Ringet rum - Ringed space

I matematik er et ringet rum en familie af ( kommutative ) ringe, der parametriseres af åbne delmængder af et topologisk rum sammen med ringhomomorfier, der spiller roller af begrænsninger . Præcist er det et topologisk rum udstyret med en neg af ringe kaldes en struktur neg . Det er en abstraktion af begrebet ringene til kontinuerlige (skalarværdige) funktioner på åbne undergrupper.

Blandt ringede rum er især vigtigt og fremtrædende et lokalt ringet rum : et ringet rum, hvor analogien mellem stilken på et punkt og ringen af bakterier af funktioner på et punkt er gyldig.

Ringede rum vises i analyse såvel som kompleks algebraisk geometri og skema-teorien for algebraisk geometri .

Bemærk : I definitionen af ​​et ringet rum har de fleste udstillinger en tendens til at begrænse ringene til at være kommutative ringe , herunder Hartshorne og Wikipedia. " Éléments de géométrie algébrique " på den anden side pålægger ikke antagelsen om kommutativitet, selvom bogen for det meste betragter kommutativt.

Definitioner

En ringmærket rum er et topologisk rum sammen med et bundt af ringene på . Skoven kaldes strukturskiven af . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$

Et lokalt ringmærket rum er en ringmærket plads , således at alle stilke af er lokale ringe (dvs. de har entydige maksimale idealer ). Bemærk, at det ikke er nødvendigt at være en lokal ring for hvert åbent sæt ; faktisk er dette næsten aldrig tilfældet. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ displaystyle U}$

Eksempler

Et vilkårligt topologisk rum kan betragtes som et lokalt ringet rum ved at tage skoven af reelle værdier (eller komplekse værdier ) kontinuerlige funktioner på åbne undergrupper af . Den stilk på et punkt kan opfattes som mængden af alle bakterier af kontinuerte funktioner på ; dette er en lokal ring med det unikke maksimale ideal bestående af de bakterier, hvis værdi er . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0}$

Hvis er en manifold med en vis ekstra struktur, kan vi også tage skiven af differentierbare eller komplekse analytiske funktioner. Begge disse giver anledning til lokalt ringede rum. ${\ displaystyle X}$

Hvis er en algebraisk sort, der bærer Zariski-topologien , kan vi definere et lokalt ringet rum ved at tage den ring af rationelle kortlægninger, der er defineret på det Zariski-åbne sæt , der ikke sprænges (bliver uendelig) indeni . Den vigtige generalisering af dette eksempel er spektret af en hvilken som helst kommutativ ring; disse spektre er også lokalt ringede rum. Ordninger er lokalt ringede rum opnået ved at "lime sammen" spektre af kommutative ringe. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

Morfismer

En morphism fra til et par , hvor er en kontinuerlig kort mellem de underliggende topologiske rum, og er en morphism fra strukturen neg af den direkte billede af strukturen neg af X . Med andre ord, en morfisme fra til gives af følgende data: ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {O}} _ {Y})}$${\ displaystyle (f, \ varphi)}$${\ displaystyle f: X \ til Y}$${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {O}} _ {Y} \ to f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {O}} _ {Y})}$

• et kontinuerligt kort ${\ displaystyle f: X \ til Y}$
• en familie af ring homomorfier for hver åben sæt af som pendler med restriktionskortene. Det vil sige, hvis der er to åbne undergrupper af , skal følgende diagram pendle (de lodrette kort er begrænsningshomomorfierne): ${\ displaystyle \ varphi _ {V}: {\ mathcal {O}} _ {Y} (V) \ til {\ mathcal {O}} _ {X} (f ^ {- 1} (V))}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle V_ {1} \ subseteq V_ {2}}$${\ displaystyle Y}$

Der er et yderligere krav til morfismer mellem lokalt ringede rum:

• ringhomomorfierne induceret af mellem stilke af og stilke af skal være lokale homomorfier , dvs. for hvert kortlægges det maksimale ideal for den lokale ring (stilk) til det maksimale ideal for den lokale ring kl . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle f (x) \ i Y}$${\ displaystyle x \ i X}$

To morfier kan sammensættes for at danne en ny morfisme, og vi opnår kategorien af ringede rum og kategorien af ​​lokalt ringede rum. Isomorfier i disse kategorier defineres som sædvanligt.

Tangentrum

Lokalt ringede rum har netop nok struktur til at muliggøre en meningsfuld definition af tangente rum . Lad være lokalt ringet rum med strukturskive ; vi ønsker at definere det tangente rum ved punktet . Tag den lokale ring (stilk) på det punkt , med maksimal ideal . Derefter er der et felt og er et vektorrum over dette felt (det cotangente rum ). Tangentrummet er defineret som det dobbelte af dette vektorrum. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle T_ {x}}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle R_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x}}$${\ displaystyle k_ {x}: = R_ {x} / {\ mathfrak {m}} _ {x}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x} / {\ mathfrak {m}} _ {x} ^ {2}}$${\ displaystyle T_ {x}}$

Ideen er følgende: en tangentvektor at skal fortælle dig, hvordan du "differentierer" "funktioner" ved , dvs. elementerne i . Nu er det nok at vide, hvordan man differentierer funktioner, hvis værdi ved er nul, da alle andre funktioner kun adskiller sig fra disse med en konstant, og vi ved, hvordan man differentierer konstanter. Så vi behøver kun at overveje . Desuden, hvis to funktioner er givet med værdien nul at , så har deres produkt afledt 0 ved af produktreglen . Så vi behøver kun at vide, hvordan man tildeler "tal" til elementerne i , og det er hvad dobbeltrummet gør. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle R_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x} / {\ mathfrak {m}} _ {x} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ -moduler

Givet et lokalt ringet rum , forekommer visse skiver af moduler i applikationerne, modulerne. For at definere dem skal du overveje en skive F med abelske grupper på . Hvis F ( U ) er et modul over ringen for hvert åbent sæt i , og begrænsningskortene er kompatible med modulstrukturen, kalder vi et -modul. I dette tilfælde vil stilken på at være et modul over den lokale ring (stilk) for hver . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle R_ {x}}$${\ displaystyle x \ i X}$

En morfisme mellem to sådanne moduler er en morfisme af skiver, som er kompatibel med de givne modulstrukturer. Kategorien af -moduler over et fast lokalt ringet rum er en abelsk kategori . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

En vigtig underkategori af kategorien af -modules er den kategori af kvasi-kohærente neg på . En skive af -moduler kaldes kvasi-kohærent, hvis den lokalt er isomorf til kokernel på et kort mellem frie- moduler. En sammenhængende skive er en kvasi-sammenhængende skive, der lokalt er af begrænset type, og for enhver åben delmængde af kernen af ​​enhver morfisme fra en fri- moduler af endelig rang til er også af begrænset type. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U}}$${\ displaystyle F_ {U}}$

Citater

Referencer

• Afsnit 0.4 i Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publikationer Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . MR   0217083 .
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157

eksterne links

• Onishchik, AL (2001) [1994], "Ringed space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press