Holomorfe vektorbundt - Holomorphic vector bundle

I matematik er et holomorft vektorbundt et komplekst vektorgruppe over et komplekst mangfoldigt X, således at det samlede rum E er et komplekst mangfoldigt og projektionskortet π: E → X er holomorft . Grundlæggende eksempler er det holomorfe tangentbundt af en kompleks manifold og dens dobbelte, den holomorfe cotangentbundt . Et holomorft liniebundt er et holomorft vektorbundt af rang et.

Af Serres GAGA , kategorien af holomorfe vektor bundles på en glat kompleks projektiv sort X (set som en kompleks manifold) svarer til den kategori af algebraiske vektor bundter (dvs. lokalt gratis neg af finite rang) på X .

Definition gennem trivialisering

Helt konkret kræver man, at trivialiseringen kortlægger

${\ displaystyle \ phi _ {U}: \ pi ^{-1} (U) \ til U \ times \ mathbf {C} ^{k}}$

er biholomorfe kort . Dette svarer til at kræve, at overgangen fungerer

${\ displaystyle t_ {UV}: U \ cap V \ to \ mathrm {GL} _ {k} (\ mathbf {C})}$

er holomorfe kort. Den holomorfe struktur på tangentbundtet i en kompleks manifold garanteres af bemærkningen om, at derivatet (i passende betydning) af en vektorværdigt holomorf funktion i sig selv er holomorf.

Skiven af ​​holomorfe sektioner

Lad E være et holomorft vektorbundt. En lokal sektion s  : U → E | _U siges at være holomorft, hvis det i et kvarter ved hvert punkt i U er holomorft i nogle (tilsvarende enhver) trivialisering.

Denne betingelse er lokal, hvilket betyder, at holomorfe sektioner danner et neg på X . Denne neg er undertiden betegnet , eller uberettiget af E . Sådan et skår er altid lokalt fri for den samme rang som vektorgruppens rang. Hvis E er den trivielle linje bundt derefter denne sheaf falder sammen med strukturen neg af komplekset manifold X . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (E)}$${\ displaystyle {\ understregning {\ mathbf {C}}},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Grundlæggende eksempler

Der er linjebundter, over hvis globale sektioner svarer til homogene polynomer af grad (for et positivt heltal). Særligt svarer det til det trivielle linjebundt. Hvis vi tager dækningen, kan vi finde diagrammer defineret af${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (k)}$${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^{n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = 0}$${\ displaystyle U_ {i} = \ {[x_ {0}: \ cdots: x_ {n}]: x_ {i} \ neq 0 \}}$${\ displaystyle \ phi _ {i}: U_ {i} \ til \ mathbb {C} ^{n}}$

${\ displaystyle \ phi _ {i} ([x_ {0}: \ cdots: x_ {i}: \ cdots: x_ {n}]) = \ left ({\ frac {x_ {0}} {x_ {i }}}, \ ldots, {\ frac {x_ {i-1}} {x_ {i}}}, {\ frac {x_ {i+1}} {x_ {i}}}, \ ldots, {\ frac {x_ {n}} {x_ {i}}} \ right) = \ mathbb {C} _ {i}^{n}}$

Vi kan konstruere overgangsfunktioner defineret af${\ displaystyle \ phi _ {ij} | _ {U_ {i} \ cap U_ {j}}: \ mathbb {C} _ {i}^{n} \ cap \ phi _ {i} (U_ {i} \ cap U_ {j}) \ to \ mathbb {C} _ {j}^{n} \ cap \ phi _ {j} (U_ {i} \ cap U_ {j})}$

${\ displaystyle \ phi _ {ij} = \ phi _ {i} \ circ \ phi _ {j}^{-1} (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) = \ left ({\ frac {z_ {1}} {z_ {i}}}, \ ldots, {\ frac {z_ {i-1}} {z_ {i}}}, {\ frac {z_ {i+1}} {z_ { i}}}, \ ldots, {\ frac {z_ {j}} {z_ {i}}}, {\ frac {1} {z_ {j}}}, {\ frac {z_ {j+1}} {z_ {i}}}, \ ldots, {\ frac {z_ {n}} {z_ {i}}} \ højre)}$

Hvis vi nu overvejer det trivielle bundt, kan vi danne inducerede overgangsfunktioner . Hvis vi bruger koordinaten på fiberen, så kan vi danne overgangsfunktioner${\ displaystyle L_ {i} = \ phi _ {i} (U_ {i}) \ gange \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ psi _ {i, j}}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle \ psi _ {i, j} ((z_ {1}, \ ldots, z_ {n}), z) = \ left (\ phi _ {i, j} (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}), {\ frac {z_ {i}^{k}} {z_ {j}^{k}}} \ cdot z \ right)}$

for ethvert helt tal . Hver af disse er forbundet med et linjebundt . Da vektorbundter nødvendigvis trækker sig tilbage, har enhver holomorf submanifold et tilhørende linjebundt , undertiden betegnet . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (k)}$${\ displaystyle f: X \ til \ mathbb {CP} ^{n}}$${\ displaystyle f^{*} ({\ mathcal {O}} (k))}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (k) | _ {X}}$

Dolbeault operatører

Antag, at E er et holomorft vektorbundt. Så er der en fornem operatør defineret som følger. I en lokal trivialisering af E , med lokal ramme , kan ethvert afsnit skrives for nogle glatte funktioner . Definer en operatør lokalt ved ${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E}}$${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$${\ displaystyle e_ {1}, \ dots, e_ {n}}$${\ displaystyle s = \ sum _ {i} s^{i} e_ {i}}$${\ displaystyle s^{i}: U _ {\ alpha} \ til \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E} (s): = \ sum _ {i} {\ bar {\ partial}} (s^{i}) \ otimes e_ {i}}$

hvor er den almindelige Cauchy-Riemann-operatør af basismanifolden. Denne operator er veldefineret på hele E, fordi der ved en overlapning af to trivialiseringer med holomorf overgangsfunktion , hvis hvor er en lokal ramme for E på , så , og så ${\ displaystyle {\ bar {\ partial}}}$${\ displaystyle U _ {\ alpha}, U _ {\ beta}}$${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle s = s^{i} e_ {i} = {\ tilde {s}}^{j} f_ {j}}$${\ displaystyle f_ {j}}$${\ displaystyle U _ {\ beta}}$${\ displaystyle s^{i} = \ sum _ {j} (g _ {\ alpha \ beta}) _ {j}^{i} {\ tilde {s}}^{j}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} (s^{i}) = \ sum _ {j} (g _ {\ alpha \ beta}) _ {j}^{i} {\ bar {\ partial}} ({\ tilde {s}}^{j})}$

fordi overgangsfunktionerne er holomorfe. Dette fører til følgende definition: En Dolbeault -operator på et glat komplekst vektorgruppe er en lineær operator ${\ displaystyle E \ til M}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E}: \ Gamma (E) \ til \ Omega ^{0,1} (M) \ otimes \ Gamma (E)}$

sådan at

• (Cauchy-Riemann tilstand) ,${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E}^{2} = 0}$
• (Leibniz -regel) For enhver sektion og funktion på har man${\ displaystyle s \ i \ Gamma (E)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E} (fs) = {\ bar {\ partial}} (f) \ otimes s+f {\ bar {\ partial}} _ {E} (s) }$.

Ved at anvende Newlander-Nirenberg-sætningen opnår man en modsætning til konstruktionen af ​​Dolbeault-operatøren af ​​et holomorft bundt:

Sætning: I betragtning af en Dolbeault -operatør på et glat komplekst vektorbundt er der en unik holomorf struktur på en sådan, der er den tilknyttede Dolbeault -operator som konstrueret ovenfor.${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E}}$

Med hensyn til den holomorfe struktur induceret af en Dolbeault -operatør er et glat snit holomorft, hvis og kun hvis . Dette svarer moralsk til definitionen af ​​en glat eller kompleks manifold som et ringformet rum . Det er nemlig nok at specificere, hvilke funktioner på et topologisk manifold der er glatte eller komplekse, for at præge det med en glat eller kompleks struktur. ${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E}}$${\ displaystyle s \ i \ Gamma (E)}$${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E} (r) = 0}$

Dolbeault -operatøren har lokal invers med hensyn til homotopi -operatør .

Formskiverne med værdier i et holomorft vektorbundt

Hvis betegner skiven af C ^∞ differentiale former af type ( p , q ) , kan typen af ​​type ( p , q ) former med værdier i E defineres som tensorproduktet${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {X}^{p, q}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}}^{p, q} (E) \ triangleq {\ mathcal {E}} _ {X}^{p, q} \ otimes E.}$

Disse skiver er fine , hvilket betyder, at de indrømmer skillevægge af enhed . En grundlæggende sondring mellem glatte og holomorfe vektorgrupper er, at der i sidstnævnte er en kanonisk differentialoperator, givet af Dolbeault -operatoren defineret ovenfor:

${\ displaystyle {\ overline {\ partial}} _ {E}: {\ mathcal {E}}^{p, q} (E) \ til {\ mathcal {E}}^{p, q+1} ( E).}$

Cohomology af holomorfe vektorbundter

Hvis E er et holomorft vektorgruppe, defineres E 's kohomologi som skovkohomologi af . Især har vi ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (E)}$

${\ displaystyle H^{0} (X, {\ mathcal {O}} (E)) = \ Gamma (X, {\ mathcal {O}} (E)),}$

rummet af globale holomorfe sektioner af E . Vi har også, at parametrerer gruppen af ​​udvidelser af det trivielle linjebundt af X med E , det vil sige nøjagtige sekvenser af holomorfe vektorgrupper 0 → E → F → X × C → 0 . For gruppestrukturen, se også Baer -sum samt skæreudvidelse . ${\ displaystyle H^{1} (X, {\ mathcal {O}} (E))}$

Ved Dolbeault sætning , kan denne neg kohomologi alternativt beskrives som cohomology af kæden kompleks defineret af neg af formularer med værdier i holomorf bundt . Vi har nemlig ${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle H^{i} (X, {\ mathcal {O}} (E)) = H^{i} (({\ mathcal {E}}^{0, \ bullet} (E), {\ bar {\ partial}} _ {E})).}$

Picard -gruppen

I forbindelse med kompleks differentialgeometri er Picard -gruppen Pic ( X ) i den komplekse manifold X gruppen af ​​isomorfiske klasser af holomorfe linjebundter med gruppelov givet af tensorprodukt og inversion givet ved dualisering. Det kan defineres på tilsvarende måde som den første kohomologigruppe af armen af ​​ikke-forsvindende holomorfe funktioner. ${\ displaystyle H^{1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}^{*})}$

Hermitiske metrik på et holomorft vektorbundt

Lad E være et holomorft vektorbundt på en kompleks manifold M og antag, at der er en hermitisk metrik på E ; det vil sige fibre E _x er udstyret med indre produkter <·, ·> der varierer jævnt. Så eksisterer der en unik forbindelse ∇ på E, der er kompatibel med både kompleks struktur og metrisk struktur, kaldet Chern -forbindelsen ; det vil sige, ∇ er en sådan forbindelse

(1) For alle glatte sektioner s af E , hvor π _0,1 tager (0, 1) -komponenten i en E- værdiansat 1-form .${\ displaystyle \ pi _ {0,1} \ nabla s = {\ bar {\ partial}} _ {E} s}$

(2) For alle glatte sektioner s , t af E og et vektorfelt X på M ,

${\ displaystyle X \ cdot \ langle s, t \ rangle = \ langle \ nabla _ {X} s, t \ rangle +\ langle s, \ nabla _ {X} t \ rangle}$

hvor vi skrev til sammentrækning af ved X . (Dette svarer til at sige, at paralleltransporten med ∇ bevarer metriske <·, ·>.)${\ displaystyle \ nabla _ {X} s}$${\ displaystyle \ nabla s}$

Hvis u = ( e ₁ ,…, e _n ) er en holomorf ramme, så lad og definer ω _u ved ligningen , som vi skriver mere enkelt som: ${\ displaystyle h_ {ij} = \ langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle}$${\ displaystyle \ sum h_ {ik} \, {(\ omega _ {u})} _ {j}^{k} = \ delvis h_ {ij}}$

${\ displaystyle \ omega _ {u} = h^{-1} \ delvis h.}$

Hvis u '= ug er en anden ramme med en holomorf ændring af basis g , så

${\ displaystyle \ omega _ {u '} = g^{-1} dg+g \ omega _ {u} g^{-1},}$

og så er indeed faktisk en forbindelsesform , der giver anledning til ∇ ved ∇ s = ds + ω · s . Nu, siden , ${\ displaystyle {\ overline {\ omega}}^{T} = {\ overline {\ partial}} h \ cdot h^{-1}}$

${\ displaystyle d \ langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle = \ partiel h_ {ij}+{\ overline {\ partial}} h_ {ij} = \ langle {\ omega} _ {i}^{ k} e_ {k}, e_ {j} \ rangle +\ langle e_ {i}, {\ omega} _ {j}^{k} e_ {k} \ rangle = \ langle \ nabla e_ {i}, e_ {j} \ rangle +\ langle e_ {i}, \ nabla e_ {j} \ rangle.}$

Det vil sige, at ∇ er kompatibel med metrisk struktur. Endelig, da ω er en (1, 0) -form, er (0, 1) -komponenten af is . ${\ displaystyle \ nabla s}$${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E} s}$

Lad være krumningsformen af ∇. Da kvadrater til nul ved definitionen af ​​en Dolbeault-operatør, har Ω ingen (0, 2) -komponent, og da Ω let viser sig at være skæv-hermitisk, har den heller ingen (2, 0) -komponent. Følgelig er Ω en (1, 1) -form givet af ${\ displaystyle \ Omega = d \ omega +\ omega \ wedge \ omega}$${\ displaystyle \ pi _ {0,1} \ nabla = {\ bar {\ partial}} _ {E}}$

${\ displaystyle \ Omega = {\ bar {\ partial}} _ {E} \ omega.}$

Krumningen Ω fremtræder fremtrædende i de forsvindende sætninger for højere kohomologi af holomorfe vektorbundter; f.eks. Kodairas forsvindende sætning og Nakanos forsvindende sætning .

Noter

Referencer

• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principper for algebraisk geometri , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523
• "Vector bundle, analytic" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

Se også

• Birkhoff – Grothendieck sætning
• Quillen metrisk
• Serial dualitet

eksterne links

• Opdelingsprincip for holomorfe vektorbundter