Kompakt genereret plads - Compactly generated space

I topologi er et kompakt genereret rum (eller k-rum ) et topologisk rum, hvis topologi er sammenhængende med familien til alle kompakte underrum . Specifikt genereres et topologisk rum X kompakt, hvis det opfylder følgende betingelse:

En underrum A er lukket i X , hvis og kun hvis A ∩ K er lukket i K for alle kompakte underrum K ⊆ X .

Tilsvarende kan man erstatte lukket med åbent i denne definition. Hvis X er sammenhængende med et hvilket som helst dækning af kompakte underrum i ovenstående betydning, er det i virkeligheden sammenhængende med alle kompakte underrum.

Et kompakt genereret Hausdorff -rum er et kompakt genereret rum, der også er Hausdorff . Ligesom mange kompakthetsforhold antages kompakt genererede rum ofte at være Hausdorff eller svagt Hausdorff .

Motivering

Kompakt genererede rum blev oprindeligt kaldt k-mellemrum efter det tyske ord kompakt . De blev undersøgt af Hurewicz og kan findes i General Topology af Kelley, Topology af Dugundji, Rational Homotopy Theory af Félix, Halperin og Thomas.

Motivationen for deres dybere undersøgelse kom i 1960'erne fra velkendte mangler ved den sædvanlige kategori af topologiske rum . Dette undlader at være en kartesisk lukket kategori , det sædvanlige kartesiske produkt af identifikationskort er ikke altid et identifikationskort, og det sædvanlige produkt af CW-komplekser behøver ikke at være et CW-kompleks. Derimod havde kategorien af ​​simple sæt mange bekvemme egenskaber, herunder at være kartesisk lukket. Historien om undersøgelsen af ​​reparation af denne situation er givet i artiklen om n Lab om bekvemme kategorier af rum .

Det første forslag (1962) til at afhjælpe denne situation var at begrænse sig til hele underkategorien af kompakt genererede Hausdorff -rum, som faktisk er kartesisk lukket. Disse ideer strækker sig over de Vries dualitetsteorem . En definition af det eksponentielle objekt er givet nedenfor. Et andet forslag (1964) var at overveje de sædvanlige Hausdorff -rum, men bruge funktioner kontinuerligt på kompakte undersæt.

Disse ideer kan generaliseres til ikke-Hausdorff-sagen. Dette er nyttigt, da identifikationsrum for Hausdorff -rum ikke behøver at være Hausdorff.

I nutidens algebraiske topologi er denne egenskab for det meste almindeligt kombineret med den svage Hausdorff- egenskab, så man arbejder i kategorien svage Hausdorff-kompakt genererede (WHCG) rum.

Eksempler og modeksempler

De fleste topologiske rum, der normalt studeres i matematik, genereres kompakt.

Eksempler på topologiske rum, der ikke genereres kompakt, omfatter følgende.

  • Rummet , hvor den første faktor anvender subrumstopologien , den anden faktor er kvotrummet for R, hvor alle naturlige tal identificeres med et enkelt punkt, og produktet bruger produkttopologien .
  • Hvis er et ikke-principielt ultrafilter på et uendeligt sæt , har den inducerede topologi den egenskab, at hvert kompakt sæt er begrænset og ikke er kompakt genereret.

Ejendomme

Vi betegner CGTop hele underkategorien Top med objekter de kompakt genererede rum, og CGHaus hele underkategorien af CGTop med objekter Hausdorff -mellemrummene .

I betragtning af ethvert topologisk rum X kan vi definere en (muligvis) finere topologi på X, der er kompakt genereret. Lad { K α } betegne familie af kompakte delmængder af X . Vi definerer den nye topologi på X ved at erklære et undersæt A for at være lukket, hvis og kun hvis A ∩ K α er lukket i K α for hver α. Betegn dette nye rum med X c . Man kan vise, at de kompakte undersæt af X c og X falder sammen, og de inducerede topologier på kompakte sæt er de samme. Det følger heraf, at X c genereres kompakt. Hvis X blev kompakt genereret til at starte med, så X c = X ellers er topologien på X c strengt finere end X (dvs. der er flere åbne sæt).

Denne konstruktion er funktional . Funktoren fra Top til CGTop, der tager X til X c, er lige ved siden af inklusionsfunktoren CGTop → Top .

Den kontinuitet af et kort defineret på en kompakt genereret rum X kan bestemmes alene ved at se på de kompakte delmængder af X . Specifikt en funktion f  : X → Y er kontinuert hvis og kun hvis det er kontinuerlig når begrænset til hver kompakt delmængde K ⊆ X .

Hvis X og Y er to kompakt genererede rum, er produktet X × Y muligvis ikke kompakt genereret (det vil være, hvis mindst en af ​​faktorerne er lokalt kompakt). Når man arbejder i kategorier af kompakt genererede rum, er det derfor nødvendigt at definere produktet som ( X × Y ) c .

Det eksponentielle objekt i CGHaus er givet af ( Y X ) c, hvor Y X er rummet for kontinuerlige kort fra X til Y med den kompakt-åbne topologi .

Disse ideer kan generaliseres til ikke-Hausdorff-sagen. Dette er nyttigt, da identifikationsrum for Hausdorff -rum ikke behøver at være Hausdorff.

Se også

Referencer

  1. ^ Hatcher, Allen (2001). Algebraisk topologi (PDF) . (Se bilag)
  2. ^ a b Brown, Ronald (2006). Topologi og Groupoids . Charleston, South Carolina: Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8. (Se afsnit 5.9)
  3. ^ PI Booth og J. Tillotson, " Monoidal closed, Cartesian closed og bekvemme kategorier af topologiske rum ", Pacific Journal of Mathematics , 88 (1980) s. 33-53.

Oversigt

Andet