Materiálně podmíněný

materiálně podmíněný
Vennův diagram spojky
Nomenklatura
přirozený jazyk	A znamená B , pokud A, pak B
formální jazyk	$A\šipka doprava B$
Opravdová tabulka
${\begin{array}{c|c||c}A&B&A\rightarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\end{array}}$

logické spojky
Tautologie $\top$ protilehlá konjunkce $\šipka nahoru$ opačná implikace $\šipka vlevo$ materiálně podmíněný $\šipka doprava$ logická disjunkce $\lor$ logické popření $\lne$ výhradní disjunkce $\nleftrightarrow$ dvoupodmínečné $\leftrightarrow$ logické tvrzení opačná disjunkce $\šipka dolů$ logický doplněk $\nrightarrow$ opačné sčítání $\nleftarrow$ logické spojení $\přistát$ Rozpor $\bot$

Materiální podmíněné , známé jako podmíněné , pravdivostně funkční podmíněné nebo volně zaměňované s materiální implikací , je logickým spojovacím prvkem, který spojuje dva návrhy , obvykle reprezentované jako . Ve výrokové logice je hmotná podmíněná funkce binární pravdivostní funkce , která vrací nepravdu , když B je nepravda s A true, a v opačném případě vrací pravdivou . V predikátové logice na něj lze nahlížet jako na vztah podmnožiny mezi rozšířením (možná komplexních) predikátů. $A\to B$

Na rozdíl od hovorové španělštiny , kde výrazy „jestliže..., pak...“ implikují příčinu a následek, materiální podmiňovací způsob konvenčně nezakládá kauzální vztah mezi svými propozicemi. Je to prostě výraz, který nabývá falešné pravdivostní hodnoty , když je současně pravdivý i nepravdivý. $A\to B$ $A$$B.$

Materiální podmíněnost může být označena různými způsoby,

$A\to B$

$A\supset B$(ačkoli tento symbol lze použít jako symbol pro nadmnožinu v teorii množin )

$A\Rightarrow B$(ačkoli se to nedoporučuje, protože se používá pro logickou implikaci )

$CAB$(v polské notaci )

Pokud jde o proměnné A a B,

$A$je předchůdcem kondicionálu

$B.$důsledek kondicionálu _

Je důležité nezaměňovat koncept materiálního podmíněného s konceptem logické implikace . Zmatek je ještě umocněn, protože symboly a jsou volně používány jako ekvivalentní výrazy, i když ve skutečnosti nejsou. Ačkoli v každodenních rozhovorech nemá rozdíl velký dopad, jemný rozdíl mezi těmito dvěma pojmy je významný pro správné pochopení výrokové logiky. $A\to B$$A\Rightarrow B$

Definice

Materiální podmíněnost je pravdivostní funkce , která může nabývat dvou pravdivostních hodnot (obvykle hodnoty výroků ):

• vrátí false , když je první hodnota pravdivá a druhá nepravda,
• a v každém jiném případě vrátí hodnotu true .

Jinými slovy, pravdivostní tabulka materiální podmíněnosti je následující:

${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\to B\\\hline v&v&v\\v&f&f\\f&v&v\\f&f&v\\\hline \end{array}}$

Jak můžete vidět, materiální podmíněnost vrací 0 ( nepravda ) pouze tehdy, když je předchůdce pravdivý a důsledek je nepravdivý. Ve všech ostatních případech vrátí 1 ( true ).

Formální vlastnosti

Některé z formálních vlastností materiálové podmíněnosti jsou:

• Distributivita :$(A\to (B\to C))\Rightarrow ((A\to B)\to (A\to C))\,$

• Přechodnost :$(A\to B)\to ((B\to C)\Rightarrow (A\to C))\,$

• Předchozí komutativnost :$A\to (B\to C))\iff (B\to (A\to C))\,$

• Idempotence : je vždy pravda.$A\to A\,$

• Zachování pravdy: Interpretace, podle které je všem proměnným přiřazena pravdivostní hodnota „pravda“, vytváří pravdivostní hodnotu „pravda“ jako výsledek materiální podmíněnosti.

V klasické logice je ekvivalentní k , a podle De Morganových zákonů je ekvivalentní k . V minimální logice (a tedy i v intuicionistické logice) však pouze implikuje ; a v intuicionistické logice (ale ne v minimální logice) implikuje . $p\rightarrow q$$\neg (p\land \neg q)$$\neg p\lor q$$p\rightarrow q$ $\neg (p\land \neg q)$$\neg p\lor q$$p\rightarrow q$

Korelace s teorií množin

Vennův diagram materiálové podmíněnosti.

V teorii množin je ekvivalentní pojem materiální podmíněnosti : $A\to B$

$A\to B\iff A^{C}\cup B=(A\setminus B)^{C}$

to znamená, že je to sjednocení doplňku A a množiny B, nebo ekvivalentně doplněk A mínus B.

Rozdíl mezi věcnou podmíněnou a logickou implikací

Viz také: Implikace

Materiální podmíněné by se nemělo zaměňovat se vztahem logické implikace . Rozdíl je jemný, ale velmi důležitý ve výrokové logice.

• Materiální podmíněné je hypotetické tvrzení, které nemluví o světě ; to znamená, že není možné znát pravdivostní hodnotu A nebo B pouhým pohledem na výraz „ jestliže A, pak B“, bez jakýchkoli dalších informací. Podmiňovací způsob zakládá vztah mezi A a B, ale neobjasňuje jeho pravdivostní hodnotu .

• Na druhé straně logická implikace «A, tedy B» je tvrzení, které není hypotetické, ale obsahuje pravdu, která mluví o světě ; to znamená, že jasně říká, že A je pravdivé, a proto B je pravdivé. Je možné nastavit hodnotu A a B bez jakéhokoli dalšího vstupu.

Rozdíl mezi těmito dvěma závisí také na oboru, ve kterém pracujete. V matematické logice je základní rozdíl mezi těmito dvěma v tom, že materiální podmíněnost je pravdivostní funkce, která může být pravdivá i nepravdivá, zatímco implikace je vždy pravdivá — jde tedy o tautologii —, to znamená, že existuje logická nemožnost že tvrzení „ Pokud A, pak B“ je nepravdivé. Z tohoto důvodu je přesný způsob vyjádření implikace „A implikuje B“ nebo „A je dostatečnou podmínkou B“. To je analogické s tvrzením „B je nezbytnou podmínkou A“. ]

Společné vlastnosti

Ve většině logických systémů , včetně klasické logiky , však mezi nimi existuje úzký vztah . Platí například následující zásady:

• If , then , kde A je libovolný vzorec a je jakákoliv sada vzorců. Toto je zvláštní případ teorému dedukce .$\Gamma \vdash A$$(\vdash \Gamma )\to A$$\Gamma$

• Ano , pak . Toto je zvláštní případ obrácení teorému o dedukci.$(\vdash \Gamma )\to A$$\Gamma \vdash A$

• Jak materiální podmíněnost, tak i logický důsledek jsou monotónní . Tedy jestli , tak a jestli , tak .$\Gamma \vdash A$$\Delta \cup \Gamma \vdash A$$A\to B\,$$(A\land C)\to B$

V těchto příkladech byl symbol ráčny (⊢) použit jako náhrada za nebo . Tyto principy však neplatí pro všechny logické systémy. Například nedrží v nemonotónní logice . $\to$$\Šipka doprava$

Filosofické problémy kolem materiální podmíněnosti

Mimo matematiku je předmětem určité kontroverze, zda funkce materiální implikační pravdivosti poskytuje adekvátní zacházení s podmíněnými větami v přirozeném jazyce, jako je angličtina, tj. s indikativními a kontrafaktuálními podmíněnými podmínkami . Ukazovací kondicionál je výrok v indikativním duchu s připojenou kondicionální klauzí . Kondiční kondicionál je výrok z nepravdivého do faktu v konjunktivu . To znamená, že kritici se domnívají, že v některých nematematických případech není pravdivostní hodnota složeného výroku „jestliže p pak q “ adekvátně určena pravdivostními hodnotami p a q . Příklady nepravdivých funkčních tvrzení zahrnují: " q protože p ", " p před q " a " je možné, že p ". ]

"[Z] šestnácti možných pravdivostních funkcí A a B je materiální implikace jediným vážným kandidátem. Za prvé, je nesporné, že když A je pravda a B je nepravda, "Pokud A , B " je nepravda. Základní pravidlo vyvození je modus ponens ponens : z "Pokud A , B " a A, lze odvodit B. Pokud by bylo možné mít A pravdivé, B nepravdivé a "Pokud A , B " pravdivé, tento závěr by byl neplatný. Za druhé, je nesporné, že "Pokud A , B " je někdy pravdivé, někdy když A a B jsou (pravda, pravda) nebo (nepravda, pravda) nebo (nepravda, nepravda)... nepravdivý funkční účty souhlasí s tím, že „Pokud A, B“ je nepravdivé, když A je pravdivé a B je nepravdivé; a souhlasí s tím, že podmíněná je někdy pravdivá pro ostatní tři kombinace pravdivostních hodnot pro komponenty; ale popírají, že podmíněná je vždy pravda v každém z těchto tří případů Někteří souhlasí se skutečným funkcionalismem, že když A a B jsou oba pravdivé, "Pokud A , B " musí být pravdivé. Někteří ne, což vyžaduje další vztah mezi skutečnostmi, že A a B . ]

Pravda-funkční teorie podmíněného byla nedílnou součástí Fregeovy nové logiky (1879). To bylo nadšeně přijato Russellem (kdo to nazval „materiální implikace“), Wittgenstein v Tractatus a Logical Positivists a nyní se nachází v každém logickém textu. Je to první teorie kondicionálů, se kterou se studenti setkávají. Obvykle to studentům nepřipadá jako zjevně správné. Je to první překvapení logiky. Jak však potvrzují učebnice, odvádí v mnoha případech úctyhodnou práci. A má mnoho obránců. Je to překvapivě jednoduchá teorie: „Pokud A, B“ je nepravdivé, když A je pravda a B je nepravda. Ve všech ostatních případech platí „Pokud A, B“. Proto je ekvivalentní "~(A&~ B )" a "~ A nebo B ". " A ⊃ B " má podle ustanovení tyto pravdivostní podmínky.

Dorothy Edgington , The Stanford Encyclopedia of Philosophy, "Conditionals" ]

Význam věcného podmiňovacího způsobu lze někdy použít ve španělské konstrukci „If condition then result “ (druh podmínkové věty ), kde podmínka a následek musí být vyplněny větami ve španělštině. Tato konstrukce však také implikuje „rozumné“ spojení mezi podmínkou (protasis) a důsledkem (apodosis) (viz spojovací logika ). ^{[ vyžaduje citaci ]}

Podmíněný materiál může přinést některé neočekávané pravdy, je-li vyjádřen v přirozeném jazyce. Například jakýkoli materiální podmíněný výrok s falešným předchůdcem je pravdivý (viz prázdná pravda ). Takže tvrzení „pokud je 2 lichá, pak je 2 sudá“ je pravdivé. Podobně každý podmíněný materiál se skutečným následkem je pravdivý. Takže výrok „když mám v kapse cent, pak je Paříž ve Francii“ je vždy pravdivý, bez ohledu na to, zda v mé kapse je nebo není cent. Tyto problémy jsou známé jako paradoxy materiální implikace , ačkoli ve skutečnosti nejsou paradoxy v přísném smyslu; to znamená, že nevyvolávají logické rozpory. Tyto neočekávané pravdy vyvstávají proto, že mluvčí španělštiny (a dalších přirozených jazyků) jsou v pokušení udělat chybu mezi materiálním podmíněným a indikativním podmíněným nebo jinými podmíněnými výroky, jako je kontrafaktuální podmíněný a bipodmínkový materiál .

Není divu, že přesně definovaný pravdivo-funkční operátor přesně neodpovídá všem pojmům implikace nebo jinak vyjádřeným výroky „Pokud...pak...“ v přirozených jazycích. Přehled některých různých formálních a neformálních diskusí o podmíněných podmínkách naleznete v části „Odkazy“ níže. Příslušná logika se snaží zachytit tyto alternativní koncepty implikace, které materiální implikace vynechává.

Viz také

• Paradoxy materiální implikace .
• Dvoupodmínečné .
• pravdivostní funkce .
• Tabulka pravdy .
• logický důsledek .
• booleovská logika

Podmínky

• kontrafaktuální
• přísné podmíněné

Bibliografie

• Brown, Frank Markham (2003). Booleovské uvažování: Logika booleovských rovnic (2. vydání). New York: Dover Publications. 
• Edgington, Dorothy (2001). "Podmiňovací způsob". V Lou Goble, ed. Blackwellův průvodce filozofickou logikou . Blackwell. 
• Grimaldi, Ralph P. (1998). Diskrétní a kombinatorická matematika: Úvod a aplikace . PearsonEducation. ISBN  9789684443242 . 
• Edgeton, Dorothy. „Podmíněné“ . V Edward N. Zalta, ed. The Stanford Encyclopedia of Philosophy ( vydání zima 2008). 
• Quine, Willard van Orman (1982). Metody logiky (4. vydání). Cambridge: Harvard University Press . 
• Stalnaker, Robert (1975). indikativní podmínky. Filosofie 5 : 269-286. 

Externí odkazy

• Toto dílo obsahuje odvozený překlad „ Podmíněný materiál “ z anglické Wikipedie, konkrétně tuto verzi , kterou vydali její vydavatelé pod licencí GNU Free Documentation License a Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License .