Kubisk funktion - Cubic function

Graf for en kubisk funktion med 3 reelle rødder (hvor kurven krydser den vandrette akse — hvor y = 0 ). Den viste sag har to kritiske punkter . Her er funktionen f ( x ) = ( x ³ + 3 x ² - 6 x - 8) / 4 .

I matematik er en kubisk funktion en funktion af formen

${\ displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$

hvor koefficienterne a , b , c og d er reelle tal , og variablen x tager reelle værdier og a ≠ 0 . Med andre ord er det både en polynomfunktion af grad tre og en reel funktion . Specielt er domænet og codomain sættet for de reelle tal.

Indstilling f ( x ) = 0 giver en kubisk ligning af formen

${\ displaystyle økse ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0,}$

hvis løsninger kaldes funktionens rødder .

En kubisk funktion har enten en eller tre virkelige rødder (som muligvis ikke er forskellige); alle ulige gradspolynomier har mindst en reel rod.

Den graf af en kubisk funktion har altid en enkelt vendepunkt . Det kan have to kritiske punkter , et lokalt minimum og et lokalt maksimum. Ellers er en kubisk funktion monoton . Grafen for en kubisk funktion er symmetrisk med hensyn til dens bøjningspunkt; det vil sige, det er uforanderligt under en rotation på en halv omdrejning omkring dette punkt. Op til en affinetransformation er der kun tre mulige grafer til kubiske funktioner.

Kubiske funktioner er grundlæggende for kubisk interpolation .

Historie

Kritiske og bøjningspunkter

De rødder , stationære punkter , vendepunkt og konkave af en kubisk polynomium x ³ - 3 x ² - 144 x + 432 (sort linie) og sin første og anden derivater (rød og blå).

De kritiske punkter for en kubisk funktion er dens stationære punkter , det vil sige de punkter, hvor hældningen af ​​funktionen er nul. Således er de kritiske punkter i en kubisk funktion f defineret af

f ( x ) = ax ³ + bx ² + cx + d ,

forekommer ved værdier af x, således at derivatet

${\ displaystyle 3ax ^ {2} + 2bx + c = 0}$

af den kubiske funktion er nul.

Løsningerne i denne ligning er x- værdierne for de kritiske punkter og gives ved hjælp af den kvadratiske formel af

${\ displaystyle x _ {\ text {critical}} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -3ac}}} {3a}}.}$

Tegn på udtrykket inde i kvadratroden bestemmer antallet af kritiske punkter. Hvis det er positivt, er der to kritiske punkter, det ene er et lokalt maksimum, og det andet er et lokalt minimum. Hvis b ² - 3 ac = 0 , så er der kun ét kritisk punkt, hvilket er et vendepunkt . Hvis b ² - 3 ac <0 , er der ingen (reelle) kritiske punkter. I de to sidstnævnte tilfælde, dvs. hvis b ² - 3 ac ikke er positiv, er den kubiske funktion strengt monoton . Se figuren for et eksempel på sagen Δ ₀ > 0 .

Bøjningspunktet for en funktion er, hvor denne funktion ændrer konkavitet . Et bøjningspunkt opstår, når det andet derivat er nul, og det tredje derivat er nul. Således har en kubisk funktion altid et enkelt bøjningspunkt, som forekommer ved ${\ displaystyle f '' (x) = 6ax + 2b,}$

${\ displaystyle x _ {\ text {inflection}} = - {\ frac {b} {3a}}.}$

Klassifikation

Kubiske funktioner i formen Grafen for enhver kubisk funktion svarer til en sådan kurve. ${\ displaystyle y = x ^ {3} + px.}$

Den graf af en kubisk funktion er en kubisk kurve , selvom mange kubiske kurver er ikke grafer af funktioner.

Selvom kubiske funktioner afhænger af fire parametre, kan deres graf kun have meget få former. Faktisk ligner grafen for en kubisk funktion altid grafen for en funktion af formularen

${\ displaystyle y = x ^ {3} + px.}$

Denne lighed kan bygges som sammensætningen af oversættelser parallelt med koordinatakserne, en homoteki ( ensartet skalering ) og muligvis en refleksion ( spejlbillede ) med hensyn til y- aksen. En yderligere ikke-ensartet skalering kan omdanne grafen til grafen for en blandt de tre kubiske funktioner

${\ displaystyle {\ begynde {justeret} y & = x ^ {3} + x \\ y & = x ^ {3} \\ y & = x ^ {3} -x. \ slut {justeret}}}$

Dette betyder, at der kun er tre grafer med kubiske funktioner op til en affinetransformation .

Ovenstående geometriske transformationer kan bygges på følgende måde, når der startes fra en generel kubisk funktion ${\ displaystyle y = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d.}$

For det første, hvis a <0 , tillader ændringen af ​​variablen x → - x at antage a > 0 . Efter denne ændring af variablen er den nye graf spejlbilledet fra den forrige med hensyn til y- aksen.

Derefter ændres variablen x = x ₁ - b / 3 a giver en funktion af formularen

${\ displaystyle y = ax_ {1} ^ {3} + px_ {1} + q.}$

Dette svarer til en oversættelse parallelt med x -aksen.

Ændringen af ​​variablen y = y ₁ + q svarer til en oversættelse i forhold til y- aksen og giver en funktion af formen

${\ displaystyle y_ {1} = ax_ {1} ^ {3} + px_ {1}.}$

Ændringen af ​​variablen svarer til en ensartet skalering og giver efter multiplikation med en funktion af formen ${\ displaystyle \ textstyle x_ {1} = {\ frac {x_ {2}} {\ sqrt {a}}}, y_ {1} = {\ frac {y_ {2}} {\ sqrt {a}}} }$${\ displaystyle {\ sqrt {a}},}$

${\ displaystyle y_ {2} = x_ {2} ^ {3} + px_ {2},}$

hvilket er den enkleste form, der kan opnås ved en lighed.

Derefter, hvis p ≠ 0 , giver den ikke-ensartede skalering efter division med ${\ displaystyle \ textstyle x_ {2} = x_ {3} {\ sqrt {| p |}}, \ quad y_ {2} = y_ {3} {\ sqrt {| p | ^ {3}}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {| p | ^ {3}}},}$

${\ displaystyle y_ {3} = x_ {3} ^ {3} + x_ {3} \ operatorname {sgn} (p),}$

hvor har værdien 1 eller –1, afhængigt af tegnet på s . Hvis man definerer, gælder den sidstnævnte form for funktionen i alle tilfælde (med og ). ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (p)}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (0) = 0,}$${\ displaystyle x_ {2} = x_ {3}}$${\ displaystyle y_ {2} = y_ {3}}$

Symmetri

For en kubisk funktion af formen er bøjningspunktet således oprindelsen. Da en sådan funktion er en ulige funktion , er dens graf symmetrisk med hensyn til bøjningspunktet og uændret under en rotation på et halvt omdrejningspunkt omkring bøjningspunktet. Da disse egenskaber er uforanderlige af lighed , gælder følgende for alle kubiske funktioner. ${\ displaystyle y = x ^ {3} + px,}$

Grafen for en kubisk funktion er symmetrisk i forhold til dens bøjningspunkt og er uændret under en rotation på et halvt omdrejningspunkt omkring bøjningspunktet.

Kollineariteter

Punkterne P ₁ , P ₂ og P ₃ (i blåt) er kollinære og hører til grafen for x ³ + 3 / 2 x ² - 5 / 2 x + 5 / 4 . Punktene T ₁ , T ₂ og T ₃ (i rødt) er skæringspunkterne mellem de (punkterede) tangentlinier til grafen på disse punkter med selve grafen. De er også kollinære.

Tangentlinjerne til grafen for en kubisk funktion ved tre kollinære punkter opfanger den kubiske igen ved kollinære punkter. Dette kan ses som følger.

Da denne egenskab er uforanderlig under en stiv bevægelse , kan man antage, at funktionen har formen

${\ displaystyle f (x) = x ^ {3} + px.}$

Hvis α er et reelt tal, er tangenten til grafen for f ved punktet ( α , f ( α )) linjen

{( x , f ( α ) + ( x - α ) f  '( α )): x ∈ R }.

Så skæringspunktet mellem denne linje og grafen for f kan opnås ved at løse ligningen f ( x ) = f ( α ) + ( x - α ) f  '( α ) , dvs.

${\ displaystyle x ^ {3} + px = \ alpha ^ {3} + p \ alpha + (x- \ alpha) (3 \ alpha ^ {2} + p),}$

som kan omskrives

${\ displaystyle x ^ {3} -3 \ alpha ^ {2} x + 2 \ alpha ^ {3} = 0,}$

og faktoriseret som

${\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {2} (x + 2 \ alpha) = 0.}$

Så tangenten opfanger den kubiske kl

${\ displaystyle (-2 \ alpha, -8 \ alpha ^ {3} -2p \ alpha) = (- 2 \ alpha, -8f (\ alpha) + 6p \ alpha).}$

Så den funktion, der kortlægger et punkt ( x , y ) i grafen til det andet punkt, hvor tangenten opfanger grafen, er

${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (-2x, -8y + 6px).}$

Dette er en affin transformation, der omdanner kollinære punkter til kollinære punkter. Dette beviser det påståede resultat.

Kubisk interpolation

I betragtning af værdierne for en funktion og dens afledte på to punkter er der nøjagtigt en kubisk funktion, der har de samme fire værdier, som kaldes en kubisk Hermite-spline .

Der er to standard måder at bruge denne kendsgerning på. For det første, hvis man f.eks. Ved fysisk måling kender værdierne for en funktion og dens afledte ved nogle samplingspunkter, kan man interpolere funktionen med en kontinuerligt differentierbar funktion , som er en stykkevis kubisk funktion.

Hvis værdien af ​​en funktion er kendt på flere punkter, består kubisk interpolation i at tilnærme funktionen med en kontinuerligt differentierbar funktion , som er stykkevis kubisk. For at have en entydigt defineret interpolering skal der tilføjes yderligere to begrænsninger, såsom værdierne for derivaterne ved slutpunkterne eller en nul krumning ved slutpunkterne.

Reference

eksterne links

• "Cardano formula" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Historie af kvadratiske, kubiske og kvartiske ligninger på MacTutor-arkivet .