Peget plads - Pointed space

I matematik er en spids plads et topologisk rum med et særpræg, basispunktet . Det fremtrædende punkt er bare et bestemt punkt, plukket ud fra rummet og givet et navn, som det, der forbliver uændret under efterfølgende diskussion, og holdes styr på under alle operationer. ${\ displaystyle x_ {0},}$

Kort over spidse rum ( baserede kort ) er kontinuerlige kort, der bevarer basepunkter, dvs. et kort mellem et spidsrum med basepunkt og et spidsrum med basispunkt er et baseret kort, hvis det er kontinuerligt med hensyn til topologierne for og og hvis dette normalt er betegnet ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle y_ {0}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) = y_ {0}.}$

{\ displaystyle f: \ left (X, x_ {0} \ right) \ to \ left (Y, y_ {0} \ right).}

Spidse rum er vigtige i algebraisk topologi , især i homotopiteori , hvor mange konstruktioner, såsom den grundlæggende gruppe , afhænger af et valg af basispunkt.

Det spidse sæt- koncept er mindre vigtigt; det er alligevel tilfældet med et spids diskret rum .

Pegede mellemrum tages ofte som et specielt tilfælde af den relative topologi , hvor delmængden er et enkelt punkt. Således udvikles meget af homotopiteori normalt på spidse rum og flyttes derefter til relative topologier i algebraisk topologi .

Kategori af spidse rum

Den klasse af alle spidse rum danner en kategori Top med Basepoint bevare kontinuerte kort som morfier . En anden måde at tænke på denne kategori er som komma-kategori ( Top ) hvor der er et enkelt punktrum og Top er kategorien af topologiske rum . (Dette kaldes også en coslice-kategori betegnet Top .) Objekter i denne kategori er kontinuerlige kort Sådanne morfismer kan betragtes som at udvælge et basepunkt i Morphisms in Top ) er morfismer i Top, som følgende diagram pendler til : _{${\ displaystyle \ bullet}$} ${\ displaystyle \ {\ bullet \} \ downarrow}$ ${\ displaystyle \ {\ bullet \}}$ ${\ displaystyle \ {\ bullet \} /}$ ${\ displaystyle \ {\ bullet \} \ til X.}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle \ {\ bullet \} \ downarrow}$

Det er let at se, at diagrammets kommutativitet svarer til den tilstand, der bevarer basispunkter. ${\ displaystyle f}$

Som en spids plads er der et nul objekt i Top , mens det kun er et terminal objekt i Top . ${\ displaystyle \ {\ bullet \}}$ _{${\ displaystyle \ {\ bullet \}}$}

Der er en glemsom funktor Top Top, som "glemmer", hvilket punkt der er basispunktet. Denne funktor har en venstre adjoint, som tildeler hvert topologisk rum den usammenhængende forening af og et etpunktsrum, hvis enkeltelement anses for at være basispunktet. _{${\ displaystyle \ {\ bullet \}}$} ${\ displaystyle \ to}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ {\ bullet \}}$

Operationer på spidse rum

Et underrum af et spidst rum er et topologisk underrum, der deler dets basispunkt med, så inklusionskortet bevarer basispunktet. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle X}$
Man kan danne kvotienten for et spidset rum under enhver ækvivalensrelation . Basispunktet for kvotienten er billedet af basispunktet under kvotekortet. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$
Man kan danne produktet af to spidse rum som det topologiske produkt med tjenesten som basispunkt. ${\ displaystyle \ left (X, x_ {0} \ right),}$ ${\ displaystyle \ left (Y, y_ {0} \ right)}$ ${\ displaystyle X \ gange Y}$ ${\ displaystyle \ left (x_ {0}, y_ {0} \ right)}$
Den biprodukt i kategorien af spidse rum er kile sum , der kan opfattes som 'one-point union' af rum.
Det smadre produkt af to spidse rum er stort set den kvotienten af det direkte produkt og kilen sum. Vi vil gerne sige, at smash-produktet forvandler kategorien af spidse rum til en symmetrisk monoid kategori med den spidse 0-sfære som enhedsobjekt, men dette er falsk for generelle rum: associativitetstilstanden kan mislykkes. Men det gælder for nogle mere begrænsede kategorier af rum, såsom kompakt genererede svage Hausdorff- dem.
Den reducerede ophængning af et spidset rum er (op til en homeomorfisme ) det smadrende produkt af og den spidse cirkel ${\ displaystyle \ Sigma X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S ^ {1}.}$
Den reducerede affjedring er en funktion fra kategorien af spidse rum til sig selv. Denne funktor efterlades sammen med funktoren, der tager et spidsrum til sit looprum . ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Omega X}$