Uzatılmış üstel fonksiyon - Stretched exponential function

Şekil 1 . Ampirik bir ana eğriye uzatılmış üstel uyumun ( β = 0,52 ile) gösterimi. Karşılaştırma için, en küçük kareler tekli ve çift ​​üstel uydurma da gösterilmektedir. Veri dönme olan anizotropi arasında antrasen içinde poliizobütilen bazılarının moleküler kütleleri . Grafikler, zamanı ( t ) ilgili karakteristik zaman sabitine bölerek üst üste binecek şekilde yapılmıştır .

Gerilmiş üstel fonksiyon

${\ displaystyle f _ {\ beta} (t) = e ^ {- t ^ {\ beta}}}$

kesirli sokulması ve daha sonra güç kanunu içine üstel fonksiyonu . Çoğu uygulamada, yalnızca 0 ile + ∞ arasındaki t bağımsız değişkenleri için anlamlıdır . İle β  1 = her zamanki üstel fonksiyon elde edilir. 0 ile 1 arasında bir β uzatma üssü ile , log f'nin t'ye karşı grafiği  karakteristik olarak uzatılır , dolayısıyla fonksiyonun adıdır. Sıkıştırılmış üstel fonksiyon ile ( p  > 1) önemli hariç, daha az pratik öneme sahip p  verir = 2, normal dağılım .

Matematikte, uzatılmış üstel, tamamlayıcı kümülatif Weibull dağılımı olarak da bilinir . Gerilmiş üstel da karakteristik fonksiyonu temel olarak, Fourier dönüşümü bölgesinin Levy simetrik alfa-kararlı dağılımı .

Fizikte, uzatılmış üstel fonksiyon genellikle düzensiz sistemlerde gevşemenin fenomenolojik bir açıklaması olarak kullanılır . İlk olarak 1854'te Rudolf Kohlrausch tarafından bir kapasitörün deşarjını açıklamak için tanıtıldı ; bu nedenle Kohlrausch işlevi olarak da bilinir . 1970'de G. Williams ve DC Watts , polimerlerin dielektrik spektrumlarını açıklamak için uzatılmış üstelin Fourier dönüşümünü kullandılar ; bu bağlamda, uzatılmış üstel veya Fourier dönüşümü aynı zamanda Kohlrausch – Williams – Watt (KWW) işlevi olarak da adlandırılır .

Fenomenolojik uygulamalarda, uzatılmış üstel fonksiyonun diferansiyel veya integral dağılım fonksiyonunu tanımlamak için kullanılıp kullanılmayacağı veya her ikisinin de kullanılmaması genellikle net değildir. Her durumda, kişi aynı asimptotik çürümeyi alır, ancak farklı bir güç yasası önfaktörü, bu da uyumu basit üstellerden daha belirsiz hale getirir. Birkaç durumda, asimptotik bozunmanın uzatılmış bir üstel olduğu gösterilebilir, ancak ön faktör genellikle ilgisiz bir güçtür.

Matematiksel özellikler

Anlar

Olağan fiziksel yorumu takiben, fonksiyon argümanını t zaman olarak yorumlarız ve f _β ( t ) diferansiyel dağılımdır. Eğrinin altındaki alan bu nedenle ortalama gevşeme süresi olarak yorumlanabilir . Bir bulur

${\ displaystyle \ langle \ tau \ rangle \ equiv \ int _ {0} ^ {\ infty} dt \, e ^ {- (t / \ tau _ {K}) ^ {\ beta}} = {\ tau _ {K} \ over \ beta} \ Gamma \ left ({1 \ over \ beta} \ right)}$

Γ gama işlevidir . Üstel bozulma için, 〈 τ 〉 =  τ _K geri kazanılır.

Uzatılmış üstel fonksiyonun daha yüksek anları

${\ displaystyle \ langle \ tau ^ {n} \ rangle \ equiv \ int _ {0} ^ {\ infty} dt \, t ^ {n-1} \, e ^ {- (t / \ tau _ {K }) ^ {\ beta}} = {{\ tau _ {K}} ^ {n} \ over \ beta} \ Gamma \ left ({n \ over \ beta} \ right).}$

Dağıtım işlevi

Fizikte, uzatılmış üstel davranışı basit üstel bozulmaların doğrusal bir süperpozisyonu olarak açıklamaya yönelik girişimlerde bulunulmuştur. Bu, ρ (u) şeklindeki gevşeme zamanlarının önemsiz bir dağılımını gerektirir ve bu, örtük olarak şu şekilde tanımlanır:

${\ displaystyle e ^ {- t ^ {\ beta}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} du \, \ rho (u) \, e ^ {- t / u}.}$

Alternatif olarak, bir dağıtım

${\ displaystyle G = u \ rho (u) \,}$

kullanıldı.

ρ , seri genişletmeden hesaplanabilir:

${\ displaystyle \ rho (u) = - {1 \ fazla \ pi u} \ toplam \ limitleri _ {k = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {k} \ k üzeri!} \ sin ( \ pi \ beta k) \ Gama (\ beta k + 1) u ^ {\ beta k}}$

Rasyonel değerleri için p , ρ ( u ) temel işlevleri açısından hesaplanabilir. Ancak ifade, genel olarak, β  = 1/2 durumu dışında kullanışlı olamayacak kadar karmaşıktır.

${\ displaystyle G (u) = u \ rho (u) = {1 \ 2'den fazla {\ sqrt {\ pi}}} {\ sqrt {u}} \ exp (-u / 4)}$

Şekil 2, bir iki çizilir aynı sonuçları doğrusal bir günlük temsili. Eğriler , basit üstel fonksiyona karşılık gelen, β 1'e yaklaştıkça u  = 1'de zirveye çıkan bir Dirac delta fonksiyonuna yakınsar .

Şekil 2 . Uzatılmış üstel dağılım fonksiyonunun doğrusal ve log-log grafikleri vs ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle t / \ tau}$ germe parametre değerleri için P 0.1 ve 0.9 arasındadır.

Orijinal işlevin anları şu şekilde ifade edilebilir:

${\ displaystyle \ langle \ tau ^ {n} \ rangle = \ Gama (n) \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ tau \, t ^ {n} \, \ rho (\ tau).}$

Basit üstel gevşeme zamanlarının dağılımının ilk logaritmik momenti şu şekildedir:

${\ displaystyle \ langle \ ln \ tau \ rangle = \ sol (1- {1 \ fazla \ beta} \ sağ) {\ rm {Eu}} + \ ln \ tau _ {K}}$

Eu, Euler sabitidir .

Fourier dönüşümü

Spektroskopiden veya esnek olmayan saçılmadan elde edilen sonuçları açıklamak için, uzatılmış üsselin sinüs veya kosinüs Fourier dönüşümü gereklidir. Ya sayısal entegrasyonla ya da bir dizi genişletmeden hesaplanmalıdır. Buradaki diziler ve dağıtım işlevi için olanı, Fox – Wright işlevinin özel durumlarıdır . Pratik amaçlar için, Fourier dönüşümüne Havriliak-Negami fonksiyonu ile yaklaşılabilir , ancak günümüzde sayısal hesaplama o kadar verimli bir şekilde yapılabilir ki, frekans alanında Kohlrausch-Williams-Watts fonksiyonunu kullanmamak için artık herhangi bir neden kalmaz.

Tarih ve diğer uygulamalar

Girişte belirtildiği gibi, uzatılmış üstel, 1854'te Alman fizikçi Rudolf Kohlrausch tarafından camı dielektrik ortam olarak kullanan bir kapasitörün ( Leyden kavanozu ) deşarjını tanımlamak için tanıtıldı . Bir sonraki belgelenmiş kullanım, burulma gevşemesini tanımlamak için Rudolf'un oğlu Friedrich Kohlrausch tarafından yapılmıştır . A. Werner bunu 1907'de karmaşık lüminesans bozulmalarını tanımlamak için kullandı; Theodor Förster , 1949'da elektronik enerji bağışçılarının floresan bozunma yasası olarak.

Yoğun madde fiziğinin dışında, uzatılmış üstel, güneş sistemindeki küçük, başıboş cisimlerin uzaklaştırılma oranlarını, beyindeki difüzyon ağırlıklı MRI sinyalini ve geleneksel olmayan gaz kuyularından üretimi tanımlamak için kullanılmıştır.

Olasılıkta,

Entegre dağılım uzatılmış bir üstel ise, normalize edilmiş olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir:

${\ displaystyle p (\ tau \ mid \ lambda, \ beta) ~ d \ tau = {\ frac {\ lambda} {\ Gama (1+ \ beta ^ {- 1})}} ~ e ^ {- (\ tau \ lambda) ^ {\ beta}} ~ d \ tau}$

Bazı yazarların Weibull dağılımına atıfta bulunmak için "uzatılmış üstel" adını kullandıklarının bilinmesine dikkat edin .

Değiştirilmiş fonksiyonlar

Değiştirilmiş bir uzatılmış üstel fonksiyon

${\ displaystyle f _ {\ beta} (t) = e ^ {- t ^ {\ beta (t)}}}$

yavaş t- bağımlı üslü β biyolojik hayatta kalma eğrileri için kullanılmıştır.

Kablosuz bağlantılar

Kablosuz iletişimde, vericilerin konumları alıcının çevresinde dışlama bölgesi olmayan bir 2B Poisson Noktası İşlemi olarak modellendiğinde parazit gücü için Laplace Dönüşümünde uzatılmış üstel fonksiyonun ölçeklendirilmiş bir versiyonunun göründüğü gösterilmiştir . ${\ displaystyle I}$

Laplace Dönüşümü keyfi için yazılabilir solma şöyle dağılımı:

${\ displaystyle L_ {I} (s) = \ exp \ sol (- \ pi \ lambda \ mathbb {E} \ sol [g ^ {\ frac {2} {\ eta}} \ sağ] \ Gama \ sol ( 1 - {\ frac {2} {\ eta}} \ sağ) s ^ {\ frac {2} {\ eta}} \ sağ) = \ exp \ left (-ts ^ {\ beta} \ sağ)}$

nerede solma gücüdür edilir Yol kaybı üs , 2D Poisson Noktası Sürecinin yoğunluğu, Gama işlevidir ve değişken bir beklentisidir . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Gama (\ cdot)}$${\ displaystyle \ mathbb {E} [x]}$${\ displaystyle x}$

Aynı referans ayrıca, daha düşük dereceli tamsayılardan daha yüksek dereceli tamsayı için uzatılmış üstel için ters Laplace Dönüşümünün nasıl elde edileceğini gösterir ve . ${\ displaystyle \ exp \ sol (-s ^ {\ beta} \ sağ)}$${\ displaystyle \ beta = \ beta _ {q} \ beta _ {b}}$${\ displaystyle \ beta _ {a}}$${\ displaystyle \ beta _ {b}}$

Referanslar

Dış bağlantılar

• J. Wuttke: uzatılmış üstel fonksiyonun Fourier dönüşümünü hesaplamak için libkww C kütüphanesi