Natažená exponenciální funkce - Stretched exponential function

Obrázek 1 . Ilustrace natažené exponenciální shody (s β = 0,52) k empirické hlavní křivce. Pro srovnání jsou také zobrazeny jednoduché a dvojité exponenciální přizpůsobení nejmenších čtverců . Data jsou rotační anizotropie z anthracenu v polyisobutylenu několika molekulovou hmotností . Grafy byly překryty dělením času ( t ) příslušnou charakteristickou časovou konstantou .

Protáhl exponenciální funkce

${\ displaystyle f _ {\ beta} (t) = e ^ {- t ^ {\ beta}}}$

se získá vložením zákona o zlomkové síle do exponenciální funkce . Ve většině aplikací má smysl pouze pro argumenty t mezi 0 a + ∞. Při β  = 1 se obnoví obvyklá exponenciální funkce. S exponenčním exponentem β mezi 0 a 1 je graf log  f versus t charakteristicky roztažený , odtud název funkce. Stlačený exponenciální funkce (s p  > 1) má menší praktický význam, s výraznou výjimkou p  = 2, který dává normální distribuci .

V matematice je natažený exponenciál známý také jako doplňkové kumulativní Weibullovo rozdělení . Natažený exponenciál je také charakteristickou funkcí , v podstatě Fourierovou transformací , Lévyho symetrického alfa-stabilního rozdělení .

Ve fyzice se natažená exponenciální funkce často používá jako fenomenologický popis relaxace v neuspořádaných systémech. Poprvé jej zavedl Rudolf Kohlrausch v roce 1854, aby popsal vybití kondenzátoru; proto je také známá jako Kohlrauschova funkce . V roce 1970 G. Williams a DC Watts použili Fourierovu transformaci natažené exponenciály k popisu dielektrických spekter polymerů; v této souvislosti se natažená exponenciální nebo její Fourierova transformace také nazývá funkce Kohlrausch – Williams – Watts (KWW) .

Ve fenomenologických aplikacích často není jasné, zda by se k popisu diferenciální nebo integrální distribuční funkce měla použít natažená exponenciální funkce - nebo ani jedna. V každém případě jeden získá stejný asymptotický rozpad, ale odlišného prefaktora mocenského zákona, díky kterému jsou záchvaty nejednoznačnější než u jednoduchých exponenciálů. V několika případech lze ukázat, že asymptotický rozpad je natažený exponenciál, ale prefaktorem je obvykle nesouvisející síla.

Matematické vlastnosti

Okamžiky

Po obvyklé fyzikální interpretaci interpretujeme argument funkce t jako čas a f _β ( t ) je diferenciální rozdělení. Plochu pod křivkou lze tedy interpretovat jako střední dobu relaxace . Jeden najde

${\ displaystyle \ langle \ tau \ rangle \ equiv \ int _ {0} ^ {\ infty} dt \, e ^ {- (t / \ tau _ {K}) ^ {\ beta}} = {\ tau _ {K} \ over \ beta} \ Gamma \ left ({1 \ over \ beta} \ right)}$

kde Γ je funkce gama . Pro exponenciální rozpad se získá 〈 τ 〉 =  τ _K.

Vyšší momenty natažené exponenciální funkce jsou

${\ displaystyle \ langle \ tau ^ {n} \ rangle \ equiv \ int _ {0} ^ {\ infty} dt \, t ^ {n-1} \, e ^ {- (t / \ tau _ {K }) ^ {\ beta}} = {{\ tau _ {K}} ^ {n} \ over \ beta} \ Gamma \ left ({n \ over \ beta} \ right).}$

Distribuční funkce

Ve fyzice byly učiněny pokusy vysvětlit natažené exponenciální chování jako lineární superpozici jednoduchých exponenciálních rozpadů. To vyžaduje netriviální rozdělení relaxačních časů ρ (u) , které implicitně definuje

${\ displaystyle e ^ {- t ^ {\ beta}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} du \, \ rho (u) \, e ^ {- t / u}.}$

Alternativně distribuce

${\ displaystyle G = u \ rho (u) \,}$

se používá.

ρ lze vypočítat z řady rozšíření:

${\ displaystyle \ rho (u) = - {1 \ nad \ pi u} \ součet \ limity _ {k = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {k} \ nad k!} \ sin ( \ pi \ beta k) \ Gamma (\ beta k + 1) u ^ {\ beta k}}$

Pro racionální hodnoty β lze ρ ( u ) vypočítat pomocí elementárních funkcí. Ale výraz je obecně příliš složitý, než aby byl užitečný, s výjimkou případu β  = 1/2 kde

${\ displaystyle G (u) = u \ rho (u) = {1 \ nad 2 {\ sqrt {\ pi}}} {\ sqrt {u}} \ exp (-u / 4)}$

Obrázek 2 ukazuje stejné výsledky v lineárním i logaritmickém zobrazení. Křivky konvergují k Diracova delta funkci s vrcholem u  = 1, když se β blíží 1, což odpovídá jednoduché exponenciální funkci.

Obrázek 2 . Lineární a log-log grafy natažené exponenciální distribuční funkce vs. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle t / \ tau}$ pro hodnoty parametru roztažení β mezi 0,1 a 0,9.

Okamžiky původní funkce lze vyjádřit jako

${\ displaystyle \ langle \ tau ^ {n} \ rangle = \ Gamma (n) \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ tau \, t ^ {n} \, \ rho (\ tau).}$

První logaritmický moment distribuce časů jednoduché exponenciální relaxace je

${\ displaystyle \ langle \ ln \ tau \ rangle = \ left (1- {1 \ over \ beta} \ right) {\ rm {Eu}} + \ ln \ tau _ {K}}$

kde Eu je Eulerova konstanta .

Fourierova transformace

K popisu výsledků ze spektroskopie nebo nepružného rozptylu je nutná sinusová nebo kosinová Fourierova transformace natažené exponenciály. Musí se počítat buď numerickou integrací, nebo z řady. Série zde i řada pro distribuční funkci jsou speciální případy funkce Fox – Wright . Z praktických důvodů lze Fourierovu transformaci aproximovat funkcí Havriliak – Negami , ačkoli v dnešní době lze numerický výpočet provádět tak efektivně, že již neexistuje důvod nepoužívat ve frekvenční doméně funkci Kohlrausch – Williams – Watts.

Historie a další aplikace

Jak bylo řečeno v úvodu, natažený exponenciál zavedl německý fyzik Rudolf Kohlrausch v roce 1854, aby popsal výboj kondenzátoru ( Leydenova nádoba ), který používal sklo jako dielektrické médium. Dalším dokumentovaným použitím je Friedrich Kohlrausch , syn Rudolfa, k popisu torzní relaxace. A. Werner ji použil v roce 1907 k popisu složitých rozpadů luminiscence; Theodor Förster v roce 1949 jako zákon rozpadu fluorescence dárců elektronické energie.

Mimo fyziku kondenzovaných látek se natažený exponenciál používal k popisu rychlosti odstraňování malých zbloudilých těles ve sluneční soustavě, difúzně váženého MRI signálu v mozku a produkce z nekonvenčních plynových vrtů.

S pravděpodobností

Pokud je integrované rozdělení roztaženým exponenciálem, je normalizovaná funkce hustoty pravděpodobnosti dána vztahem

${\ displaystyle p (\ tau \ mid \ lambda, \ beta) ~ d \ tau = {\ frac {\ lambda} {\ gama (1+ \ beta ^ {- 1})}}} e e {{((\ tau \ lambda) ^ {\ beta}} ~ d \ tau}$

Všimněte si, že o některých autorech je matoucí, že pro označení Weibullovy distribuce používají název „natažený exponenciál“ .

Upravené funkce

Upravená natažená exponenciální funkce

${\ displaystyle f _ {\ beta} (t) = e ^ {- t ^ {\ beta (t)}}}$

s pomalu t- závislým exponentem β byl použit pro křivky biologického přežití.

Bezdrátová komunikace

V bezdrátové komunikaci se ukázalo, že se v Laplaceově transformaci pro interferenční výkon objeví zmenšená verze natažené exponenciální funkce, když jsou místa vysílačů modelována jako proces 2D Poissonova bodu bez oblasti vyloučení kolem přijímače. ${\ displaystyle I}$

Laplace transformace může být napsán na libovolném únikový rozdělení takto:

${\ displaystyle L_ {I} (s) = \ exp \ left (- \ pi \ lambda \ mathbb {E} \ left [g ^ {\ frac {2} {\ eta}} \ right] \ Gamma \ left ( 1 - {\ frac {2} {\ eta}} \ right) s ^ {\ frac {2} {\ eta}} \ right) = \ exp \ left (-ts ^ {\ beta} \ right)}$

kde je síla úniku, je exponent ztráty dráhy , je hustota procesu 2D Poissonova bodu, je funkce gama a je očekávání proměnné . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Gamma (\ cdot)}$${\ displaystyle \ mathbb {E} [x]}$${\ displaystyle x}$

Stejný odkaz také ukazuje, jak získat inverzní Laplaceovu transformaci pro nataženou exponenciál pro celé číslo vyššího řádu z celých čísel nižšího řádu a . ${\ displaystyle \ exp \ left (-s ^ {\ beta} \ right)}$${\ displaystyle \ beta = \ beta _ {q} \ beta _ {b}}$${\ displaystyle \ beta _ {a}}$${\ displaystyle \ beta _ {b}}$

Reference

externí odkazy

• J. Wuttke: knihovna libkww C pro výpočet Fourierovy transformace roztažené exponenciální funkce