Indledende værdiproblem - Initial value problem

I multivariabel beregning er et initialværdiproblem ( ivp ) en almindelig differentialligning sammen med en startbetingelse, der angiver værdien af ​​den ukendte funktion på et givet punkt i domænet . At modellere et system inden for fysik eller andre videnskaber svarer ofte til at løse et problem med indledende værdier. I den sammenhæng er den differentielle startværdi en ligning, der angiver, hvordan systemet udvikler sig med tiden givet problemets indledende betingelser.

Definition

Et indledende værdiproblem er en differentialligning

${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t))}$ med hvor er en åben sæt ,${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ subset \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^{n}}$

sammen med et punkt i domænet ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle (t_ {0}, y_ {0}) \ i \ Omega,}$

kaldes den oprindelige tilstand .

En løsning på et initialværdiproblem er en funktion, der er en løsning på differentialligningen og tilfredsstiller ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}.}$

I højere dimensioner erstattes differentialligningen med en familie af ligninger og ses som vektoren , der oftest er forbundet med positionen i rummet. Mere generelt kan den ukendte funktion tage værdier på uendelige dimensionelle rum, såsom Banach -mellemrum eller fordelingsrum . ${\ displaystyle y_ {i} '(t) = f_ {i} (t, y_ {1} (t), y_ {2} (t), \ dotsc)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle (y_ {1} (t), \ dotsc, y_ {n} (t))}$${\ displaystyle y}$

Indledende værdiproblemer udvides til højere ordrer ved at behandle derivaterne på samme måde som en uafhængig funktion, f.eks . ${\ displaystyle y '' (t) = f (t, y (t), y '(t))}$

Eksistens og entydighed af løsninger

Den Picard-Lindelöf teoremet garanterer en unik løsning på nogle interval, der indeholder t ₀ hvis f er kontinuert på et område indeholdende t ₀ og y ₀ og opfylder Lipschitz betingelse for den variable y . Beviset for denne sætning fortsætter ved at omformulere problemet som en ækvivalent integralligning . Integralet kan betragtes som en operatør, der kortlægger en funktion til en anden, således at løsningen er et fast punkt for operatøren. Den Banachs faste punkt sætning derpå påberåbes for at vise, at der er en enestående fast punkt, som er løsningen af den oprindelige værdi problem.

Et ældre bevis på Picard – Lindelöf -sætningen konstruerer en sekvens af funktioner, der konvergerer til løsningen af ​​den integrale ligning og dermed løsningen af ​​det oprindelige værdiproblem. En sådan konstruktion kaldes undertiden "Picards metode" eller "metoden til successive tilnærmelser". Denne version er i det væsentlige et specielt tilfælde af Banach -fastpunktssætningen.

Hiroshi Okamura opnåede en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at løsningen af ​​et problem med en initial værdi kunne være unik. Denne betingelse har at gøre med eksistensen af ​​en Lyapunov -funktion for systemet.

I nogle situationer er funktionen f ikke af klasse C ¹ eller endda Lipschitz , så det sædvanlige resultat, der garanterer den lokale eksistens af en unik løsning, gælder ikke. Den Peano eksistens teorem viser dog, at selv for f blot kontinuerlig, er løsninger garanteret at eksistere lokalt i tid; problemet er, at der ikke er nogen garanti for entydighed. Resultatet kan findes i Coddington & Levinson (1955, sætning 1.3) eller Robinson (2001, sætning 2.6). Et endnu mere generelt resultat er Carathéodory -eksistenssætningen , der beviser eksistens for nogle diskontinuerlige funktioner f .

Eksempler

Et enkelt eksempel er at løse og . Vi forsøger at finde en formel, der opfylder disse to ligninger. ${\ displaystyle y '(t) = 0,85 y (t)}$${\ displaystyle y (0) = 19}$${\ displaystyle y (t)}$

Omarranger ligningen, så den er på venstre side ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ frac {y '(t)} {y (t)}} = 0,85}$

Integrer nu begge sider med hensyn til (dette introducerer en ukendt konstant ). ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {y '(t)} {y (t)}} \, dt = \ int 0.85 \, dt}$

${\ displaystyle \ ln | y (t) | = 0.85t+B}$

Fjern logaritmen med eksponentiering på begge sider

${\ displaystyle | y (t) | = e^{B} e^{0.85t}}$

Lad være en ny ukendt konstant , så ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C = \ pm e^{B}}$

${\ displaystyle y (t) = Ce^{0.85t}}$

Nu skal vi finde en værdi for . Brug som angivet i starten, og erstat 0 for og 19 for${\ displaystyle C}$${\ displaystyle y (0) = 19}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle 19 = Ce^{0,85 \ cdot 0}}$

${\ displaystyle C = 19}$

dette giver den endelige løsning af . ${\ displaystyle y (t) = 19e^{0.85t}}$

Andet eksempel

Løsningen af

${\ displaystyle y '+3y = 6t+5, \ qquad y (0) = 3}$

kan findes at være

${\ displaystyle y (t) = 2e^{-3t}+2t+1. \,}$

Ja,

${\ displaystyle {\ begin {align} y '+3y & = {\ tfrac {d} {dt}} (2e^{-3t}+2t+1) +3 (2e^{-3t}+2t+1) \\ & = (-6e^{-3t} +2)+(6e^{-3t}+6t+3) \\ & = 6t+5. \ End {align}}}$

Noter

Se også

• Grænseværdiproblem
• Konstant integration
• Integreret kurve

Referencer