ADM-formalisme - ADM formalism

En del af en serie artikler om
Generel relativitetsteori
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introduktion Historie Matematisk formulering Test
Grundlæggende begreber Princippet om relativitet Relativitetsteori Generel kovarians Samtidighed Relativitet af samtidighed Relativ bevægelse Begivenhed Referenceramme Træningsreferenceramme Masse Træningsmasse Hvilestel Center-of-momentum-ramme Krumning Geodesic Geon Ækvivalensprincip Masse i generel relativitet Mass-energi ækvivalens Invariant Invariant masse Rummet symmetrier Særlig relativitet Dobbelt speciel relativitet de Sitter invariant speciel relativitet Skala relativitet Lysets hastighed Tidsafledt Korrekt tid Korrekt længde Længde sammentrækning Handling på afstand Princip for lokalitet Riemannian geometri Energitilstand
Fænomener Gravitoelektromagnetisme Kepler-problem Tyngdekraft Gravitationsfelt Tyngdekraften godt Gravitationslinser Gravitationsbølger Gravitations rødskift Rødskift Blueshift Tidsudvidelse Gravitationel tidsudvidelse Shapiro tidsforsinkelse Gravitationspotentiale Gravitationel kompression Gravitationel sammenbrud Træk i rammen Geodetisk effekt Tilsyneladende horisont Begivenhedshorisont Gravitationel singularitet Nøgen singularitet Sort hul Hvidt hul Rumtid Tidens pil Let kegle Verdenslinje Tredimensionelt rum Fire-dimensionelt rum Plads Tid Manifold Glat manifold Riemannian manifold Konfigurationsplads Statligt rum Faseplads Hilbert plads Euklidisk rum Topologisk rum Topologisk defekt Rumtidsdiagrammer Minkowski rumtid Lorentz skalar Lukket tidlignende kurve (CTC) Ormehul Ellis ormehul
Ligninger Formalismer Ligninger Lineariseret tyngdekraft Einstein feltligninger Friedmann Geodesik Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Krumning invariant (generel relativitet) Lorentz transformation Lorentzian manifold Globalt hyperbolsk manifold Årsagsforhold Årsagsstruktur Formalismer ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Avanceret teori Brans – Dicke teori Kosmisk censurhypotese Kaluza – Klein teori Kvantegravitation Overvægt
Løsninger Relativistisk disk Schwarzschild ( interiør ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-bølge van Stockum støv Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuumopløsning
Sætninger Birkhoffs sætning Gerochs splittede sætning Goldberg – Sachs sætning Lovelocks sætning No-hair sætning Penrose – Hawking singularitetssætninger Positiv energisætning
Forskere Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Ny mand Yau Thorne andre
v t e

Richard Arnowitt , Stanley Deser og Charles Misner på ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation conference, der blev afholdt i november 2009 for at ære 50-årsdagen for deres papir.

Den ADM formalisme (opkaldt efter dets ophavsmænd Richard Arnowitt , Stanley Deser og Charles W. Misner ) er en Hamilton formulering af den generelle relativitetsteori , der spiller en vigtig rolle i kanonisk kvantegravitation og numerisk relativitet . Det blev først udgivet i 1959.

Den omfattende gennemgang af formalismen, som forfatterne offentliggjorde i 1962, er blevet genoptrykt i tidsskriftet General Relativity and Gravitation , mens de originale papirer kan findes i arkiverne til Physical Review .

Oversigt

Formalismen antager, at rumtiden er folieret i en familie af rumlige flader , mærket med deres tidskoordinat , og med koordinater på hver skive afgivet . De dynamiske variabler i denne teori anses for at være den metriske tensor for tredimensionelle rumlige skiver og deres konjugerede momenta . Ved hjælp af disse variabler er det muligt at definere en Hamiltonian og derved skrive bevægelsesligningerne for generel relativitet i form af Hamiltons ligninger . ${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x ^ {i}}$${\ displaystyle \ gamma _ {ij} (t, x ^ {k})}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$

Ud over de tolv variable og er der fire Lagrange multiplikatorer : den bortfalder funktion , , og bestanddele af skift vektorfelt , . Disse beskriver, hvordan hvert af "bladene" fra foliering af rumtiden er svejset sammen. Bevægelsesligningerne for disse variabler kan frit specificeres; denne frihed svarer til friheden til at specificere, hvordan koordinatsystemet skal udformes i rum og tid. ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ displaystyle \ pi ^ {ij}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N_ {i}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$

Notation

De fleste referencer vedtager en notation, hvor firedimensionelle tensorer er skrevet i abstrakt indeksnotation, og at græske indekser er rumtidsindekser, der tager værdier (0, 1, 2, 3) og latinske indekser er rumlige indekser, der tager værdier (1, 2, 3). I afledningen her er et overskrift (4) præpenderet til størrelser, der typisk har både en tredimensionel og en fire-dimensionel version, såsom den metriske tensor til tredimensionelle skiver og den metriske tensor for den fulde fire-dimensionelle rumtid . ${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ displaystyle {^ {(4)}} g _ {\ mu \ nu}}$

Teksten her bruger Einstein notation , hvor summering over gentagne indeks antages.

Der anvendes to typer af derivater: Delderivater betegnes enten af ​​operatøren eller af abonnementer, der er forud for et komma. Kovariantderivater betegnes enten af ​​operatøren eller med abonnementer, der er forud for et semikolon. ${\ displaystyle \ partial _ {i}}$${\ displaystyle \ nabla _ {i}}$

Den absolutte værdi af determinanten for matricen af ​​metriske tensorkoefficienter er repræsenteret af (uden indeks). Andre tensorsymboler skrevet uden indeks repræsenterer sporet af den tilsvarende tensor som f.eks . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ pi = g ^ {ij} \ pi _ {ij}}$

Afledning

Lagrangian formulering

Udgangspunktet for ADM-formuleringen er Lagrangian

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {^ {(4)} R} {\ sqrt {^ {(4)} g}},}$

som er et produkt af kvadratroden af determinanten af den firedimensionelle metriske tensor i den fulde rumtid og dens Ricci-skalar . Dette er Lagrangian fra Einstein – Hilbert-handlingen .

Det ønskede resultat af afledningen er at definere en indlejring af tredimensionelle rumskiver i den fire-dimensionelle rumtid. Metricen af ​​de tredimensionelle skiver

${\ displaystyle g_ {ij} = {^ {(4)}} g_ {ij}}$

vil være de generelle koordinater til en Hamilton-formulering. Den konjugerede momenter kan derefter beregnes som

${\ displaystyle \ pi ^ {ij} = {\ sqrt {^ {(4)} g}} \ left ({^ {(4)}} \ Gamma _ {pq} ^ {0} -g_ {pq} { ^ {(4)}} \ Gamma _ {rs} ^ {0} g ^ {rs} \ right) g ^ {ip} g ^ {jq},}$

ved hjælp af standardteknikker og definitioner. Symbolerne er Christoffelsymboler forbundet med metricen for den fulde firedimensionelle rumtid. Forfaldet ${\ displaystyle {^ {(4)}} \ Gamma _ {ij} ^ {0}}$

${\ displaystyle N = \ left (- {^ {(4)} g ^ {00}} \ right) ^ {- 1/2}}$

og skiftvektoren

${\ displaystyle N_ {i} = {^ {(4)} g_ {0i}}}$

er de resterende elementer i den fire-metriske tensor.

Efter at have identificeret størrelserne til formuleringen, er det næste trin at omskrive Lagrangian med hensyn til disse variabler. Det nye udtryk for Lagrangian

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - g_ {ij} \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} -NH-N_ {i} P ^ {i} -2 \ partial _ {i} \ left (\ pi ^ {ij} N_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ pi N ^ {i} + \ nabla ^ {i} N {\ sqrt {g}} \ højre)}$

er bekvemt skrevet med de to nye mængder

${\ displaystyle H = - {\ sqrt {g}} \ left [^ {(3)} R + g ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2} - \ pi ^ {ij} \ pi _ {ij} \ højre) \ højre]}$

og

${\ displaystyle P ^ {i} = - 2 \ pi ^ {ij} {} _ {; j},}$

som er kendt som henholdsvis Hamilton-begrænsningen og momentum-begrænsningen. Forfaldet og skiftet vises i Lagrangian som Lagrange-multiplikatorer .

Bevægelsesligninger

Selvom variablerne i Lagrangian repræsenterer den metriske tensor på tredimensionelle rum indlejret i den fire-dimensionelle rumtid , er det muligt og ønskeligt at anvende de sædvanlige procedurer fra Lagrangian-mekanik til at udlede "bevægelsesligninger", der beskriver tidsudviklingen for begge metricen og dens konjugerede momentum . Resultatet ${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ displaystyle \ pi ^ {ij}}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} g_ {ij} = {\ frac {2N} {\ sqrt {g}}} \ left (\ pi _ {ij} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi g_ {ij} \ højre) + N_ {i; j} + N_ {j; i}}$

og

${\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} = & - N {\ sqrt {g}} \ left (R ^ {ij} - {\ tfrac {1} {2} } Rg ^ {ij} \ right) + {\ frac {N} {2 {\ sqrt {g}}}} g ^ {ij} \ left (\ pi ^ {mn} \ pi _ {mn} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi ^ {2} \ right) - {\ frac {2N} {\ sqrt {g}}} \ left (\ pi ^ {in} {\ pi _ {n}} ^ {j} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ pi ^ {ij} \ højre) \\ & + {\ sqrt {g}} \ venstre (\ nabla ^ {i} \ nabla ^ {j } Ng ^ {ij} \ nabla ^ {n} \ nabla _ {n} N \ højre) + \ nabla _ {n} \ venstre (\ pi ^ {ij} N ^ {n} \ højre) - {N ^ {i}} _ {; n} \ pi ^ {nj} - {N ^ {j}} _ {; n} \ pi ^ {ni} \ end {justeret}}}$

er et ikke-lineært sæt af partielle differentialligninger .

At tage variationer med hensyn til bortfald og skift giver begrænsninger ligninger

${\ displaystyle H = 0}$

og

${\ displaystyle P ^ {i} = 0,}$

og selve bortfaldet og skiftet kan specificeres frit, hvilket afspejler det faktum, at koordinatsystemer frit kan specificeres i både rum og tid.

Ansøgninger

Anvendelse på kvantegravitation

Ved hjælp af ADM-formuleringen er det muligt at forsøge at konstruere en kvante teori om tyngdekraften på samme måde som man konstruerer Schrödinger ligningen svarende til en given Hamilton i kvantemekanik . Det vil sige, erstat det kanoniske momenta og de rumlige metriske funktioner med lineære funktionelle differentielle operatorer ${\ displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$

${\ displaystyle {\ hat {g}} _ {ij} (t, x ^ {k}) \ mapsto g_ {ij} (t, x ^ {k}),}$

${\ displaystyle {\ hat {\ pi}} ^ {ij} (t, x ^ {k}) \ mapsto -i {\ frac {\ delta} {\ delta g_ {ij} (t, x ^ {k} )}}.}$

Mere præcist er udskiftning af klassiske variabler af operatører begrænset af kommuteringsrelationer . Hatte repræsenterer operatører i kvanteteori. Dette fører til ligningen Wheeler – DeWitt .

Anvendelse på numeriske løsninger af Einstein-ligningerne

Der er relativt få kendte nøjagtige løsninger på Einstein-feltligningerne . For at finde andre løsninger er der et aktivt studieretning kendt som numerisk relativitet , hvor supercomputere bruges til at finde omtrentlige løsninger på ligningerne. For at konstruere sådanne løsninger numerisk starter de fleste forskere med en formulering af Einstein-ligningerne tæt knyttet til ADM-formuleringen. De mest almindelige tilgange starter med et indledende værdiproblem baseret på ADM-formalismen.

I Hamiltonianske formuleringer er det grundlæggende punkt erstatning af sæt af andenordens ligninger med et andet sæt af første ordning af ligninger. Vi får muligvis dette andet sæt ligninger ved Hamiltonian-formulering på en nem måde. Dette er naturligvis meget nyttigt for numerisk fysik, fordi det ofte er praktisk at reducere rækkefølgen af ​​differentialligninger, hvis vi vil forberede ligninger til en computer.

ADM energi og masse

ADM-energi er en speciel måde at definere energien i generel relativitet , som kun finder anvendelse på nogle specielle geometrier i rumtiden, der asymptotisk nærmer sig en veldefineret metrisk tensor ved uendeligt - for eksempel en rumtid, der asymptotisk nærmer sig Minkowski-rummet . ADM-energien defineres i disse tilfælde som en funktion af afvigelsen af ​​den metriske tensor fra dens ordinerede asymptotiske form. Med andre ord beregnes ADM-energien som styrken af ​​tyngdefeltet ved uendelig.

Hvis den krævede asymptotiske form er tidsuafhængig (såsom selve Minkowski-rummet), respekterer den tidstranslationssymmetri . Noether's sætning indebærer derefter, at ADM-energien er bevaret. Ifølge generel relativitet har bevaringsloven for den samlede energi ikke mere generelle, tidsafhængige baggrunde - for eksempel er den fuldstændig overtrådt i fysisk kosmologi . Især kosmisk inflation er i stand til at producere energi (og masse) fra "intet", fordi vakuumenergitætheden er nogenlunde konstant, men universets volumen vokser eksponentielt .

Anvendelse på modificeret tyngdekraft

Ved at bruge ADM-nedbrydningen og indføre ekstra hjælpefelter , i 2009 Deruelle et al. fundet en metode til at finde Gibbons – Hawking – York grænsebegrebet for modificerede tyngdekraftsteorier ”hvis Lagrangian er en vilkårlig funktion af Riemann-tensoren”.

Kontrovers

I 2008 offentliggjorde Kiriushcheva og Kuzmin en formel afskærmning af 4 konventionelle visdomme omkring ADM-formalismen, især at kun i Dirac Hamilton-formalismen, ikke i ADM-formalismen, kan korrekt diffeomorfisme-invarians genvindes via de kanoniske transformationer. Forskellen i den kanoniske struktur af Dirac og ADM Hamiltonian formaliteter er en løbende kontrovers, der endnu ikke er afsluttet i fysiklitteraturen.

Se også

• Kanoniske koordinater
• Hamilton – Jacobi – Einstein ligning
• Peres-metrisk

Bemærkninger

Referencer

• Kiefer, Claus (2007). Kvantegravitation . Oxford, New York: Oxford University Press . ISBN   978-0-19-921252-1 .