CW -kompleks - CW complex

Et CW -kompleks er en slags topologisk plads, der er særlig vigtig inden for algebraisk topologi . Det blev introduceret af JHC Whitehead for at imødekomme behovene i homotopiteori . Denne klasse af rum er bredere og har nogle bedre kategoriske egenskaber end simple komplekser , men bevarer stadig en kombinatorisk karakter, der giver mulighed for beregning (ofte med et meget mindre kompleks). Den C står for "lukning-finit" og W for "svage" topologi. Et CW -kompleks kan defineres induktivt.

• Et 0- dimensionelt CW-kompleks er blot et sæt nul eller flere diskrete punkter (med den diskrete topologi ).
• Et 1- dimensionelt CW-kompleks konstrueres ved at tage den usammenhængende forening af et 0-dimensionelt CW-kompleks med en eller flere kopier af enhedsintervallet . For hver kopi er der et kort, der " limer " dens grænse (dens to slutpunkter) til elementer i det 0-dimensionelle kompleks (punkterne). CW -kompleksets topologi er topologien i kvotrummet defineret af disse limningskort.
• Generelt konstrueres et n -dimensionelt CW -kompleks ved at tage den usammenhængende forening af et k -dimensionelt CW -kompleks (for nogle ) med en eller flere kopier af den n -dimensionelle kugle . For hver kopi er der et kort, der "limer" dens grænse (den -dimensionelle sfære ) til elementer i det -dimensionale kompleks. CW -kompleksets topologi er kvotientopologien defineret af disse limningskort.${\ displaystyle k <n}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle k}$
• Et uendeligt dimensionelt CW-kompleks kan konstrueres ved at gentage ovenstående proces adskillige mange gange.

I et n -dimensionelt CW -kompleks er for hver en k -celle det indre af en k -dimensionel bold tilføjet ved k -th -trinnet. Den k-skelet af komplekset er foreningen af alle dens k -celler. ${\ displaystyle k \ leq n}$

Eksempler

Som nævnt ovenfor er hver samling af diskrete punkter et CW -kompleks (af dimension 0).

1-dimensionelle CW-komplekser

Nogle eksempler på 1-dimensionelle CW-komplekser er:

• Et interval . Den kan konstrueres fra to punkter ( x og y ) og den 1-dimensionelle kugle B (et interval), således at det ene endepunkt af B limes til x, og det andet limes til y . De to punkter x og y er 0-cellerne; det indre af B er 1-cellen. Alternativt kan den konstrueres ud fra et enkelt interval uden 0-celler.
• En cirkel . Det kan konstrueres ud fra et enkelt punkt x og den 1-dimensionelle kugle B , således at begge endepunkter for B limes til x . Alternativt kan det konstrueres ud fra to punkter x og y og to 1-dimensionelle kugler A og B , således at endepunkterne for A limes til x og y , og endepunkterne for B også limes til x og y .
• En graf . Det er et 1-dimensionelt CW-kompleks, hvor 0-cellerne er hjørnerne og 1-cellerne er kanterne. Endepunkterne for hver kant er identificeret med hjørnerne ved siden af ​​den.
  • 3-regelmæssige grafer kan betragtes som generiske 1-dimensionelle CW-komplekser. Specifikt hvis X er en 1-dimensional CW-kompleks, den fastgøre kortet for en 1-cellen er en kort fra et to-punkts plads til X , . Dette kort kan forstyrres at være disjunkte fra 0-skelet af X , hvis og kun hvis og ikke 0-valens knudepunkter af X .${\ displaystyle f: \ {0,1 \} \ til X}$${\ displaystyle f (0)}$${\ displaystyle f (1)}$
• Den standard CW struktur på de reelle tal har som 0-skelet heltal og som 1-celler intervallerne . Tilsvarende har standard CW-strukturen on kubiske celler, der er produkter af 0- og 1-cellerne fra . Dette er den standard kubiske gittercellestruktur på .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ {[n, n+1]: n \ i \ mathbb {Z} \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Multidimensionale CW-komplekser

Nogle eksempler på multidimensionale CW-komplekser er:

• En n -dimensionel sfære . Det indrømmer en CW-struktur med to celler, en 0-celle og en n-celle. Her er n-cellen knyttet ved den konstante kortlægning fra dens grænse til den enkelte 0-celle. En alternativ cellenedbrydning har en ( n -1) -dimensionel sfære (" ækvator ") og to n- celler, der er knyttet til den ("øvre hemisfære" og "nedre hemisfære"). Induktivt giver dette en CW -dekomponering med to celler i hver dimension k sådan, at .${\ displaystyle D^{n}}$${\ displaystyle S^{n-1}}$${\ displaystyle S^{n}}$${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$
• Det n -dimensionelle virkelige projektive rum . Det indrømmer en CW -struktur med en celle i hver dimension.
• Terminologien for et generisk 2-dimensionelt CW-kompleks er en skygge .
• Et polyeder er naturligvis et CW -kompleks.
• Grassmannian manifolds indrømmer en CW -struktur kaldet Schubert -celler .
• Differentierbare manifolder , algebraiske og projektive sorter har homotopi-typen af ​​CW-komplekser.
• Den one-point sammenkrølningen af en cusped hyperbolsk manifold har en kanonisk CW nedbrydning med kun én 0-celle (den sammenkrølningen point) kaldes Epstein-Penner Dekomponering . Sådanne cellenedbrydninger kaldes ofte ideelle polyhedrale nedbrydninger og bruges i populær computersoftware, såsom SnapPea .

Ikke CW-komplekser

• Et uendeligt dimensionelt Hilbert -rum er ikke et CW -kompleks: det er et Baire -rum og kan derfor ikke skrives som en tællelig forening af n -skeletter, som hver især er et lukket sæt med tomt interiør. Dette argument strækker sig til mange andre uendelige-dimensionelle rum.
• Rummet har homotopi-typen af ​​et CW-kompleks (det er sammentrykkeligt), men det indrømmer ikke en CW-nedbrydning, da det ikke er lokalt sammentrækkeligt .${\ displaystyle \ {re^{2 \ pi i \ theta}: 0 \ leq r \ leq 1, \ theta \ in \ mathbb {Q} \} \ subseteq \ mathbb {C}}$
• Den Hawaii ørering er et eksempel på et topologisk rum, der ikke har den Homotopiteori-type en CW-kompleks.

Formulering

Groft sagt er et CW -kompleks lavet af grundlæggende byggesten kaldet celler . Den præcise definition foreskriver, hvordan cellerne kan topologisk limes sammen .

En n -dimensionel lukket celle er billedet af en n -dimensionel lukket kugle under et vedhæftende kort . For eksempel er en simplex en lukket celle, og mere generelt er en konveks polytop en lukket celle. En n -dimensionel åben celle er et topologisk rum, der er homeomorft i forhold til den n -dimensionelle åbne kugle . En 0-dimensionel åben (og lukket) celle er et singletonrum . Lukning-begrænset betyder, at hver lukket celle er dækket af en endelig forening af åbne celler (eller kun opfylder uendeligt mange andre celler).

Et CW -kompleks er et Hausdorff -rum X sammen med en opdeling af X i åbne celler (af måske varierende dimension), der opfylder to yderligere egenskaber:

• For hver n -dimensionel åben celle C i partitionen af X eksisterer der et kontinuerligt kort f fra den n -dimensionelle lukkede kugle til X, således at
  • begrænsningen af f til det indre af den lukkede kugle er en homeomorfisme på cellen C , og
  • billedet af grænsen for den lukkede kugle er indeholdt i foreningen af ​​et begrænset antal elementer i skillevæggen, der hver har celledimension mindre end n .
• En undergruppe af X er lukket , hvis og kun hvis det opfylder lukning af hver celle i et lukket sæt.

Partitionen af X kaldes også en cellulering .

Regelmæssige CW -komplekser

En CW kompleks kaldes regelmæssig hvis for hver n -dimensional åbne celler C i skillevæggen af X , den kontinuerlige kort f fra n -dimensional lukkede bolden til X er en homeomorfi på lukningen af cellen C . Følgelig kaldes partitionen af X også en regelmæssig cellulering . En loopless graf er et almindeligt 1-dimensionelt CW-kompleks. En lukket 2-cellet graf indlejret på en overflade er et almindeligt 2-dimensionelt CW-kompleks. Endelig hævder den 3-kugle regelmæssige celleformulering, at hver 2-forbundet graf er 1-skelettet af et almindeligt CW-kompleks på den tredimensionelle kugle ( https://twiki.di.uniroma1.it/pub/Users/ SergioDeAgostino/DeAgostino.pdf ).

Relative CW -komplekser

Groft sagt adskiller et relativt CW -kompleks sig fra et CW -kompleks ved, at vi tillader det at have en ekstra byggesten, der ikke nødvendigvis besidder en cellulær struktur. Denne ekstra blok kan behandles som en (-1) -dimensionel celle i den tidligere definition.

Induktiv konstruktion af CW -komplekser

Hvis den største dimension af nogen af ​​cellerne er n , siges CW -komplekset at have dimension n . Hvis der ikke er nogen binding til celledimensionerne, siges det at være uendelig-dimensionelt. Den n -skeleton af et CW-kompleks er foreningen af de celler, hvis dimension er højst n . Hvis foreningen af ​​et sæt celler lukkes, så er denne forening i sig selv et CW -kompleks, kaldet et subkompleks. Således er n -skelettet det største subkompleks af dimension n eller mindre.

Et CW -kompleks er ofte konstrueret ved at definere dets skelet induktivt ved at 'vedhæfte' celler af stigende dimension. Ved en 'binding' af et n -celle til en topologisk rum X et middel en adjunction space hvor f er en kontinuerlig kort fra grænsen af et lukket n -dimensional bold til X . For at konstruere et CW-kompleks begynder du med et 0-dimensionelt CW-kompleks, det vil sige et diskret rum . Vedhæft 1-celler til for at opnå et 1-dimensionelt CW-kompleks . Vedhæft 2-celler til for at opnå et 2-dimensionelt CW-kompleks . Fortsætter på denne måde, får vi en indlejret sekvens af CW-komplekser med stigende dimension, at hvis derefter er den i -skeleton af . ${\ displaystyle B \ cup _ {f} X}$${\ displaystyle B \ subseteq R^{n}}$ ${\ displaystyle X_ {0}}$${\ displaystyle X_ {0}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle X_ {0} \ subseteq X_ {1} \ subseteq \ cdots X_ {n} \ subseteq \ cdots}$${\ displaystyle i \ leq j}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {j}}$

Op til isomorfisme kan hvert n -dimensionalt CW -kompleks fås fra dets ( n  -1) -skelet via vedhæftning af n -celler, og dermed kan hvert endeligt -dimensionelt CW -kompleks opbygges ved ovenstående proces. Dette er sandt, selv for uendelige-dimensionelle komplekser, med den forståelse, at resultatet af den uendelige proces er skeletets direkte grænse : et sæt lukkes i X, hvis og kun hvis det møder hvert skelet i et lukket sæt.

Homologi og kohomologi af CW -komplekser

Singular homologi og cohomology af CW -komplekser kan let beregnes via cellulær homologi . I kategorien CW -komplekser og cellulære kort kan cellulær homologi desuden tolkes som en homologi teori . For at beregne en ekstraordinær (co) homologi teori for et CW -kompleks er Atiyah - Hirzebruch spektral sekvens analogen til cellulær homologi .

Nogle eksempler:

• For kuglen, tage celle nedbrydning med to celler: en enkelt 0 -celle og en enkelt n -celle. Den cellulære homologi kæde kompleks og homologi er givet ved:${\ displaystyle S^{n},}$ ${\ displaystyle C _ {*}}$

${\ displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k \ in \ {0, n \} \\ 0 & k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}} \ quad H_ {k} = {\ start {cases} \ mathbb {Z} & k \ in \ {0, n \} \\ 0 & k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}}}$

da alle forskelle er nul.

Alternativt, hvis vi bruger ækvatorial nedbrydning med to celler i hver dimension

${\ displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} ^{2} & 0 \ leqslant k \ leqslant n \\ 0 & {\ text {ellers}} \ end {cases}}}$

og differentialerne er matricer af formen Dette giver den samme homologiregning ovenfor, da kædekomplekset er nøjagtigt i alle termer undtagen og${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \ end {smallmatrix}} \ right).}$${\ displaystyle C_ {0}}$${\ displaystyle C_ {n}.}$

• For vi får det på samme måde${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle H ^{k} \ left (\ mathbb {P} ^{n} (\ mathbb {C}) \ right) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & 0 \ leqslant k \ leqslant 2n, {\ text {even}} \\ 0 og {\ text {ellers}} \ slut {cases}}}$

Begge de ovennævnte eksempler er særlig enkle, fordi homologien bestemmes af antallet af celler - det vil sige: de cellulære vedhæftede kort har ingen rolle i disse beregninger. Dette er et meget specielt fænomen og er ikke vejledende for den generelle sag.

Ændring af CW -strukturer

Der er en teknik, udviklet af Whitehead, til udskiftning af et CW-kompleks med et homotopi-ækvivalent CW-kompleks, der har en enklere CW-dekomponering.

Overvej f.eks. Et vilkårligt CW -kompleks. Dens 1-skelet kan være temmelig kompliceret, idet det er en vilkårlig graf . Overvej nu en maksimal skov F i denne graf. Da det er en samling af træer, og træerne er sammentrækkeligt, overveje det rum , hvor ækvivalensrelationen er genereret af , hvis de er indeholdt i en fælles træ i den maksimale skov F . Kvotientkortet er en homotopiækvivalens. Desuden arver naturligvis en CW struktur med celler svarende til cellerne af at der ikke er indeholdt i F . Især 1-skelettet af er en uensartet forening af cirkler. ${\ displaystyle X/{\ sim}}$${\ displaystyle x \ sim y}$${\ displaystyle X \ til X/{\ sim}}$${\ displaystyle X/{\ sim}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X/{\ sim}}$

En anden måde at angive ovenstående er, at et forbundet CW-kompleks kan erstattes af et homotopi-ækvivalent CW-kompleks, hvis 0-skelet består af et enkelt punkt.

Overvej at klatre op ad tilslutningsstigen-antag, at X er et enkelt forbundet CW-kompleks, hvis 0-skelet består af et punkt. Kan vi ved passende ændringer erstatte X med et homotopi-ækvivalent CW-kompleks, der består af et enkelt punkt? Svaret er ja. Det første trin er at observere det og de vedhæftede kort, der skal konstrueres ud fra en gruppepræsentation . Den Tietze sætning for gruppe præsentationer stater, der er en sekvens af bevægelser, vi kan udføre for at reducere denne gruppe præsentation for trivielle præsentation af triviel gruppe. Der er to Tietze -træk: ${\ displaystyle X^{1}}$${\ displaystyle X^{1}}$${\ displaystyle X^{2}}$${\ displaystyle X^{1}}$

1) Tilføjelse/fjernelse af en generator. Tilføjelse af en generator, set fra CW-nedbrydningens perspektiv, består i at tilføje en 1-celle og en 2-celle, hvis vedhæftningskort består af den nye 1-celle, og resten af ​​det vedhæftede kort er i . Hvis vi lader være det tilsvarende CW komplekset så er der en homotopi ækvivalens givet ved at skubbe den nye 2-celle i X .${\ displaystyle X^{1}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup e^{1} \ cup e^{2}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}} \ til X}$

2) Tilføjelse/fjernelse af en relation. Handlingen med at tilføje en relation er ens, kun en erstatter X med, hvor den nye 3 -celle har et vedhæftende kort, der består af den nye 2 -celle og resten kortlægning til . Et lignende dias giver en homotopi-ækvivalens .${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup e^{2} \ cup e^{3}}$${\ displaystyle X^{2}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}} \ til X}$

Hvis et CW -kompleks X er n -forbundet , kan man finde et homotopi -ækvivalent CW -kompleks, hvis n -skelet består af et enkelt punkt. Argumentet for ligner tilfældet, kun en erstatter Tietze -træk for den grundlæggende gruppepræsentation ved elementære matrixoperationer til præsentationsmatricerne for (ved hjælp af præsentationsmatricerne, der kommer fra mobilhomologi . Dvs.: man kan på samme måde realisere elementære matrixoperationer ved en sekvens af tilføjelse/fjernelse af celler eller egnede homotopier af de vedhæftede kort. ${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$${\ displaystyle X^{n}}$${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle H_ {n} (X; \ mathbb {Z})}$

Kategorien 'homotopi'

Den Homotopiteori kategori af CW-komplekser er, i udtalelsen fra nogle eksperter, de bedste, hvis ikke den eneste kandidat til den Homotopiteori kategori (af tekniske årsager versionen til spidse rum faktisk anvendes). Hjælpekonstruktioner, der giver rum, der ikke er CW -komplekser, skal bruges lejlighedsvis. Et grundlæggende resultat er, at de repræsentative funktioner i kategorien homotopi har en enkel karakterisering ( Brown repræsentabilitetsteoremet ).

Ejendomme

• CW -komplekser er lokalt sammentrækkelige.
• CW -komplekser tilfredsstiller Whitehead -sætningen : et kort mellem CW -komplekser er en homotopilækvivalens, hvis og kun hvis det inducerer en isomorfisme på alle homotopigrupper.
• Produktet af to CW -komplekser kan gøres til et CW -kompleks. Specifikt, hvis X og Y er CW -komplekser, kan man danne et CW -kompleks X × Y , hvor hver celle er et produkt af en celle i X og en celle i Y , udstyret med den svage topologi . Det underliggende sæt af X × Y er derefter det kartesiske produkt af X og Y , som forventet. Derudover stemmer den svage topologi på dette sæt ofte overens med den mere velkendte produkttopologi på X × Y , for eksempel hvis enten X eller Y er begrænset. Den svage topologi kan dog være finere end produkttopologien, for eksempel hvis hverken X eller Y er lokalt kompakte . I dette ugunstige tilfælde er produktet X × Y i produkttopologien ikke et CW -kompleks. På den anden side er produktet af X og Y i kategorien kompakt genererede rum i overensstemmelse med den svage topologi og definerer derfor et CW -kompleks.
• Lad X og Y være CW -komplekser. Så er funktionsrummene Hom ( X , Y ) (med den kompakte åbne topologi ) ikke CW-komplekser generelt. Hvis X er endelig, er Hom ( X , Y ) homotopi svarende til et CW -kompleks ved en sætning af John Milnor (1959). Bemærk, at X og Y er kompakt genererede Hausdorff-mellemrum , så Hom ( X , Y ) tages ofte med den kompakt genererede variant af den kompakt-åbne topologi; ovenstående udsagn forbliver sande.
• Et dækningsrum i et CW -kompleks er også et CW -kompleks.
• CW -komplekser er parakompakte . Endelige CW -komplekser er kompakte . Et kompakt underrum af et CW -kompleks er altid indeholdt i et endelig subkompleks.

Se også

• Abstrakt cellekompleks
• Begrebet CW -kompleks har en tilpasning til glatte manifolds kaldet en håndtagssnedbrydning , som er tæt forbundet med kirurgiteori .

Referencer

Noter

Generelle referencer