsvinder på grænsen af Beviset for tilfælde af endimensionelle integraler kan tilpasses denne sag for at vise, at ${\ displaystyle D.}$

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ nabla u = 0 \,}$i ${\ displaystyle D.}$

Vanskeligheden med denne begrundelse er antagelsen om, at minimeringsfunktionen u skal have to derivater. Riemann hævdede, at eksistensen af ​​en smidig minimeringsfunktion blev sikret af forbindelsen med det fysiske problem: membraner antager faktisk konfigurationer med minimal potentiel energi. Riemann kaldte denne idé for Dirichlet -princippet til ære for hans lærer Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Weierstrass gav imidlertid et eksempel på et variationsproblem uden løsning: minimer

${\ displaystyle W [\ varphi] = \ int _ {-1}^{1} (x \ varphi^{\ prime})^{2} \, dx \,}$

blandt alle funktioner, der tilfredsstiller og kan gøres vilkårligt små ved at vælge stykkevis lineære funktioner, der foretager en overgang mellem -1 og 1 i et lille kvarter af oprindelsen. Der er imidlertid ingen funktion, der gør Til sidst blev det vist, at Dirichlets princip er gyldigt, men det kræver en sofistikeret anvendelse af regelmæssighedsteorien for elliptiske partielle differentialligninger ; se Jost og Li – Jost (1998). ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi (-1) =-1}$${\ displaystyle \ varphi (1) = 1.}$ ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W = 0.}$

Generalisering til andre grænseværdiproblemer

Et mere generelt udtryk for en membrans potentielle energi er

${\ displaystyle V [\ varphi] = \ iint _ {D} \ venstre [{\ frac {1} {2}} \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi +f (x, y) \ varphi \ right] \, dx \, dy \,+\ int _ {C} \ venstre [{\ frac {1} {2}} \ sigma (s) \ varphi ^{2}+g (s) \ varphi \ right] \ , ds.}$

Dette svarer til en ekstern kraftdensitet i en ekstern kraft på grænsen og elastiske kræfter med modul, der virker på . Funktionen, der minimerer den potentielle energi uden begrænsning af dens grænseværdier, vil blive betegnet med Forudsat at og er kontinuerlig, betyder regelmæssighedsteori, at minimeringsfunktionen vil have to derivater. Ved at tage den første variation er det ikke nødvendigt at pålægge en grænsebetingelse for stigningen Den første variation af er givet af ${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle D,}$${\ displaystyle g (er)}$${\ displaystyle C,}$${\ displaystyle \ sigma (s)}$${\ displaystyle C.}$${\ displaystyle u.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v.}$${\ displaystyle V [u+\ varepsilon v]}$

${\ displaystyle \ iint _ {D} \ left [\ nabla u \ cdot \ nabla v+fv \ right] \, dx \, dy+\ int _ {C} \ left [\ sigma uv+gv \ right] \, ds = 0. \,}$

Hvis vi anvender divergenssætningen, er resultatet

${\ displaystyle \ iint _ {D} \ left [-v \ nabla \ cdot \ nabla u+vf \ right] \, dx \, dy+\ int _ {C} v \ left [{\ frac {\ delvis u} {\ delvis n}}+\ sigma u+g \ højre] \, ds = 0. \,}$

Hvis vi først sat på grænsen integrerede Vanishes, og vi konkluderer som før, at ${\ displaystyle v = 0}$${\ displaystyle C,}$

${\ displaystyle -\ nabla \ cdot \ nabla u+f = 0 \,}$

in Så hvis vi tillader at antage vilkårlige grænseværdier, indebærer dette, at det skal opfylde grænsebetingelsen ${\ displaystyle D.}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delvis u} {\ delvis n}}+\ sigma u+g = 0, \,}$

on Denne randbetingelse er en konsekvens af den minimerende egenskab af : den pålægges ikke på forhånd. Sådanne forhold kaldes naturlige randbetingelser . ${\ displaystyle C.}$${\ displaystyle u}$

Den foregående begrundelse er ikke gyldig, hvis den forsvinder identisk på I et sådant tilfælde kan vi tillade en prøvefunktion, hvor er en konstant. For en sådan prøvefunktion, ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle C.}$${\ displaystyle \ varphi \ equiv c,}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle V [c] = c \ venstre [\ iint _ {D} f \, dx \, dy+\ int _ {C} g \, ds \ højre].}$

Ved passende valg af kan antage enhver værdi, medmindre mængden inde i beslagene forsvinder. Derfor er variationsproblemet meningsløst, medmindre ${\ displaystyle c,}$ ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ iint _ {D} f \, dx \, dy+\ int _ {C} g \, ds = 0. \,}$

Denne betingelse indebærer, at netto eksterne kræfter på systemet er i ligevægt. Hvis disse kræfter er i ligevægt, har variationsproblemet en løsning, men det er ikke unikt, da der kan tilføjes en vilkårlig konstant. Yderligere detaljer og eksempler findes i Courant og Hilbert (1953).

Eigenvalue problemer

Både endimensionelle og multidimensionale egenværdiproblemer kan formuleres som variationsproblemer.

Sturm – Liouville problemer

Egenværdiproblemet Sturm – Liouville involverer en generel kvadratisk form

${\ displaystyle Q [\ varphi] = \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} \ venstre [p (x) \ varphi^{\ prime} (x)^{2}+q (x ) \ varphi (x)^{2} \ right] \, dx, \,}$

hvor er begrænset til funktioner, der opfylder randbetingelserne ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ varphi (x_ {1}) = 0, \ quad \ varphi (x_ {2}) = 0. \,}$

Lad være en normaliseringsintegral ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle R [\ varphi] = \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} r (x) \ varphi (x)^{2} \, dx. \,}$

Funktionerne og skal være overalt positive og afgrænset fra nul. Det primære variationsproblem er at minimere forholdet blandt alle, der opfylder endepunktsbetingelserne. Det er vist nedenfor, at Euler -Lagrange -ligningen for minimering er ${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle r (x)}$${\ displaystyle Q/R}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle -(pu^{\ prime})^{\ prime}+qu- \ lambda ru = 0, \,}$

hvor er kvoten ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {Q [u]} {R [u]}}. \,}$

Det kan vises (se Gelfand og Fomin 1963), at minimeringen har to derivater og tilfredsstiller Euler -Lagrange -ligningen. Det tilhørende vil blive betegnet med ; det er den laveste egenværdi for denne ligning og randbetingelser. Den tilhørende minimeringsfunktion vil blive betegnet med Denne variationskarakterisering af egenværdier fører til Rayleigh-Ritz-metoden : vælg en tilnærmende som en lineær kombination af basisfunktioner (f.eks. Trigonometriske funktioner) og udfør en endelig-dimensionel minimering blandt sådanne lineære kombinationer. Denne metode er ofte overraskende præcis. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ displaystyle u_ {1} (x).}$${\ displaystyle u}$

Den næstmindste egenværdi og egenfunktion kan opnås ved at minimere under den yderligere begrænsning ${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} r (x) u_ {1} (x) \ varphi (x) \, dx = 0. \,}$

Denne procedure kan udvides til at opnå den fulde sekvens af egenværdier og egenfunktioner til problemet.

Variationsproblemet gælder også for mere generelle randbetingelser. I stedet for at kræve, at det forsvinder ved endepunkterne, må vi ikke pålægge nogen betingelse ved slutpunkterne og sætte ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle Q [\ varphi] = \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} \ venstre [p (x) \ varphi^{\ prime} (x)^{2}+q (x ) \ varphi (x)^{2} \ right] \, dx+a_ {1} \ varphi (x_ {1})^{2}+a_ {2} \ varphi (x_ {2})^{2} , \,}$

hvor og er vilkårlige. Hvis vi sætter den første variation for forholdet er ${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {2}}$${\ displaystyle \ varphi = u+\ varepsilon v}$${\ displaystyle Q/R}$

${\ displaystyle V_ {1} = {\ frac {2} {R [u]}} \ venstre (\ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} \ venstre [p (x) u^{ \ prime} (x) v^{\ prime} (x)+q (x) u (x) v (x)-\ lambda r (x) u (x) v (x) \ right] \, dx+ a_ {1} u (x_ {1}) v (x_ {1})+a_ {2} u (x_ {2}) v (x_ {2}) \ højre), \,}$

hvor λ er givet ved forholdet som tidligere. Efter integration af dele, ${\ displaystyle Q [u]/R [u]}$

${\ displaystyle {\ frac {R [u]} {2}} V_ {1} = \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} v (x) \ venstre [-(pu^{\ prime})^{\ prime}+qu- \ lambda ru \ right] \, dx+v (x_ {1}) [-p (x_ {1}) u^{\ prime} (x_ {1})+ a_ {1} u (x_ {1})]+v (x_ {2}) [p (x_ {2}) u^{\ prime} (x_ {2})+a_ {2} u (x_ {2 })]. \,}$

Hvis vi først kræver, at det forsvinder ved endepunkterne, vil den første variation kun forsvinde for alle sådanne , hvis ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle -(pu^{\ prime})^{\ prime}+qu- \ lambda ru = 0 \ quad {\ hbox {for}} \ quad x_ {1} <x <x_ {2}. \, }$

Hvis den opfylder denne betingelse, forsvinder den første variation kun vilkårligt , hvis ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle -p (x_ {1}) u^{\ prime} (x_ {1})+a_ {1} u (x_ {1}) = 0, \ quad {\ hbox {og}} \ quad p (x_ {2}) u^{\ prime} (x_ {2})+a_ {2} u (x_ {2}) = 0. \,}$

Disse sidstnævnte betingelser er de naturlige randbetingelser for dette problem, da de ikke pålægges prøvefunktioner til minimering, men i stedet er en konsekvens af minimeringen.

Eigenvalue problemer i flere dimensioner

Eigenvalue-problemer i højere dimensioner defineres analogt med det endimensionelle tilfælde. For eksempel givet et domæne med grænse i tre dimensioner, vi kan definere ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle Q [\ varphi] = \ iiint _ {D} p (X) \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi +q (X) \ varphi ^{2} \, dx \, dy \, dz +\ iint _ {B} \ sigma (S) \ varphi ^{2} \, dS, \,}$

og

${\ displaystyle R [\ varphi] = \ iiint _ {D} r (X) \ varphi (X)^{2} \, dx \, dy \, dz. \,}$

Lad være den funktion, der minimerer kvoten uden nogen betingelse foreskrevet på grænsen Euler -Lagrange -ligningen opfyldt af er ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle Q [\ varphi]/R [\ varphi],}$${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle -\ nabla \ cdot (p (X) \ nabla u)+q (x) u- \ lambda r (x) u = 0, \,}$

hvor

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {Q [u]} {R [u]}}. \,}$

Minimeringen skal også tilfredsstille den naturlige grænsetilstand ${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle p (S) {\ frac {\ delvis u} {\ delvis n}}+\ sigma (S) u = 0,}$

på grænsen Dette resultat afhænger af regularitetsteorien for elliptiske partielle differentialligninger; se Jost og Li – Jost (1998) for detaljer. Mange udvidelser, herunder fuldstændighedsresultater, asymptotiske egenskaber ved egenværdierne og resultater vedrørende egenfunktionernes noder findes i Courant og Hilbert (1953). ${\ displaystyle B.}$

Ansøgninger

Optik

Fermats princip siger, at lys tager en vej, der (lokalt) minimerer den optiske længde mellem dets endepunkter. Hvis -koordinaten vælges som parameter langs stien og langs stien, er den optiske længde givet ved ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y = f (x)}$

${\ displaystyle A [f] = \ int _ {x = x_ {0}}^{x_ {1}} n (x, f (x)) {\ sqrt {1+f^{\ prime} (x) ^{2}}} dx, \,}$

hvor brydningsindekset afhænger af materialet. Hvis vi prøver, så er den første variation af (afledt af med hensyn til ε) ${\ displaystyle n (x, y)}$${\ displaystyle f (x) = f_ {0} (x)+\ varepsilon f_ {1} (x)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ delta A [f_ {0}, f_ {1}] = \ int _ {x = x_ {0}}^{x_ {1}} \ venstre [{\ frac {n (x, f_ {0 }) f_ {0}^{\ prime} (x) f_ {1}^{\ prime} (x)} {\ sqrt {1+f_ {0}^{\ prime} (x)^{2}} }}+n_ {y} (x, f_ {0}) f_ {1} {\ sqrt {1+f_ {0}^{\ prime} (x)^{2}}} \ højre] dx.}$

Efter integration af dele af det første udtryk inden for parentes får vi Euler -Lagrange -ligningen

${\ displaystyle -{\ frac {d} {dx}} \ venstre [{\ frac {n (x, f_ {0}) f_ {0}^{\ prime}} {\ sqrt {1+f_ {0} '^{2}}}} \ højre]+n_ {y} (x, f_ {0}) {\ sqrt {1+f_ {0}^{\ prime} (x)^{2}}} = 0 . \,}$

Lysstrålerne kan bestemmes ved at integrere denne ligning. Denne formalisme bruges i forbindelse med Lagrangian optik og Hamiltonian optik .

Snells lov

Der er en diskontinuitet i brydningsindekset, når lys kommer ind i eller forlader en linse. Lade

${\ displaystyle n (x, y) = n _ {(-)} \ quad {\ hbox {if}} \ quad x <0, \,}$

${\ displaystyle n (x, y) = n _ {(+)} \ quad {\ hbox {if}} \ quad x> 0, \,}$

hvor og er konstanter. Så holder Euler -Lagrange -ligningen som før i det område, hvor eller og faktisk stien er en lige linje der, da brydningsindekset er konstant. På skal være kontinuerlig, men kan være diskontinuerlig. Efter integration af dele i de separate regioner og brug af Euler – Lagrange -ligningerne tager den første variation form ${\ displaystyle n _ {(-)}}$${\ displaystyle n _ {(+)}}$${\ displaystyle x <0}$${\ displaystyle x> 0,}$${\ displaystyle x = 0,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f^{\ prime}}$

${\ displaystyle \ delta A [f_ {0}, f_ {1}] = f_ {1} (0) \ venstre [n _ {(-)} {\ frac {f_ {0}^{\ prime} (0^ {-})} {\ sqrt {1+f_ {0}^{\ prime} (0^{-})^{2}}}}-n _ {(+)} {\ frac {f_ {0} ' (0^{+})} {\ sqrt {1+f_ {0}^{\ prime} (0^{+})^{2}}}} \ højre]. \,}$

Faktoren, der multiplicerer, er vinklen sinus for den indfaldende stråle med aksen, og faktoren, der multiplicerer, er vinklen sinus for den brydte stråle med aksen. Snells lov om brydning kræver, at disse vilkår er ens. Som denne beregning viser, svarer Snells lov til forsvinden af ​​den første variation af den optiske sti -længde. ${\ displaystyle n _ {(-)}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n _ {(+)}}$${\ displaystyle x}$

Fermats princip i tre dimensioner

Det er hensigtsmæssigt at bruge vektornotation: lad lad være en parameter, lad være den parametriske repræsentation af en kurve og lad være dens tangentvektor. Kurvens optiske længde er givet ved ${\ displaystyle X = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}),}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle X (t)}$${\ displaystyle C,}$${\ displaystyle {\ dot {X}} (t)}$

${\ displaystyle A [C] = \ int _ {t = t_ {0}}^{t_ {1}} n (X) {\ sqrt {{\ dot {X}} \ cdot {\ dot {X}} }} \, dt. \,}$

Bemærk, at denne integral er invariant med hensyn til ændringer i den parametriske repræsentation af Euler -Lagrange -ligningerne for en minimeringskurve har den symmetriske form ${\ displaystyle C.}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} P = {\ sqrt {{\ dot {X}} \ cdot {\ dot {X}}}}} \, \ nabla n, \,}$

hvor

${\ displaystyle P = {\ frac {n (X) {\ dot {X}}} {\ sqrt {{\ dot {X}} \ cdot {\ dot {X}}}}}. \,}$

Det følger af definitionen, der opfylder ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle P \ cdot P = n (X)^{2}. \,}$

Derfor kan integralet også skrives som

${\ displaystyle A [C] = \ int _ {t = t_ {0}}^{t_ {1}} P \ cdot {\ dot {X}} \, dt. \,}$

Denne form tyder på, at hvis vi kan finde en funktion, hvis gradient er givet på det tidspunkt, er integralet givet ved forskellen på slutpunkterne i integrationsintervallet. Således kan problemet med at studere de kurver, der gør integralet stationært, relateres til studiet af niveauoverfladerne i For at finde en sådan funktion vender vi os til bølge -ligningen, som styrer lysets udbredelse. Denne formalisme bruges i forbindelse med Lagrangian optik og Hamiltonian optik . ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle P,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi.}$

Forbindelse med bølgelegningen

Den bølge ligning for en inhomogen medium er

${\ displaystyle u_ {tt} = c^{2} \ nabla \ cdot \ nabla u, \,}$

hvor er hastigheden, som generelt afhænger af Bølgefronter for lys er karakteristiske overflader for denne partielle differentialligning: de tilfredsstiller ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle X.}$

${\ displaystyle \ varphi _ {t}^{2} = c (X)^{2} \, \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi. \,}$

Vi leder muligvis efter løsninger i formen

${\ displaystyle \ varphi (t, X) = t- \ psi (X). \,}$

I så fald tilfredsstiller ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ psi = n^{2}, \,}$

hvor Ifølge teorien om førsteordens delvise differentialligninger , hvis den derefter opfylder ${\ displaystyle n = 1/c.}$${\ displaystyle P = \ nabla \ psi,}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle {\ frac {dP} {ds}} = n \, \ nabla n,}$

langs et system med kurver ( lysstrålerne ), der er givet af

${\ displaystyle {\ frac {dX} {ds}} = P. \,}$

Disse ligninger til løsning af en førsteordens delvise differentialligning er identiske med Euler-Lagrange-ligningerne, hvis vi foretager identifikationen

${\ displaystyle {\ frac {ds} {dt}} = {\ frac {\ sqrt {{\ dot {X}} \ cdot {\ dot {X}}}} {n}}. \,}$

Vi konkluderer, at funktionen er værdien af ​​det minimerende integral som en funktion af det øvre endepunkt. Det vil sige, at når en familie med minimerende kurver konstrueres, tilfredsstiller værdierne af den optiske længde den karakteristiske ligning, der svarer til bølgelegningen. Derfor er løsning af den tilhørende delvise differentialligning af første orden ækvivalent med at finde familier af løsninger på variationsproblemet. Dette er det væsentlige indhold i Hamilton -Jacobi -teorien , der gælder for mere generelle variationsproblemer. ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle A}$

Mekanik

I klassisk mekanik er handlingen defineret som tidsintegralet af Lagrangian, Lagrangian er energiens forskel, ${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle L.}$

${\ displaystyle L = TU, \,}$

hvor er kinetisk energi i et mekanisk system og dets potentielle energi . Hamiltons princip (eller handlingsprincippet) siger, at bevægelsen af ​​et konservativt holonomisk (integrerbare begrænsninger) mekanisk system er sådan, at handlingen er integreret ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle S = \ int _ {t = t_ {0}}^{t_ {1}} L (x, {\ dot {x}}, t) \, dt}$

er stationær med hensyn til variationer i stien Euler – Lagrange -ligningerne for dette system er kendt som Lagranges ligninger: ${\ displaystyle x (t).}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis {\ punkt {x}}}} = {\ frac {\ delvis L} {\ delvis x}}, \ ,}$

og de svarer til Newtons bevægelsesligninger (for sådanne systemer).

Det konjugerede moment er defineret af ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle p = {\ frac {\ delvis L} {\ delvis {\ punkt {x}}}}. \,}$

For eksempel hvis

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {x}}^{2}, \,}$

derefter

${\ displaystyle p = m {\ dot {x}}. \,}$

Hamiltonian mekanik resultater, hvis de konjugerede momenta introduceres i stedet for ved en Legendre transformation af Lagrangian til Hamiltonian defineret af ${\ displaystyle {\ dot {x}}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle H (x, p, t) = p \, {\ dot {x}}-L (x, {\ dot {x}}, t). \,}$

Hamiltonian er systemets samlede energi: Analogi med Fermats princip tyder på, at løsninger af Lagranges ligninger (partikelbanerne) kan beskrives i form af niveauoverflader af en eller anden funktion af Denne funktion er en løsning af Hamilton – Jacobi -ligningen : ${\ displaystyle H = T+U.}$${\ displaystyle X.}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiel \ psi} {\ delvis t}}+H \ venstre (x, {\ frac {\ partiel \ psi} {\ delvis x}}, t \ højre) = 0. \, }$

Yderligere applikationer

Yderligere anvendelser af beregningen af ​​variationer omfatter følgende:

• Udledningen af køreledningen form
• Løsning på Newtons minimale modstandsproblem
• Løsning på brachistochron -problemet
• Løsning på isoperimetriske problemer
• Beregning af geodesik
• At finde minimale overflader og løse Plateau's problem
• Optimal kontrol

Variationer og tilstrækkelig betingelse til et minimum

Beregning af variationer vedrører variationer af funktionaliteter, som er små ændringer i funktionens værdi på grund af små ændringer i den funktion, der er dens argument. Den første variation er defineret som den lineære del af ændringen i det funktionelle, og den anden variation er defineret som den kvadratiske del.

For eksempel, hvis er en funktionel med funktionen som sit argument, og der er en lille ændring i dens argument fra til hvor er en funktion i det samme funktionsrum, som den tilsvarende ændring i den funktionelle er ${\ displaystyle J [y]}$${\ displaystyle y = y (x)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y+h,}$${\ displaystyle h = h (x)}$${\ displaystyle y,}$

${\ displaystyle \ Delta J [h] = J [y+h] -J [y].}$  

Det funktionelle siges at være differentieret hvis ${\ displaystyle J [y]}$

${\ displaystyle \ Delta J [h] = \ varphi [h]+\ varepsilon \ | h \ |,}$

hvor er en lineær funktionel, er normen for og som Den lineære funktionelle er den første variation af og betegnes med, ${\ displaystyle \ varphi [h]}$${\ displaystyle \ | h \ |}$${\ displaystyle h,}$${\ displaystyle \ varepsilon \ til 0}$${\ displaystyle \ | h \ | \ til 0.}$${\ displaystyle \ varphi [h]}$${\ displaystyle J [y]}$

${\ displaystyle \ delta J [h] = \ varphi [h].}$

Det funktionelle siges at være to gange differentieret hvis ${\ displaystyle J [y]}$

${\ displaystyle \ Delta J [h] = \ varphi _ {1} [h]+\ varphi _ {2} [h]+\ varepsilon \ | h \ |^{2},}$

hvor er en lineær funktionel (den første variation), er en kvadratisk funktionel, og som Den kvadratiske funktionelle er den anden variation af og er betegnet med, ${\ displaystyle \ varphi _ {1} [h]}$${\ displaystyle \ varphi _ {2} [h]}$${\ displaystyle \ varepsilon \ til 0}$${\ displaystyle \ | h \ | \ til 0.}$${\ displaystyle \ varphi _ {2} [h]}$${\ displaystyle J [y]}$

${\ displaystyle \ delta ^{2} J [h] = \ varphi _ {2} [h].}$

Den anden variation siges at være stærkt positiv hvis ${\ displaystyle \ delta ^{2} J [h]}$

${\ displaystyle \ delta ^{2} J [h] \ geq k \ | h \ | ^{2},}$

for alle og for nogle konstante . ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle k> 0}$

Ved hjælp af ovenstående definitioner, især definitionerne af første variation, anden variation og stærkt positiv, kan følgende tilstrækkelige betingelse for et minimum af en funktionel angives.

Se også

Noter

Referencer

Yderligere læsning

• Benesova, B. og Kruzik, M .: "Svag lavere halvkontinuitet af integrerede funktioner og applikationer" . SIAM Review 59 (4) (2017), 703–766.
• Bolza, O .: Foredrag om beregningen af ​​variationer . Chelsea Publishing Company, 1904, tilgængelig på Digital Mathematics -biblioteket. 2. udgave genudgivet i 1961, paperback i 2005, ISBN  978-1-4181-8201-4 .
• Cassel, Kevin W .: Variationsmetoder med applikationer inden for videnskab og teknik , Cambridge University Press, 2013.
• Clegg, JC: Calculus of Variations , Interscience Publishers Inc., 1968.
• Courant, R .: Dirichlets princip, konform kortlægning og minimale overflader . Interscience, 1950.
• Dacorogna, Bernard : " Introduktion " Introduktion til beregningen af ​​variationer , 3. udgave. 2014, World Scientific Publishing, ISBN  978-1-78326-551-0 .
• Elsgolc, LE: Calculus of Variations , Pergamon Press Ltd., 1962.
• Forsyth, AR: Calculus of Variations , Dover, 1960.
• Fox, Charles: An Introduction to the Calculus of Variations , Dover Publ., 1987.
• Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan: Calculus of Variations I and II, Springer-Verlag, ISBN  978-3-662-03278-7 og ISBN  978-3-662-06201-2
• Jost, J. og X. Li-Jost: Calculus of Variations . Cambridge University Press, 1998.
• Lebedev, LP og Cloud, MJ: Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics , World Scientific, 2003, side 1–98.
• Logan, J. David: Applied Mathematics , 3. udgave. Wiley-Interscience, 2006
• Pike, Ralph W. "Kapitel 8: Beregning af variationer" . Optimering til ingeniørsystemer . Louisiana State University . Arkiveret fra originalen 2007-07-05.
• Roubicek, T .: " Beregning af variationer ". Kap.17 i: Matematiske værktøjer til fysikere . (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN  978-3-527-41188-7 , s. 551–588.
• Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations , Dover, 1992.
• Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering , Dover, 1974 (genoptryk af 1952 red.).

eksterne links

• Variationsberegning . Matematikens encyklopædi .
• beregning af variationer . PlanetMath .
• Beregning af variationer . MathWorld .
• Beregning af variationer . Eksempelproblemer.
• Matematik - Beregning af variationer og integrerede ligninger . Foredrag på YouTube .
• Udvalgte papirer om geodesiske felter. Del I , Del II .