Heptagon - Heptagon

Almindelig heptagon
En almindelig heptagon
Type	Regelmæssig polygon
Kanter og hjørner	7
Schläfli -symbol	{7}
Coxeter diagram
Symmetri gruppe	Dihedral (D 7 ), bestil 2 × 7
Indvendig vinkel ( grader )	≈128,571 °
Dobbelt polygon	Selv
Ejendomme	Konveks , cyklisk , ligesidet , isogonal , isotoksal

I geometri er en heptagon en syv-sidet polygon eller 7-gon.

Heptagonen kaldes undertiden som septagon ved hjælp af "sept-" (en elision af septua- , et latinsk- afledt numerisk præfiks , snarere end hepta- , et græsk- afledt numerisk præfiks; begge er beslægtede) sammen med det græske suffiks "-agon" betyder vinkel.

Almindelig heptagon

En almindelig heptagon , hvor alle sider og alle vinkler er ens, har indre vinkler på 5π/7 radianer (128 4 ⁄ 7 grader ). Dens Schläfli -symbol er {7}.

Areal

Arealet ( A ) af en almindelig heptagon med sidelængde a er givet ved:

${\ displaystyle A = {\ frac {7} {4}} a^{2} \ barneseng {\ frac {\ pi} {7}} \ simeq 3.634a^{2}.}$

Dette kan ses ved at opdele den enheds-sidede heptagon i syv trekantede "tærte-skiver" med hjørner i midten og ved heptagonens hjørner og derefter halvere hver trekant ved hjælp af apothemen som den fælles side. Apothemen er halvdelen af ​​cotangenten og arealet af hver af de 14 små trekanter er en fjerdedel af apothemen. ${\ displaystyle \ pi /7,}$

Det nøjagtige algebraiske udtryk er givet i komplekse tal ved:

${\ displaystyle A = {\ frac {a ^ {2}} {4}} {\ sqrt {{\ frac {7} {3}} \ left (35 + 2 {\ sqrt [{3}] {196} } \ venstre ({\ sqrt [{3}] {13-3i {\ sqrt {3}}}}+{\ sqrt [{3}] {13+3i {\ sqrt {3}}}} \ højre) \ret)}},}$

hvor de imaginære dele opvejer hinanden og efterlader et reelt værdsat udtryk. Dette udtryk kan ikke algebraically omskrives uden komplekse komponenter, eftersom Tredjegradsligning , der tjener som den minimale polynomium af er casus irreducibilis . ${\ displaystyle \ cot ^{2} \ left ({\ frac {\ pi} {7}} \ right)}$

Arealet af en regelmæssig heptagon indskrevet i en cirkel med radius R er, mens selve cirkelens område således er den regelmæssige heptagon fylder ca. 0,8710 af sin omskrevne cirkel . ${\ displaystyle {\ tfrac {7R^{2}} {2}} \ sin {\ tfrac {2 \ pi} {7}},}$${\ displaystyle \ pi R^{2};}$

Konstruktion

Da 7 er en Pierpont -prime, men ikke en Fermat -prime , er den regelmæssige heptagon ikke konstruerbar med kompas og straightedge, men er konstruerbar med en markeret lineal og kompas. Det er den mindste regelmæssige polygon med denne egenskab. Denne type konstruktion kaldes en neusiskonstruktion . Det er også konstruerbart med kompas, straightedge og vinkel trisektor. Umuligheden af ​​opretning og kompasbygning følger af observationen, der er et nul af den ureducerbare kubik x ³ + x ² - 2 x - 1 . Følgelig er dette polynom det minimale polynom på 2cos ( 2π ⁄ 7 ), hvorimod graden af ​​det minimale polynom for et konstruerbart tal skal være en effekt på 2. ${\ displaystyle \ scriptstyle {2 \ cos {\ tfrac {2 \ pi} {7}} \ ca. 1,247}}$

En neusis -konstruktion af den indvendige vinkel i en almindelig heptagon.

En animation fra en neusis -konstruktion med omkredsradius ifølge Andrew M. Gleason baseret på vinkeltrisektionen ved hjælp af Tomahawk . Denne konstruktion er afhængig af, at ${\ displaystyle {\ overline {OA}} = 6}$ ${\ displaystyle 6 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {7}} \ right) = 2 {\ sqrt {7}} \ cos \ left ({\ frac {1} {3}} \ arctan \ venstre (3 {\ sqrt {3}} \ højre) \ højre) -1.}$

Heptagon med given sidelængde :
En animation fra en neusis -konstruktion med markeret lineal, ifølge David Johnson Leisk ( Crockett Johnson ), pause i slutningen af ​​30 sek.

Gerard 't Hooft viser en regelmæssig heptagon lavet af kun 15 strimler Meccano med søjler størrelse 8 og 11.

Meccano heptagon 2

Konstruktionen omfatter to ensartede trekanter, som holder resten af ​​stængerne fast. Den almindelige heptagons side a , den kortere ligebenede trekantside e , og den længere ensartede trekant side d tilfredsstiller

${\ displaystyle 7a^{2}+e^{2} = 4d^{2}}$

${\ displaystyle d> a> e> 0}$

Formlen er afledt af denne heptagonale trekantformel :

${\ displaystyle \ sin A- \ sin B- \ sin C =-{\ frac {\ sqrt {7}} {2}}}$

Små mulige heptagons konstruktioner:

Den mindste meccano heptagon 1:

Tilnærmelse

En tilnærmelse til praktisk brug med en fejl på ca. 0,2% er vist på tegningen. Det tilskrives Albrecht Dürer . Lad A ligge på omkredsen af ​​omkredsen. Tegn bue BOC . Giver derefter en tilnærmelse til kanten af ​​heptagon. ${\ displaystyle \ scriptstyle {BD = {1 \ over 2} BC}}$

Denne tilnærmelse bruger til siden af ​​heptagon indskrevet i enhedscirklen, mens den nøjagtige værdi er . ${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ sqrt {3}} \ over 2} \ ca. 0,86603}$${\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ sin {\ pi \ over 7} \ ca. 0,86777}$

Eksempel til at illustrere fejlen:
Ved en cirkelradius med omkreds r = 1 m ville den absolutte fejl på 1. side være cirka -1,7 mm

Meccano omtrentlig heptagon. Barstørrelser er 20, 36 og 45.

Der kan laves en tilnærmelse til meccano med elleve stænger i størrelserne 20, 36 og 45. Disse værdier efterlader en fejl omkring 0,1%.

Symmetri

Symmetrier af en almindelig heptagon. Hjørner er farvet af deres symmetri positioner. Blå spejllinjer tegnes gennem hjørner og kanter. Gyration ordrer gives i centrum.

Den almindelige heptagon tilhører punktgruppen D _7h ( Schoenflies-notation ), rækkefølge 28. Symmetrielementerne er: en 7-foldet korrekt rotationsakse C ₇ , en 7-fold forkert rotationsakse, S ₇ , 7 lodrette spejlplaner, σ _v , 7 2-foldede rotationsakser, C ₂ , i heptagans plan og et vandret spejlplan, σ _h , også i heptagons plan.

Diagonaler og heptagonal trekant

a = rød, b = blå, c = grønne linjer

Den almindelige heptagons side a , kortere diagonal b og længere diagonal c , med a < b < c , tilfredsstiller

${\ displaystyle a^{2} = c (cb),}$

${\ displaystyle b^{2} = a (c+a),}$

${\ displaystyle c^{2} = b (a+b),}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {a}} = {\ frac {1} {b}}+{\ frac {1} {c}}}$ (den optiske ligning )

og dermed

${\ displaystyle ab+ac = bc,}$

og

${\ displaystyle b^{3}+2b^{2} c-bc^{2} -c^{3} = 0,}$

${\ displaystyle c^{3} -2c^{2} a-ca^{2}+a^{3} = 0,}$

${\ displaystyle a^{3} -2a^{2} b-ab^{2}+b^{3} = 0,}$

Således - b / c , c / a og a / b tilfredsstiller alle den kubiske ligning Imidlertid findes der ingen algebraiske udtryk med rent reelle udtryk for løsningerne af denne ligning, fordi det er et eksempel på casus irreducibilis . ${\ displaystyle t^{3} -2t^{2} -t+1 = 0.}$

De omtrentlige længder af diagonaler i form af siden af ​​den almindelige heptagon er givet ved

${\ displaystyle b \ approx 1.80193 \ cdot a, \ qquad c \ approx 2.24698 \ cdot a.}$

Vi har også

${\ displaystyle b ^ {2} -a ^ {2} = ac,}$

${\ displaystyle c^{2} -b^{2} = ab,}$

${\ displaystyle a^{2} -c^{2} =-bc,}$

og

${\ displaystyle {\ frac {b^{2}} {a^{2}}}+{\ frac {c^{2}} {b^{2}}}+{\ frac {a^{2} } {c ^ {2}}} = 5.}$

En heptagonal trekant har hjørner, der falder sammen med den første, anden og fjerde hjørne af en regulær heptagon (fra et vilkårligt startpunkt) og vinkler, og dermed falder dens sider sammen med den ene side og to bestemte diagonaler af den regelmæssige heptagon. ${\ displaystyle \ pi /7,2 \ pi /7,}$${\ displaystyle 4 \ pi /7.}$

Stjerneheptagoner

To slags stjerneheptagoner ( heptagrammer ) kan konstrueres ud fra almindelige heptagoner, mærket med Schläfli -symboler {7/2} og {7/3}, hvor divisoren er forbindelsesintervallet.

Blå, {7/2} og grønne {7/3} stjernede heptagoner inde i en rød heptagon.

Empiriske eksempler

Geometri problem med overfladen af ​​en heptagon opdelt i trekanter, på en lertavle tilhørende en skole for skriftlærde; Susa , første halvdel af 2. årtusinde fvt

Det Forenede Kongerige har i øjeblikket fra 2021 to tokantede mønter , stykkerne 50p og 20p , og Barbados -dollaren er også sekskantede. 20-eurocent-mønten har hulrum placeret på samme måde. Strengt, formen af mønterne er en Reuleaux heptagon , en krum heptagon der har kurver af konstant bredde ; siderne er buede udad for at give mønterne mulighed for at rulle jævnt, når de indsættes i en automat . Botswana pula- mønter i betegnelserne 2 Pula, 1 Pula, 50 Thebe og 5 Thebe er også formet som heksagoner med ligesidet kurve. Mønter i form af Reuleaux heptagoner er også i omløb i Mauritius, UAE, Tanzania, Samoa, Papua Ny Guinea, São Tomé og Príncipe, Haiti, Jamaica, Liberia, Ghana, Gambia, Jordan, Jersey, Guernsey, Isle of Man, Gibraltar, Guyana, Salomonøerne, Falklandsøerne og Saint Helena. 1000 Kwacha -mønten i Zambia er en sand heptagon.

Den brasilianske 25 cent-mønt har en heptagon indskrevet i møntens disk. Nogle gamle versioner af Georgiens våbenskjold , herunder i sovjetiske dage , brugte et {7/2} heptagram som element.

I arkitektur er heptagonale grundplaner meget sjældne. Et bemærkelsesværdigt eksempel er prins Ernsts mausoleum i Stadthagen , Tyskland .

Mange politimærker i USA har et {7/2} heptagram -omrids.

Bortset fra det heptagonale prisme og heptagonal antiprisme indeholder ingen konveks polyeder, der er udelukkende lavet af almindelige polygoner, en heptagon som et ansigt.

Regelmæssige heptagoner kan flise det hyperbolske plan , som vist i denne Poincaré -diskmodelprojektion :

heptagonal flisebelægning

Grafer

Den komplette K ₇ -graf tegnes ofte som en almindelig heptagon med alle 21 kanter forbundet. Denne graf repræsenterer også en ortografisk projektion af de 7 hjørner og 21 kanter af 6-simplexen . Den almindelige skæve polygon omkring omkredsen kaldes petrie -polygonen .

6-simplex (6D)

Heptagon i naturen

• 

  Kaktus

Se også

• Heptagram
• Polygon

Referencer

eksterne links

• Definition og egenskaber ved en heptagon Med interaktiv animation
• Heptagon ifølge Johnson
• En anden omtrentlig konstruktionsmetode
• Polygoner - Heptagoner
• Nyligt opdaget og meget nøjagtig tilnærmelse til konstruktionen af ​​en almindelig heptagon.
• Heptagon, en tilnærmelsesvis konstruktion som en animation
• En heptagon med en given side, en tilnærmelsesvis konstruktion som en animation