Heltalværdsat funktion - Integer-valued function

Gulvfunktionen på reelle tal. Dens diskontinuiteter er afbildet med hvide disks konturer med blå cirkler.

I matematik er en heltalvalueret funktion en funktion, hvis værdier er heltal . Med andre ord er det en funktion, der tildeler et heltal til hvert medlem af sit domæne .

Gulv- og loftsfunktioner er eksempler på en heltal-værdsat funktion af en reel variabel , men på reelle tal og generelt er på (ikke-frakoblede) topologiske rum heltal-værdsatte funktioner ikke særlig nyttige. Enhver sådan funktion på et tilsluttet rum har enten diskontinuiteter eller er konstant . På den anden side har diskrete og andre fuldstændigt frakoblede rum heltalsværdifunktioner stort set den samme betydning som reelle værdsatte funktioner på ikke-diskrete rum.

Enhver funktion med naturlige eller ikke-negative heltalværdier er et delvist tilfælde af heltalværdifunktion.

eksempler

Integer-værdsatte funktioner defineret på domænet for alle reelle tal inkluderer gulv og loft funktioner, den funktion Dirichlet , at tegnet funktion og heaviside trinfunktion (undtagen måske ved 0).

Funktioner med heltalværdier, der er defineret på domænet for ikke-negative reelle tal, inkluderer heltalkvadratrotfunktionen og primtællingsfunktionen .

Algebraiske egenskaber

På et vilkårligt sæt X danner heltalværdierede funktioner en ring med punktvise operationer med tilføjelse og multiplikation , og også en algebra over heltalens ring Z. Da sidstnævnte er en ordnet ring , danner funktionerne en delvist ordnet ring :

${\ displaystyle f \ leq g \ quad \ iff \ quad \ forall x: f (x) \ leq g (x).}$

Anvendelser

Grafteori og algebra

Funktioner med heltalværdier er allestedsnærværende i grafteori . De har også lignende anvendelser i geometrisk gruppeteori , hvor længdefunktion repræsenterer begrebet norm , og ordmetrisk repræsenterer begrebet metrisk .

Heltalværdsatte polynomer er vigtige i ringteorien .

Matematisk logik og beregbarhedsteori

I matematisk logik repræsenterer sådanne begreber som en primitiv rekursiv funktion og en μ-rekursiv funktion heltalværdsatte funktioner af flere naturlige variabler eller med andre ord funktioner på N ⁿ . Gödel-nummerering , defineret på velformede formler af et eller andet formelt sprog , er en naturlig værdsat funktion.

Computability teori er i det væsentlige baseret på naturlige tal og naturlige (eller heltal) funktioner på dem.

Talteori

I talteori er mange aritmetiske funktioner heltalværdier.

Computer videnskab

I computerprogrammering returnerer mange funktioner værdier af heltalstype på grund af enkel implementering.

Se også

• Heltalværdigt polynom
• Semi-kontinuitet
• Rang (disambiguation) # Matematik
• Grad (disambiguation) #I matematik