Statistiky náhodné permutace - Random permutation statistics

Tyto statistiky náhodných permutací , jako je struktura cyklu části náhodné permutace mají zásadní význam v analýze algoritmů , zejména řadící algoritmy, které fungují na náhodných permutací. Předpokládejme například, že používáme quickselect (bratranec quicksortu ) k výběru náhodného prvku náhodné permutace. Quickselect provede částečné řazení v poli, protože rozdělí pole podle kontingentu. Po provedení rychlého výběru bude tedy permutace méně neuspořádaná. Množství poruchy, které zbývá, lze analyzovat pomocí generujících funkcí. Tyto generující funkce závisejí zásadním způsobem na generujících funkcích statistik náhodné permutace. Proto je životně důležité vypočítat tyto generující funkce.

Článek o náhodných permutacích obsahuje úvod do náhodných permutací.

Základní vztah

Permutace jsou sady označených cyklů. Pomocí označeného případu Flajolet – Sedgewickovy základní věty a psaní pro sadu permutací a pro singletonovou množinu máme ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {Z}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {SET} (\ operatorname {CYC} ({\ mathcal {Z}})) = {\ mathcal {P}}.}$

Převedení do funkcí exponenciálního generování (EGF) máme

${\ Displaystyle \ exp \ left (\ log {\ frac {1} {1-z}} \ right) = {\ frac {1} {1-z}}}$

kde jsme použili skutečnost, že EGF kombinatorických druhů permutací (existuje n ! permutací n prvků) je

${\ Displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {n!} {n!}} z^{n} = {\ frac {1} {1-z}}.}$

Tato jedna rovnice umožňuje odvodit velké množství statistik permutací. Za prvé, vynecháním výrazů z , tj. Exp, můžeme omezit počet cyklů, které permutace obsahuje, např. Omezením EGF na získání permutací obsahujících dva cykly. Za druhé, všimněte si, že EGF značených cyklů, tj. , Je ${\ displaystyle \ scriptstyle \ operatorname {SET}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ operatorname {SET} _ {2}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ operatorname {CYC} ({\ mathcal {Z}})}$

${\ Displaystyle \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {(k-1)! z^{k}} {k!}} = \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {z^{ k}} {k}} = \ log {\ frac {1} {1-z}}}$

protože existuje k!/k označených cyklů. To znamená, že vypuštěním termínů z této generující funkce můžeme omezit velikost cyklů, které se vyskytují v permutaci, a získat EGF permutací obsahujících pouze cykly dané velikosti.

Místo odebírání a výběru cyklů lze na různé velikosti cyklů také vložit různé váhy. If je váhová funkce, která závisí pouze na velikosti k cyklu a pro stručnost píšeme ${\ Displaystyle b: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle b (\ sigma) = \ sum _ {c \ in \ sigma} b (c),}$

definující hodnotu b pro permutaci jako součet jejích hodnot v cyklech, pak můžeme cykly délky k označit pomocí u ^{b ( k )} a získat funkci generující dvě proměnné ${\ Displaystyle \ sigma}$

${\ Displaystyle g (z, u) = 1+\ sum _ {n \ geq 1} \ left (\ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} u^{b (\ sigma)} \ right) { \ frac {z^{n}} {n!}} = \ exp \ sum _ {k \ geq 1} u^{b (k)} {\ frac {z^{k}} {k}}}$

Toto je „smíšená“ generující funkce: je to exponenciální generující funkce v z a běžná generující funkce v sekundárním parametru u. Rozlišujeme a vyhodnocujeme u u  = 1, máme

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný} {\ částečný u}} g (z, u) {\ Bigg |} _ {u = 1} = {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ k \ geq 1} b (k) {\ frac {z^{k}} {k}} = \ sum _ {n \ geq 1} \ left (\ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} b (\ sigma) \ right) {\ frac {z^{n}} {n!}}}$

Toto je funkce generující pravděpodobnost očekávání b . Jinými slovy, koeficient v této výkonové řadě je očekávaná hodnota b na permutacích v , vzhledem k tomu, že každá permutace je vybrána se stejnou pravděpodobností . ${\ displaystyle z^{n}}$${\ displaystyle S_ {n}}$${\ Displaystyle 1/n!}$

Tento článek používá operátor extrakce koeficientů [ z ⁿ ], dokumentovaný na stránce pro formální výkonové řady .

Počet permutací, které jsou involucemi

Involuce je permutace σ takže σ ² = 1 v rámci obměny složení. Z toho vyplývá, že σ může obsahovat pouze cykly o délce jeden nebo dva, tj. Exponenciální generující funkce g ( z ) těchto permutací je

${\ Displaystyle g (z) = \ exp \ left (z+{\ frac {1} {2}} z^{2} \ right).}$

To dává explicitní vzorec pro celkový počet invazí mezi permutacemi σ ∈  S _n : ${\ Displaystyle I (n)}$

${\ Displaystyle I (n) = n! [z^{n}] g (z) = n! \ sum _ {a+2b = n} {\ frac {1} {a! \; 2^{b} \; b!}} = n! \ sum _ {b = 0}^{\ lfloor n/2 \ rfloor} {\ frac {1} {(n-2b)! \; 2^{b} \; b !}}.}$

Dělení n ! dává pravděpodobnost, že náhodná permutace je involuce. Tato čísla jsou známá jako telefonní čísla .

Počet permutací, které jsou m th kořeny jednoty

To zobecňuje koncept involuce. M th kořen jednoty je permutace σ takže σ ^m = 1 podle permutačního složení. Nyní pokaždé, když použijeme σ, posuneme se o jeden krok paralelně po všech jeho cyklech. Cyklus délky d aplikovaný dkrát vytváří permutaci identity na d prvcích ( d pevných bodech) a d je nejmenší hodnota, která se má provést. Proto m musí být násobkem všech velikostí cyklu d , tj. Jediné možné cykly jsou ty, jejichž délka d je dělitel m . Z toho vyplývá, že EGF g ( x ) těchto permutací je

${\ Displaystyle g (z) = \ exp \ left (\ sum _ {d \ mid m} {\ frac {z^{d}} {d}} \ right).}$

Když m = p , kde p je prvočíslo, zjednoduší se to na

${\ Displaystyle n! [z^{n}] g (z) = n! \ sum _ {a+pb = n} {\ frac {1} {a! \; p^{b} \; b!} } = n! \ sum _ {b = 0}^{\ lfloor n/p \ rfloor} {\ frac {1} {(n-pb)! \; p^{b} \; b!}}.}$

Počet permutací řádu přesně k

Toho lze dosáhnout Möbiusovou inverzí . Při práci se stejným konceptem jako v předchozím záznamu jsme si všimli, že kombinatorické druhy permutací, jejichž pořadí dělí k, je dáno vztahem ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} = \ operatorname {SET} \ left (\ sum _ {d \ mid k} \ operatorname {CYC} _ {= d} ({\ mathcal {Z}}) \ right) .}$

Překladem k exponenciálním generujícím funkcím získáme EGF permutací, jejichž pořadí dělí k , což je

${\ Displaystyle Q_ {k} (z) = \ exp \ left (\ sum _ {d \ mid k} {\ frac {z^{d}} {d}} \ right).}$

Nyní můžeme tuto generující funkci použít k počítání permutací řádu přesně k . Nechť je počet permutací na n, jejichž pořadí je přesně d, a počtu permutací na n počtu permutací, jejichž pořadí dělí k . Pak máme ${\ displaystyle p_ {n, d}}$${\ displaystyle q_ {n, k}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {d | k} p_ {n, d} = q_ {n, k}.}$

Z toho vyplývá, podle Möbius inverzí té

${\ Displaystyle \ sum _ {d | k} q_ {n, d} \ times \ mu (k/d) = p_ {n, k}.}$

Proto máme EFG

${\ Displaystyle Q (z) = \ sum _ {d \ mid k} \ mu (k/d) \ times Q_ {d} (z) = \ sum _ {d \ mid k} \ mu (k/d) \ exp \ left (\ sum _ {m \ mid d} {\ frac {z^{m}} {m}} \ right).}$

Požadovaný počet je pak dán znakem

${\ Displaystyle n! [z^{n}] Q (z).}$

Tento vzorec vytváří např. Pro k  = 6 EGF

${\ Displaystyle Q (z) = {\ rm {e}}^{z}-{\ rm {e}}^{z+1/2 \, z^{2}}-{\ rm {e}} ^{z+1/3 \, z^{3}}+{\ rm {e}}^{z+1/2 \, z^{2} +1/3 \, z^{3} +1 /6 \, z^{6}}}$

s posloupností hodnot začínajících na n  = 5

${\ Displaystyle 20,240,1470,10640,83160,584640,4496030,42658440,371762820,3594871280, \ ldots}$(sekvence A061121 v OEIS )

Pro k  = 8 získáme EGF

${\ Displaystyle Q (z) =-{\ rm {e}}^{z+1/2 \, z^{2} +1/4 \, z^{4}}+{\ rm {e}} ^{z+1/2 \, z^{2} +1/4 \, z^{4} +1/8 \, z^{8}}}$

s posloupností hodnot začínající na n  = 8

${\ Displaystyle 5040,45360,453600,3326400,39916800,363242880,3874590720,34767532800, \ ldots}$(sekvence A061122 v OEIS )

Nakonec pro k  = 12 dostaneme EGF

${\ Displaystyle Q (z) = {\ rm {e}}^{z+1/2 \, z^{2}}-{\ rm {e}}^{z+1/2 \, z^{ 2} +1/4 \, z^{4}}-{\ rm {e}}^{z+1/2 \, z^{2} +1/3 \, {z}^{3}+ 1/6 \, z^{6}}+{\ rm {e}}^{z+1/2 \, z^{2} +1/3 \, z^{3} +1/4 \, z^{4} +1/6 \, z^{6} +1/12 \, z^{12}}}$

s posloupností hodnot začínajících na n  = 7

${\ Displaystyle 420,3360,30240,403200,4019400,80166240,965284320,12173441280,162850287600, \ ldots}$(sekvence A061125 v OEIS )

Počet permutací, které jsou odchylkami

Předpokládejme, že na večírku je n lidí, z nichž každý přinesl deštník. Na konci večírku si každý ze stohu deštníků vybere deštník a odejde. Jaká je pravděpodobnost, že nikdo neodejde s vlastním deštníkem? Tento problém je ekvivalentní počítání permutací bez pevných bodů (nazývaných odchylky ), a proto EGF, kde odečteme pevné body (cykly o délce 1) odstraněním výrazu z ze základního vztahu je

${\ Displaystyle \ exp \ left (-z+\ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {z^{k}} {k}} \ right) = {\ frac {e^{-z}} {1 -z}}.}$

Násobení součty koeficienty , takže , celkový počet odchylek, je dána vztahem: ${\ Displaystyle 1/(1-z)}$${\ displaystyle e^{-z}}$${\ Displaystyle D (n)}$

${\ Displaystyle D (n) = n! \ sum _ {k = 0}^{n} {\ frac {(-1)^{k}} {k!}} \; \ cca \; {\ frac { n!} {e}}.}$

Proto existují asi odchylky a pravděpodobnost, že náhodná permutace je odchylka, je${\ displaystyle n!/e}$${\ Displaystyle 1/e.}$

Tento výsledek může být také prokázán zahrnutím - vyloučením . Pomocí sad, kde označujeme množinu permutací, které opravují p , máme ${\ displaystyle A_ {p}}$${\ Displaystyle {\ begin {matrix} 1 \ leq p \ leq n \ end {matrix}}}$

${\ Displaystyle \ left | \ bigcup _ {p} A_ {p} \ right | = \ sum _ {p} \ left | A_ {p} \ right | \;-\; \ sum _ {p <q} \ vlevo | A_ {p} \ cap A_ {q} \ right | \;+\; \ sum _ {p <q <r} \ left | A_ {p} \ cap A_ {q} \ cap A_ {r} \ vpravo | \;-\; \ cdots \; \ pm \; \ left | A_ {p} \ cap \; \ cdots \; \ cap A_ {s} \ right |.}$

Tento vzorec počítá počet permutací, které mají alespoň jeden pevný bod. Kardinality jsou následující:

${\ Displaystyle \ left | A_ {p} \ right | = (n-1)! \;, \; \; \ left | A_ {p} \ cap A_ {q} \ right | = (n-2)! \;, \; \; \ vlevo | A_ {p} \ cap A_ {q} \ cap A_ {r} \ right | = (n-3)! \;, \; \ ldots}$

Počet permutací bez pevného bodu tedy je

${\ Displaystyle n! \; \;-\; \; {n \ choose 1} (n-1)! \; \;+\; \; {n \ choose 2} (n-2)! \; \ ;-\; \; {n \ vyberte 3} (n-3)! \; \;+\; \; \ cdots \; \; \ pm \; \; {n \ choose n} (nn)!}$

nebo

${\ Displaystyle n! \ left (1-{\ frac {1} {1!}}+{\ frac {1} {2!}}-{\ frac {1} {3!}}+\ cdots \ pm {\ frac {1} {n!}} \ right) = n! \ sum _ {k = 0}^{n} {\ frac {(-1)^{k}} {k!}}}$

a máme nárok.

Existuje zobecnění těchto čísel, které je známé jako rencontres čísla , tj. Počet permutací obsahujících m pevných bodů. Odpovídající EGF se získá označením cyklů velikosti jedna proměnnou u , tj. Zvolením b ( k ) rovným jednomu pro a nula jinak, což poskytne generující funkci sady permutací počtem pevných bodů: ${\ Displaystyle D (n, m)}$${\ displaystyle [n]}$${\ displaystyle k = 1}$${\ Displaystyle g (z, u)}$

${\ Displaystyle g (z, u) = \ exp \ left (-z+uz+\ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {z^{k}} {k}} \ right) = {\ frac { e^{-z}} {1-z}} e^{uz}.}$

Z toho vyplývá, že

${\ Displaystyle [u^{m}] g (z, u) = {\ frac {e^{-z}} {1-z}} {\ frac {z^{m}} {m!}}}$

a proto

${\ Displaystyle D (n, m) = n! [z^{n}] [u^{m}] g (z, u) = {\ frac {n!} {m!}} [z^{nm }] {\ frac {e^{-z}} {1-z}} = {\ frac {n!} {m!}} \ sum _ {k = 0}^{nm} {\ frac {(- 1)^{k}} {k!}}.}$

To z toho okamžitě vyplývá

${\ Displaystyle D (n, m) = {n \ choose m} D (nm, 0) \; \; {\ text {and}} \; \; {\ frac {D (n, m)} {n !}} \ cca {\ frac {e^{-1}} {m!}}}$

pro n velké, m pevné.

Pořadí náhodné permutace

Jestliže P je permutace je pořadí z P je nejmenší kladné celé číslo n , pro které je identita permutace. Toto je nejmenší společný násobek délek cyklů P . ${\ displaystyle P^{n}}$

Věta Goh a Schmutz říká, že pokud je očekávané pořadí náhodné permutace velikosti n , pak ${\ displaystyle \ mu _ {n}}$

${\ Displaystyle \ log \ mu _ {n} \ sim c {\ sqrt {\ frac {n} {\ log n}}}}$

kde konstanta C je

${\ Displaystyle 2 {\ sqrt {2 \ int _ {0}^{\ infty} \ log \ log \ left ({\ frac {e} {1-e^{-t}}} \ right) dt}} \ cca 1,1178641511899}$

Odchylky obsahující sudý a lichý počet cyklů

K výpočtu počtu odchylek obsahujících sudý počet cyklů a počtu obsahujících lichý počet cyklů můžeme použít stejnou konstrukci jako v předchozí části . K tomu musíme označit všechny cykly a odečíst pevné body, dávat ${\ displaystyle D_ {0} (n)}$${\ displaystyle D_ {1} (n)}$

${\ Displaystyle g (z, u) = \ exp \ left (-uz+u \ log {\ frac {1} {1-z}} \ right) = \ exp (-uz) \ left ({\ frac { 1} {1-z}} \ vpravo)^{u}.}$

Nyní některé velmi základní úvaha ukazuje, že EGF ze je dána ${\ Displaystyle q (z)}$${\ displaystyle D_ {0} (n)}$

${\ Displaystyle q (z) = {\ frac {1} {2}} \ times g (z, -1)+{\ frac {1} {2}} \ times g (z, 1) = {\ frac {1} {2}} \ exp (-z) {\ frac {1} {1-z}}+{\ frac {1} {2}} \ exp (z) (1-z).}$

Máme tedy

${\ Displaystyle D_ {0} (n) = n! [z^{n}] q (z) = {\ frac {1} {2}} n! \ sum _ {k = 0}^{n} { \ frac {(-1)^{k}} {k!}}+{\ frac {1} {2}} n! {\ frac {1} {n!}}-{\ frac {1} {2 }} n! {\ frac {1} {(n-1)!}}}$

který je

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} n! \ sum _ {k = 0}^{n} {\ frac {(-1)^{k}} {k!}}+{\ frac { 1} {2}} (1-n) \ sim {\ frac {1} {2e}} n!+{\ Frac {1} {2}} (1-n).}$

Odečtením od najdeme ${\ displaystyle D_ {0} (n)}$${\ Displaystyle D (n)}$

${\ Displaystyle D_ {1} (n) = {\ frac {1} {2}} n! \ sum _ {k = 0}^{n} {\ frac {(-1)^{k}} {k !}}-{\ frac {1} {2}} (1-n).}$

Rozdíl těchto dvou ( a ) je${\ displaystyle D_ {0} (n)}$${\ displaystyle D_ {1} (n)}$${\ Displaystyle n-1.}$

Sto vězňů

Vězeňský dozorce si chce ve svém vězení uvolnit místo a uvažuje o osvobození stovky vězňů, čímž uvolní sto cel. Shromažďuje proto sto vězňů a žádá je, aby hráli následující hru: seřazuje sto uren v řadě, z nichž každá obsahuje jméno jednoho vězně, kde se jméno každého vězně vyskytuje přesně jednou. Tato hra se hraje následovně: každý vězeň se může podívat dovnitř padesáti uren. Pokud v jedné z padesáti uren nenajde své jméno, budou všichni vězni okamžitě popraveni, jinak hra pokračuje. Vězni mají několik okamžiků na to, aby se rozhodli pro strategii, protože věděli, že jakmile hra začne, nebudou moci spolu komunikovat, jakkoli označovat urny nebo přesouvat urny nebo jména v sobě. Při náhodném výběru uren jsou jejich šance na přežití téměř nulové, ale existuje strategie, která jim dává 30% šanci na přežití, za předpokladu, že jména jsou urnám přiřazována náhodně - co to je?

Za prvé, pravděpodobnost přežití pomocí náhodných voleb je

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {99 \ choose 49} {100 \ choose 50}} \ right)^{100} = {\ frac {1} {2^{100}}},}$

praktická strategie to tedy rozhodně není.

Strategie 30% přežití je považovat obsah uren za permutaci vězňů a procházet cykly. Aby byl zápis jednoduchý, přiřaďte každému vězni číslo, například seřazením jejich jmen podle abecedy. Urny mohou být poté považovány za číslo, které neobsahuje jména. Nyní obsah uren jasně definuje permutaci. První vězeň otevře první urnu. Pokud najde své jméno, skončil a přežil. Jinak otevře urnu s číslem, které našel v první urně. Proces se opakuje: vězeň otevře urnu a přežije, pokud najde své jméno, jinak otevře urnu s právě načteným číslem, až do limitu padesáti uren. Druhý vězeň začíná urnou číslo dvě, třetí urnou číslo tři atd. Tato strategie je přesně ekvivalentní procházení cyklů permutace reprezentovaných urnami. Každý vězeň začíná s urnou s jeho číslem a pokračuje v jeho cyklu až k hranici padesáti uren. Číslo urny, která obsahuje jeho číslo, je předobrazem tohoto čísla pod permutací. Vězni tedy přežijí, pokud všechny cykly permutace obsahují maximálně padesát prvků. Musíme ukázat, že tato pravděpodobnost je minimálně 30%.

Všimněte si toho, že to předpokládá, že správce vybírá permutaci náhodně; pokud strážce tuto strategii předjímá, může jednoduše zvolit permutaci s cyklem o délce 51. Aby to překonali, vězni se mohou předem dohodnout na náhodné permutaci svých jmen.

Zvažujeme obecný případ otevírání vězňů a uren. Nejprve vypočítáme komplementární pravděpodobnost, tj. Že existuje cyklus více než prvků. S ohledem na to představujeme ${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle g (z, u) = \ exp \ left (z+{\ frac {z^{2}} {2}}+{\ frac {z^{3}} {3}}+\ cdots+u {\ frac {z^{n+1}} {n+1}}+u {\ frac {z^{n+2}} {n+2}}+\ cdots \ right)}$

nebo

${\ Displaystyle {\ frac {1} {1-z}} \ exp \ left ((u-1) \ left ({\ frac {z^{n+1}} {n+1}}+{\ frac {z^{n+2}} {n+2}}+\ cdots \ right) \ right),}$

takže požadovaná pravděpodobnost je

${\ Displaystyle [z^{2n}] [u] g (z, u),}$

protože cyklus více než prvků bude nutně jedinečný. S využitím faktu, že to zjistíme ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle 2 (n+1)> 2n}$

${\ Displaystyle [z^{2n}] [u] g (z, u) = [z^{2n}] [u] {\ frac {1} {1-z}} \ left (1+ (u- 1) \ left ({\ frac {z^{n+1}} {n+1}}+{\ frac {z^{n+2}} {n+2}}+\ cdots \ right) \ right ),}$

který přináší

${\ Displaystyle [z^{2n}] [u] g (z, u) = [z^{2n}] {\ frac {1} {1-z}} \ left ({\ frac {z^{n +1}} {n+1}}+{\ frac {z^{n+2}} {n+2}}+\ cdots \ right) = \ sum _ {k = n+1}^{2n} {\ frac {1} {k}} = H_ {2n} -H_ {n}.}$

Konečně, s vestavěnou odhad jako Euler-Maclaurinových sčítání nebo asymptotické rozšíření n -té harmonické , získáme

${\ Displaystyle H_ {2n} -H_ {n} \ sim \ log 2-{\ frac {1} {4n}}+{\ frac {1} {16n^{2}}}-{\ frac {1} {128n^{4}}}+{\ frac {1} {256n^{6}}}-{\ frac {17} {4096n^{8}}}+\ cdots,}$

aby

${\ Displaystyle [z^{2n}] [u] g (z, u) <\ log 2 \ quad {\ mbox {and}} \ quad 1- [z^{2n}] [u] g (z, u)> 1- \ log 2 = 0,30685281,}$

nebo alespoň 30%, jak je uvedeno.

Souvisejícím výsledkem je, že asymptoticky je očekávaná délka nejdelšího cyklu λn, kde λ je Golomb – Dickmanova konstanta , přibližně 0,62.

Tento příklad má na svědomí Anna Gál a Peter Bro Miltersen; další informace najdete v článku Petera Winklera a podívejte se na diskusi na Les-Mathematiques.net . Odkazy na tyto odkazy najdete v referencích na 100 vězňů .

Výše uvedený výpočet lze provést jednodušeji a příměji následujícím způsobem: nejprve si všimněte, že permutace prvků obsahuje nejvýše jeden cyklus délky přísně větší než . Pokud tedy označíme ${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle p_ {k} = \ Pr [{\ mbox {existuje cyklus délky}} k],}$

pak

${\ Displaystyle \ Pr [{\ mbox {existuje cyklus délky}}> n] = \ sum _ {k = n+1}^{2n} p_ {k}.}$

Pro počet permutací, které přesně obsahují cyklus délky, je ${\ displaystyle k> n}$${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle {{2n} \ choose k} \ cdot {\ frac {k!} {k}} \ cdot (2n-k) !.}$

Vysvětlení: je počet způsobů výběru prvků, které tvoří cyklus; je počet způsobů uspořádání položek v cyklu; a je počet způsobů, jak permutovat zbývající prvky. Zde neexistuje žádné dvojí počítání, protože existuje maximálně jeden cyklus délky, kdy . Tím pádem, ${\ displaystyle {{2n} \ choose k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ frac {k!} {k}}}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle (2n-k)!}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k> n}$

${\ displaystyle p_ {k} = {\ frac {{{2n} \ choose k} \ cdot {\ frac {k!} {k}} \ cdot (2n-k)!} {(2n)!}} = {\ frac {1} {k}}.}$

Došli jsme k závěru

${\ Displaystyle \ Pr [{\ mbox {existuje cyklus délky}}> n] = \ sum _ {k = n+1}^{2n} {\ frac {1} {k}} = H_ {2n } -H_ {n}.}$

Variace na problém 100 vězňů (klíče a krabice)

Existuje úzce související problém, který docela dobře odpovídá zde uvedené metodě. Řekněme, že máte n objednaných polí. Každé pole obsahuje klíč k jinému poli nebo případně sám, který dává permutaci klíčů. Je povoleno vybrat k těchto n boxů najednou a současně je rozbít a získat přístup ke klíčům k . Jaká je pravděpodobnost, že pomocí těchto klíčů můžete otevřít všech n polí, kde pomocí nalezeného klíče otevřete pole, do kterého patří, a opakujte.

Matematické vyjádření tohoto problému je následující: vyberte náhodnou permutaci na n prvcích a k hodnotách v rozsahu 1 až n , také náhodně, zavolejte tyto značky. Jaká je pravděpodobnost, že v každém cyklu permutace je alespoň jedna značka? Tvrzení je, že tato pravděpodobnost je k/n .

Druh permutací podle cyklů s nějakou neprázdnou podmnožinou každého cyklu, který je označen, má specifikaci ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {Q}} = \ operatorname {SET} \ left (\ sum _ {q \ geq 1} \ operatorname {CYC} _ {= q} ({\ mathcal {Z}}) \ times \ součet _ {p = 1}^{q} {q \ choose p} {\ mathcal {U}}^{p} \ right).}$

Index ve vnitřním součtu začíná na jedné, protože v každém cyklu musíme mít alespoň jednu značku.

Převedením specifikace na generování funkcí získáme funkci generování bivariátu

${\ Displaystyle G (z, u) = \ exp \ left (\ sum _ {q \ geq 1} {\ frac {z^{q}} {q}} \ sum _ {p = 1}^{q} {q \ choose p} u^{p} \ right).}$

To zjednodušuje na

${\ Displaystyle \ exp \ left (\ sum _ {q \ geq 1} {\ frac {z^{q}} {q}} (u+1)^{q}-\ sum _ {q \ geq 1} {\ frac {z^{q}} {q}} \ right)}$

nebo

${\ Displaystyle \ exp \ left (\ log {\ frac {1} {1- (u+1) z}}-\ log {\ frac {1} {1-z}} \ right) = {\ frac { 1-z} {1- (u+1) z}}.}$

Abychom z tohoto přepsání mohli extrahovat koeficienty, je to tak

${\ Displaystyle (1-z) \ sum _ {q \ geq 0} (u+1)^{q} z^{q}.}$

Z toho nyní vyplývá

${\ Displaystyle [z^{n}] G (z, u) = (u+1)^{n}-(u+1)^{n-1}}$

a proto

${\ Displaystyle [u^{k}] [z^{n}] G (z, u) = {n \ choose k}-{n-1 \ choose k}.}$

Rozdělte podle, abyste získali ${\ displaystyle {n \ choose k}}$

${\ Displaystyle 1-{\ frac {(n-1)!} {k! (n-1-k)!}} {\ frac {k! (nk)!} {n!}} = 1-{\ frac {nk} {n}} = {\ frac {k} {n}}.}$

Nepotřebujeme dělit n! protože je exponenciální v z . ${\ Displaystyle G (z, u)}$

Počet permutací obsahujících m cyklů

Použití základní věty Flajolet – Sedgewick , tj. Označená věta o výčtu s , na množinu ${\ displaystyle G = S_ {m}}$

${\ displaystyle \ operatorname {SET} _ {= m} (\ operatorname {CYC} ({\ mathcal {Z}}))}$

získáme generující funkci

${\ Displaystyle g_ {m} (z) = {\ frac {1} {| S_ {m} |}} \ left (\ log {\ frac {1} {1-z}} \ right)^{m} = {\ frac {1} {m!}} \ left (\ log {\ frac {1} {1-z}} \ right)^{m}.}$

Termín

${\ Displaystyle (-1)^{n+m} n! \; [z^{n}] g_ {m} (z) = s (n, m)}$

dává podepsaná Stirlingova čísla prvního druhu a je EGF nepodepsaných Stirlingových čísel prvního druhu, tj. ${\ displaystyle g_ {m} (z)}$

${\ Displaystyle n! [z^{n}] g_ {m} (z) = \ left [{\ begin {matrix} n \\ m \ end {matrix}} \ right].}$

Můžeme vypočítat OGF podepsaných Stirlingových čísel pro n pevných, tzn

${\ Displaystyle s_ {n} (w) = \ sum _ {m = 0}^{n} s (n, m) w^{m}.}$

Začít s

${\ Displaystyle g_ {m} (z) = \ sum _ {n \ geq m} {\ frac {(-1)^{n+m}} {n!}} s (n, m) z^{n }}$

který přináší

${\ Displaystyle (-1)^{m} g_ {m} (z) w^{m} = \ sum _ {n \ geq m} {\ frac {(-1)^{n}} {n!} } s (n, m) w^{m} z^{n}.}$

Když to shrneme, získáme

${\ Displaystyle \ sum _ {m \ geq 0} (-1)^{m} g_ {m} (z) w^{m} = \ sum _ {m \ geq 0} \ sum _ {n \ geq m } {\ frac {(-1)^{n}} {n!}} s (n, m) w^{m} z^{n} = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {( -1)^{n}} {n!}} Z^{n} \ sum _ {m = 0}^{n} s (n, m) w^{m}.}$

Pomocí vzorce zahrnujícího logaritmus pro vlevo, definici vpravo a binomickou větu získáme ${\ displaystyle g_ {m} (z)}$${\ displaystyle s_ {n} (w)}$

${\ Displaystyle (1-z)^{w} = \ sum _ {n \ geq 0} {w \ choose n} (-1)^{n} z^{n} = \ sum _ {n \ geq 0 } {\ frac {(-1)^{n}} {n!}} s_ {n} (w) z^{n}.}$

Porovnáním koeficientů a použitím definice binomického koeficientu konečně máme ${\ displaystyle z^{n}}$

${\ Displaystyle s_ {n} (w) = w \; (w-1) \; (w-2) \; \ cdots \; (w- (n-1)) = (w) _ {n}, }$

padající faktoriál . Podobným způsobem funguje i výpočet OGF nepodepsaných Stirlingových čísel prvního druhu.

Očekávaný počet cyklů dané velikosti m

V tomto problému používáme funkci generující bivariáty g ( z ,  u ), jak je popsáno v úvodu. Hodnota b pro cyklus, který nemá velikost m, je nula a jedna pro cyklus o velikosti m . My máme

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný} {\ částečný u}} g (z, u) {\ Bigg |} _ {u = 1} = {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ k \ geq 1} b (k) {\ frac {z^{k}} {k}} = {\ frac {1} {1-z}} {\ frac {z^{m}} {m}} }$

nebo

${\ Displaystyle {\ frac {1} {m}} z^{m} \;+\; {\ frac {1} {m}} z^{m+1} \;+\; {\ frac {1 } {m}} z^{m+2} \;+\; \ cdots}$

To znamená, že očekávaný počet cyklů o velikosti m při permutaci o délce n menší než m je nulový (samozřejmě). Náhodná permutace délky alespoň m obsahuje v průměru 1/ m cyklů délky m . Zejména náhodná permutace obsahuje přibližně jeden pevný bod.

OGF předpokládaného počtu cyklů o délce menší nebo rovné m je tedy

${\ Displaystyle {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ {k = 1}^{m} {\ frac {z^{k}} {k}} {\ mbox {and}} [z ^{n}] {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ {k = 1}^{m} {\ frac {z^{k}} {k}} = H_ {m} {\ mbox {for}} n \ geq m}$

kde H _m je m th harmonické číslo . Očekávaný počet cyklů o délce nejvýše m v náhodné permutaci je tedy přibližně ln  m .

Okamžiky pevných bodů

Smíšený GF množiny permutací podle počtu pevných bodů je ${\ Displaystyle g (z, u)}$

${\ Displaystyle g (z, u) = \ exp \ left (-z+uz+\ log {\ frac {1} {1-z}} \ right) = {\ frac {1} {1-z}} \ exp (-z+uz).}$

Nechť náhodná proměnná X je počet pevných bodů náhodné permutace. Pomocí Stirlingových čísel druhého druhu máme pro m th moment X následující vzorec :

${\ Displaystyle E (X^{m}) = E \ left (\ sum _ {k = 0}^{m} \ left \ {{\ begin {matrix} m \\ k \ end {matrix}} \ right \} (X) _ {k} \ right) = \ sum _ {k = 0}^{m} \ left \ {{\ begin {matrix} m \\ k \ end {matrix}} \ right \} E ((X) _ {k}),}$

kde je klesající faktoriál . Pomocí máme ${\ displaystyle (X) _ {k}}$${\ Displaystyle g (z, u)}$

${\ Displaystyle E ((X) _ {k}) = [z^{n}] \ left ({\ frac {d} {du}} \ right)^{k} g (z, u) {\ Bigg |} _ {u = 1} = [z^{n}] {\ frac {z^{k}} {1-z}} \ exp (-z+uz) {\ Bigg |} _ {u = 1 } = [z^{n}] {\ frac {z^{k}} {1-z}},}$

což je nula, když , a jedna jinak. K součtu tedy přispívají pouze podmínky, které přispívají. Tím se získá ${\ displaystyle k> n}$${\ Displaystyle k <= n}$

${\ Displaystyle E (X^{m}) = \ sum _ {k = 0}^{n} \ left \ {{\ begin {matrix} m \\ k \ end {matrix}} \ right \}.}$

Očekávaný počet pevných bodů v náhodné permutaci zvýšen na nějaký výkon k

Předpokládejme, že vyberete náhodnou permutaci a zvýšíte ji na nějakou sílu s kladným celým číslem a zeptáte se na očekávaný počet pevných bodů ve výsledku. Tuto hodnotu označte pomocí . ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle E [F_ {k}]}$

Za každý dělitel z cyklu délky rozdělí do pevných bodech, pokud umocněn Proto musíme označit tyto cykly se Pro ilustraci v úvahu${\ displaystyle d}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle k.}$${\ displaystyle u^{d}.}$${\ displaystyle E [F_ {6}].}$

Dostaneme

${\ Displaystyle g (z, u) = \ exp \ left (uz-z+u^{2} {\ frac {z^{2}} {2}}-{\ frac {z^{2}} { 2}}+u^{3} {\ frac {z^{3}} {3}}-{\ frac {z^{3}} {3}}+u^{6} {\ frac {z^ {6}} {6}}-{\ frac {z^{6}} {6}}+\ log {\ frac {1} {1-z}} \ right)}$

který je

${\ Displaystyle {\ frac {1} {1-z}} \ exp \ left (uz-z+u^{2} {\ frac {z^{2}} {2}}-{\ frac {z^ {2}} {2}}+u^{3} {\ frac {z^{3}} {3}}-{\ frac {z^{3}} {3}}+u^{6} { \ frac {z^{6}} {6}}-{\ frac {z^{6}} {6}} \ right).}$

Znovu pokračujeme podle popisu v úvodu

${\ Displaystyle \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial u}} g (z, u) \ right | _ {u = 1} = \ left. {\ frac {z+z^{2}+ z^{3}+z^{6}} {1-z}} \ exp \ left (uz-z+u^{2} {\ frac {z^{2}} {2}}-{\ frac {z^{2}} {2}}+u^{3} {\ frac {z^{3}} {3}}-{\ frac {z^{3}} {3}}+u^{ 6} {\ frac {z^{6}} {6}}-{\ frac {z^{6}} {6}} \ right) \ right | _ {u = 1}}$

který je

${\ Displaystyle {\ frac {z+z^{2}+z^{3}+z^{6}} {1-z}}.}$

Závěr je takový, že pro a v průměru existují čtyři pevné body. ${\ displaystyle E [F_ {6}] = 4}$${\ Displaystyle n \ geq 6}$

Obecný postup je

${\ Displaystyle g (z, u) = \ exp \ left (\ sum _ {d \ mid k} \ left (u^{d} {\ frac {z^{d}} {d}}-{\ frac {z^{d}} {d}} \ right)+\ log {\ frac {1} {1-z}} \ right) = {\ frac {1} {1-z}} \ exp \ left ( \ sum _ {d \ mid k} \ vlevo (u^{d} {\ frac {z^{d}} {d}}-{\ frac {z^{d}} {d}} \ vpravo) \ že jo).}$

Znovu pokračujeme jako dříve, zjišťujeme

${\ Displaystyle \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial u}} g (z, u) \ right | _ {u = 1} = \ left. {\ frac {\ sum _ {d \ mid k } z^{d}} {1-z}} \ exp \ left (\ sum _ {d \ mid k} \ left (u^{d} {\ frac {z^{d}} {d}}- {\ frac {z^{d}} {d}} \ right) \ right) \ right | _ {u = 1} = {\ frac {\ sum _ {d \ mid k} z^{d}} { 1-z}}.}$

Ukázali jsme, že hodnota je rovna (dále jen počet dělitelů o ) jakmile to začíná na dobu a zvýší o jednu pokaždé, když narazí na dělitele až do samotného. ${\ displaystyle E [F_ {k}]}$${\ Displaystyle \ tau (k)}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle n \ geq k.}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

Očekávaný počet cyklů libovolné délky náhodné permutace

Bivariační generující funkci sestrojíme pomocí , kde je jedna pro všechny cykly (každý cyklus přispívá jedním k celkovému počtu cyklů). ${\ Displaystyle g (z, u)}$${\ Displaystyle b (k)}$${\ Displaystyle b (k)}$

Všimněte si, že má uzavřený tvar ${\ Displaystyle g (z, u)}$

${\ Displaystyle g (z, u) = \ left ({\ frac {1} {1-z}} \ right)^{u}}$

a generuje nepodepsaná Stirlingova čísla prvního druhu .

My máme

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný} {\ částečný u}} g (z, u) {\ Bigg |} _ {u = 1} = {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ k \ geq 1} b (k) {\ frac {z^{k}} {k}} = {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {z ^{k}} {k}} = {\ frac {1} {1-z}} \ log {\ frac {1} {1-z}}.}$

Očekávaný počet cyklů je tedy harmonické číslo nebo přibližně . ${\ displaystyle H_ {n}}$${\ displaystyle \ log n}$

Počet permutací s cyklem o délce větší než n /2

(Všimněte si, že část sto vězňů obsahuje přesně stejný problém s velmi podobným výpočtem a navíc jednodušší elementární důkaz.)

Ještě jednou začněte s funkcí exponenciálního generování , tentokrát třídy permutací podle velikosti, kde cykly o délce delší než jsou označeny proměnnou : ${\ Displaystyle g (z, u)}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle n/2}$${\ displaystyle u}$

${\ Displaystyle g (z, u) = \ exp \ left (u \ sum _ {k> \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor}^{\ infty} {\ frac {z^{k }} {k}}+\ sum _ {k = 1}^{\ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor} {\ frac {z^{k}} {k}} \ right). }$

Může existovat pouze jeden cyklus délky větší než , proto odpověď na otázku dává ${\ displaystyle {\ frac {n} {2}}}$

${\ Displaystyle n! [uz^{n}] g (z, u) = n! [z^{n}] \ exp \ left (\ sum _ {k = 1}^{\ lfloor {\ frac {n } {2}} \ rfloor} {\ frac {z^{k}} {k}} \ right) \ sum _ {k> \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor}^{\ infty } {\ frac {z^{k}} {k}}}$

nebo

${\ Displaystyle n! [z^{n}] \ exp \ left (\ log {\ frac {1} {1-z}}-\ sum _ {k> \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor}^{\ infty} {\ frac {z^{k}} {k}} \ right) \ sum _ {k> \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor}^{\ infty } {\ frac {z^{k}} {k}}}$

který je

${\ Displaystyle n! [z^{n}] {\ frac {1} {1-z}} \ exp \ left (-\ sum _ {k> \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor }^{\ infty} {\ frac {z^{k}} {k}} \ right) \ sum _ {k> \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor}^{\ infty} { \ frac {z^{k}} {k}} = n! [z^{n}] {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ {m = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{m}} {m!}} \ left (\ sum _ {k> \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor}^{\ infty} {\ frac {z ^{k}} {k}} \ vpravo)^{m+1}}$

Exponent výrazu v pojmu zvyšování moci je větší než a proto k němu nemůže přispívat žádná hodnota${\ Displaystyle z}$${\ displaystyle m+1}$${\ Displaystyle \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor}$${\ displaystyle m> 0}$${\ Displaystyle [z^{n}].}$

Z toho vyplývá, že odpověď je

${\ Displaystyle n! [z^{n}] {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ {k> \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor}^{\ infty} {\ frac {z^{k}} {k}} = n! \ sum _ {k = \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor +1}^{n} {\ frac {1} {k}}.}$

Součet má alternativní zastoupení, se kterým se člověk setká např. V OEIS OEIS :  A024167 .

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1}^{n} {\ frac {1} {k}}-\ sum _ {k = 1}^{\ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor } {\ frac {1} {k}} = \ sum _ {k = 1}^{n} {\ frac {1} {k}}-2 \ sum _ {k = 1}^{\ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor} {\ frac {1} {2k}} = \ sum _ {k = 1 \ atop k \; {\ text {even}}}^{n} (1-2 ) {\ frac {1} {k}}+\ sum _ {k = 1 \ atop k \; {\ text {odd}}}^{n} {\ frac {1} {k}}}$

konečně dávat

${\ Displaystyle n! \ sum _ {k = 1}^{n} {\ frac {(-1)^{k+1}} {k}} \ sim n! \ log 2.}$

Očekávaný počet transpozic náhodné permutace

Můžeme použít nesouvislý cyklu rozklad permutací jej factorize jako produkt transpozice nahrazením cyklus délky k o k  - 1 transpozice. Např. Faktory cyklu jako . Funkce pro cykly se rovná a získáme ${\ Displaystyle (1 \; 2 \; 34)}$${\ Displaystyle (1 \; 2) \; (2 \; 3) \; (3 \; 4)}$${\ Displaystyle b (k)}$${\ displaystyle k-1}$

${\ Displaystyle g (z, u) = \ left ({\ frac {1} {1-uz}} \ right)^{1/u}}$

a

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný} {\ částečný u}} g (z, u) {\ Bigg |} _ {u = 1} = {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ k \ geq 1} (k-1) {\ frac {z^{k}} {k}} = {\ frac {z} {(1-z)^{2}}}-{\ frac {1} {1-z}} \ log {\ frac {1} {1-z}}.}$

Očekávaný počet transpozic je tedy ${\ displaystyle T (n)}$

${\ Displaystyle T (n) = n-H_ {n}}$

kde je harmonické číslo . Mohli bychom také získat tento vzorec tím, že si všimneme, že počet transpozic je získán sečtením délek všech cyklů (což dává n ) a odečtením jednoho pro každý cyklus (což dává předchozí část). ${\ displaystyle H_ {n}}$${\ displaystyle n^{th}}$ ${\ displaystyle \ log n}$

Všimněte si, že opět generuje nepodepsaná Stirlingova čísla prvního druhu , ale v opačném pořadí. Přesněji řečeno, máme ${\ Displaystyle g (z, u)}$

${\ Displaystyle (-1)^{m} n! \; [z^{n}] [u^{m}] g (z, u) = \ left [{\ begin {matrix} n \\ nm \ end {matrix}} \ right]}$

Chcete -li to vidět, uvědomte si, že výše uvedené je ekvivalentní

${\ Displaystyle (-1)^{n+m} n! \; [z^{n}] [u^{m}] g (z, u) | _ {u = 1/u} | _ {z = uz} = \ left [{\ begin {matrix} n \\ m \ end {matrix}} \ right]}$

a to

${\ Displaystyle [u^{m}] g (z, u) | _ {u = 1/u} | _ {z = uz} = [u^{m}] \ left ({\ frac {1} { 1-z}} \ vpravo)^{u} = {\ frac {1} {m!}} \ Left (\ log {\ frac {1} {1-z}} \ right)^{m},}$

což jsme viděli jako EGF nepodepsaných Stirlingových čísel prvního druhu v sekci o permutacích skládajících se přesně z m cyklů.

Očekávaná velikost cyklu náhodného prvku

Vybereme náhodný prvek q náhodné permutace a zeptáme se na očekávanou velikost cyklu, který obsahuje q . Zde je funkce rovna , protože cyklus délky k přispívá k prvkům, které jsou v cyklech délky k . Všimněte si, že na rozdíl od předchozích výpočtů musíme tento parametr zprůměrovat poté, co jej extrahujeme z generující funkce (děleno n ). My máme ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle b (k)}$${\ displaystyle k^{2}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný} {\ částečný u}} g (z, u) {\ Bigg |} _ {u = 1} = {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ k \ geq 1} k^{2} {\ frac {z^{k}} {k}} = {\ frac {1} {1-z}} {\ frac {z} {(1-z)^ {2}}} = {\ frac {z} {(1-z)^{3}}}.}$

Očekávaná délka cyklu, který obsahuje q, je tedy

${\ Displaystyle {\ frac {1} {n}} [z^{n}] {\ frac {z} {(1-z)^{3}}} = {\ frac {1} {n}} { \ frac {1} {2}} n (n+1) = {\ frac {1} {2}} (n+1).}$

Pravděpodobnost, že náhodný prvek leží na cyklu o velikosti m

Tento průměrný parametr představuje pravděpodobnost, že pokud znovu vybereme náhodný prvek náhodné permutace, prvek leží na cyklu o velikosti m . Funkce je stejná pro a nula jinak, protože přispívají pouze cykly délky m , a to m prvků, které leží na cyklu délky m . My máme ${\ displaystyle [n]}$${\ Displaystyle b (k)}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle m = k}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný} {\ částečný u}} g (z, u) {\ Bigg |} _ {u = 1} = {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ k \ geq 1} b (k) {\ frac {z^{k}} {k}} = {\ frac {1} {1-z}} \; m \; {\ frac {z^{m} } {m}} = {\ frac {z^{m}} {1-z}}.}$

Z toho vyplývá, že pravděpodobnost, že náhodný prvek leží na cyklu o délce m, je

${\ Displaystyle {\ frac {1} {n}} [z^{n}] {\ frac {z^{m}} {1-z}} = {\ begin {cases} {\ frac {1} { n}}, & {\ mbox {if}} n \ geq m \\ 0, & {\ mbox {jinak.}} \ end {cases}}}$

Pravděpodobnost, že náhodná podmnožina [ n ] leží na stejném cyklu

Vyberte náhodnou podmnožinu Q z [ n ] obsahující m prvků a náhodnou permutaci a zeptejte se na pravděpodobnost, že všechny prvky Q leží ve stejném cyklu. Toto je další průměrný parametr. Funkce b ( k ) se rovná , protože cyklus délky k přispívá podmnožinami velikosti m , kde pro k < m . Tím se získá ${\ displaystyle {\ begin {matrix} {k \ choose m} \ end {matrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {matrix} {k \ choose m} \ end {matrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {matrix} {k \ choose m} = 0 \ end {matrix}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný} {\ částečný u}} g (z, u) {\ Bigg |} _ {u = 1} = {\ frac {1} {1-z}} \ sum _ k \ geq m} {k \ choose m} {\ frac {z^{k}} {k}} = {\ frac {1} {1-z}} {\ frac {1} {m}} {\ frac {z^{m}} {(1-z)^{m}}} = {\ frac {1} {m}} {\ frac {z^{m}} {(1-z)^{m +1}}}.}$

Průměrováním získáme, že pravděpodobnost prvků Q ve stejném cyklu je

${\ Displaystyle {n \ choose m}^{-1} [z^{n}] {\ frac {1} {m}} {\ frac {z^{m}} {(1-z)^{m +1}}} = {n \ choose m}^{-1} {\ frac {1} {m}} [z^{nm}] {\ frac {1} {(1-z)^{m+ 1}}}}$

nebo

${\ Displaystyle {\ frac {1} {m}} {n \ choose m}^{-1} {(nm) \;+\; m \ choose m} = {\ frac {1} {m}} }$

Zejména pravděpodobnost, že dva prvky p < q jsou ve stejném cyklu, je 1/2.

Počet permutací obsahujících sudý počet sudých cyklů

Můžeme přímo použít základní větu Flajolet – Sedgewick a vypočítat pokročilejší statistiky permutací. (Na této stránce najdete vysvětlení, jak se počítají operátory, které použijeme.) Například sada permutací obsahující sudý počet sudých cyklů je dána vztahem

${\ displaystyle \ operatorname {SET} (\ operatorname {CYC} _ {\ operatorname {odd}} ({\ mathcal {Z}})) \ operatorname {SET} _ {\ operatorname {even}} (\ operatorname {CYC } _ {\ operatorname {even}} ({\ mathcal {Z}})).}$

Převedením na funkce exponenciálního generování (EGF) získáme

${\ Displaystyle \ exp \ left ({\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {1+z} {1-z}} \ right) \ cosh \ left ({\ frac {1} {2 }} \ log {\ frac {1} {1-z^{2}}} \ right)}$

nebo

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ exp \ left ({\ frac {1} {2}} \ left (\ log {\ frac {1+z} {1-z}}+\ log {\ frac {1} {1-z^{2}}} \ right) \ right)+{\ frac {1} {2}} \ exp \ left ({\ frac {1} {2}} \ left (\ log {\ frac {1+z} {1-z}}-\ log {\ frac {1} {1-z^{2}}} \ right) \ right).}$

To zjednodušuje na

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ exp \ left ({\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {1} {(1-z)^{2}}} \ right )+{\ frac {1} {2}} \ exp \ left ({\ frac {1} {2}} \ log (1+z)^{2} \ right)}$

nebo

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {1-z}}+{\ frac {1} {2}} (1+z) = 1+z+{\ frac {1 } {2}} {\ frac {z^{2}} {1-z}}.}$

To říká, že existuje jedna permutace velikosti nula obsahující sudý počet sudých cyklů (prázdná permutace, která obsahuje nulové cykly sudé délky), jedna taková permutace velikosti jedna (pevný bod, který také obsahuje nulové cykly sudé délky ), a že pro , existují takové permutace. ${\ Displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle n!/2}$

Permutace, které jsou čtverce

Zvažte, co se stane, když zmocníme permutaci. Pevné body jsou mapovány na pevné body. Liché cykly jsou mapovány na liché cykly v korespondenci jeden na jednoho, např. Se změní na . I cykly se rozdělí na dva a vytvoří dvojici cyklů o poloviční velikosti oproti původnímu cyklu, např. Se změní na . Permutace, které jsou čtverci, tedy mohou obsahovat libovolný počet lichých cyklů a sudý počet cyklů velikosti dva, sudý počet cyklů velikosti čtyři atd., A jsou dány vztahem ${\ Displaystyle (1 \; 8 \; 9 \; 11 \; 13)}$${\ Displaystyle (1 \; 9 \; 13 \; 8 \; 11)}$${\ Displaystyle (5 \; 13 \; 6 \; 9)}$${\ Displaystyle (5 \; 6) \; (9 \; 13)}$

${\ displaystyle \ operatorname {SET} (\ operatorname {CYC} _ {\ operatorname {odd}} ({\ mathcal {Z}})) \ operatorname {SET} _ {\ operatorname {even}} (\ operatorname {CYC } _ {= 2} ({\ mathcal {Z}})) \ operatorname {SET} _ {\ operatorname {even}} (\ operatorname {CYC} _ {= 4} ({\ mathcal {Z}})) \ operatorname {SET} _ {\ operatorname {even}} (\ operatorname {CYC} _ {= 6} ({\ mathcal {Z}})) \ cdots}$

který poskytuje EGF

${\ Displaystyle \ exp \ left ({\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {1+z} {1-z}} \ right) \ prod _ {m \ geq 1} \ cosh {\ frac {z^{2m}} {2m}} = {\ sqrt {\ frac {1+z} {1-z}}} \ prod _ {m \ geq 1} \ cosh {\ frac {z^{2m }} {2m}}.}$

Neměnný cyklus invarianty

Typy permutací uvedených v předchozích dvou částech, tj. Permutace obsahující sudý počet sudých cyklů a permutace, které jsou čtverci, jsou příklady takzvaných invariantů lichého cyklu , studovaných Sungem a Zhangem (viz externí odkazy ). Pojem invariant lichého cyklu jednoduše znamená, že členství v příslušné kombinatorické třídě je nezávislé na velikosti a počtu lichých cyklů vyskytujících se v permutaci. Ve skutečnosti můžeme dokázat, že všechny invarianty lichého cyklu poslouchají jednoduchou recidivu, kterou odvodíme. Nejprve je zde několik dalších příkladů invariantů lichého cyklu.

Permutace, kde součet délek sudých cyklů je šest

Tato třída má specifikaci

${\ displaystyle \ operatorname {SET} (\ operatorname {CYC} _ {\ operatorname {odd}} ({\ mathcal {Z}})) \ left (\ operatorname {SET} _ {= 3} (\ operatorname {CYC } _ {= 2} ({\ mathcal {Z}}))+\ operatorname {CYC} _ {= 2} ({\ mathcal {Z}}) \ operatorname {CYC} _ {= 4} ({\ mathcal {Z}})+\ název operátora {CYC} _ {= 6} ({\ mathcal {Z}}) \ right)}$

a generující funkce

${\ Displaystyle {\ sqrt {\ frac {1+z} {1-z}}} \ left ({\ frac {1} {6}} \ left ({\ frac {z^{2}} {2} } \ right)^{3}+{\ frac {z^{2}} {2}} {\ frac {z^{4}} {4}}+{\ frac {z^{6}} {6 }} \ right) = {\ frac {5} {16}} z^{6} {\ sqrt {\ frac {1+z} {1-z}}}.}$

Prvních pár hodnot je

${\ Displaystyle 0,0,0,0,0,225,1575,6300,56700,425250,4677750,46777500,608107500, \ ldots}$

Permutace, kde všechny sudé cykly mají stejnou délku

Tato třída má specifikaci

${\ displaystyle \ operatorname {SET} (\ operatorname {CYC} _ {\ operatorname {odd}} ({\ mathcal {Z}})) \ left (\ operatorname {SET} _ {\ geq 1} (\ operatorname { CYC} _ {= 2} ({\ mathcal {Z}}))+\ operatorname {SET} _ {\ geq 1} (\ operatorname {CYC} _ {= 4} ({\ mathcal {Z}})) +\ jméno operátora {SET} _ {\ geq 1} (\ jméno operátora {CYC} _ {= 6} ({\ mathcal {Z}}))+\ cdots \ right)}$

a generující funkce

${\ Displaystyle {\ sqrt {\ frac {1+z} {1-z}}} \ left (\ exp \ left ({\ frac {z^{2}} {2}} \ right) -1 \, +\, \ exp \ left ({\ frac {z^{4}} {4}} \ right) -1 \,+\, \ exp \ left ({\ frac {z^{6}} {6} } \ right) -1 \,+\, \ cdots \ right).}$

Zde je sémantická nuance. Mohli bychom považovat permutace obsahující žádné sudé cykly za patřící do této třídy, protože nula je sudá . Prvních pár hodnot je

${\ Displaystyle 0,1,3,15,75,405,2835,22155,199395,1828575, \ ldots}$

Permutace, kde maximální délka sudého cyklu jsou čtyři

Tato třída má specifikaci

${\ displaystyle \ operatorname {SET} (\ operatorname {CYC} _ {\ operatorname {odd}} ({\ mathcal {Z}})) \ operatorname {SET} (\ operatorname {CYC} _ {= 2} ({ \ mathcal {Z}})+\ operatorname {CYC} _ {= 4} ({\ mathcal {Z}}))}$

a generující funkce

${\ Displaystyle {\ sqrt {\ frac {1+z} {1-z}}} \ exp \ left ({\ frac {z^{2}} {2}}+{\ frac {z^{4} } {4}} \ right).}$

Prvních pár hodnot je

${\ Displaystyle 1,2,6,24,120,600,4200,28560,257040,2207520,24282720,258128640, \ ldots}$

Opakování

Pozorně sledujte, jak jsou konstruovány specifikace složky sudého cyklu. Nejlepší je myslet na ně z hlediska parse stromů. Tyto stromy mají tři úrovně. Uzly na nejnižší úrovni představují součty součinů sudých cyklů singletonu . Uzly na střední úrovni představují omezení nastaveného operátoru. Nakonec uzel na nejvyšší úrovni sečte produkty příspěvků ze střední úrovně. Všimněte si toho, že omezení nastaveného operátoru, když je aplikována na generující funkci, která je sudá, zachová tuto funkci, tj. Vytvoří další sudou generující funkci. Ale všechny vstupy do nastavených operátorů jsou rovnoměrné, protože pocházejí z cyklů sudé délky. Výsledkem je, že všechny zúčastněné generující funkce mají formu ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$

${\ Displaystyle g (z) = h (z) {\ sqrt {\ frac {1+z} {1-z}}},}$

kde je sudá funkce. Tohle znamená tamto ${\ Displaystyle h (z)}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {1+z}} \; g (z) = h (z) \; {\ frac {1} {\ sqrt {1-z^{2}}}}}$

je také sudý, a proto

${\ Displaystyle {\ frac {1} {1+z}} \; g (z) = {\ frac {1} {1-z}} \; g (-z) \ quad {\ mbox {or}} \ quad (1-z) \; g (z) = (1+z) \; g (-z).}$

Necháním a extrahováním koeficientů to zjistíme ${\ Displaystyle g_ {n} = [z^{n}] g (z)}$

${\ Displaystyle {\ frac {g_ {2m+1}} {(2m+1)!}}-{\ frac {g_ {2m}} {(2m)!}} =-{\ frac {g_ {2m+ 1}} {(2m+1)!}}+{\ Frac {g_ {2m}} {(2m)!}} \ Quad {\ mbox {or}} \ quad 2 {\ frac {g_ {2m+1 }} {(2m+1)!}} = 2 {\ frac {g_ {2m}} {(2m)!}}}$

což vede k opakování

${\ Displaystyle g_ {2m+1} = (2m+1) g_ {2m} \ ,.}$

Problém ze soutěže Putnam v roce 2005

V sekci Externí odkazy se objeví odkaz na soutěžní web Putnam . Problém vyžaduje důkaz

${\ Displaystyle \ sum _ {\ pi \ in S_ {n}} {\ frac {\ sigma (\ pi)} {\ nu (\ pi) +1}} = (-1)^{n+1} { \ frac {n} {n+1}},}$

kde suma je přes všechny permutace , je znamením , tedy pokud je dokonce i v případě, je lichý, a je počet pevných bodů . ${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle [n]}$${\ Displaystyle \ sigma (\ pi)}$${\ displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle \ sigma (\ pi) = 1}$${\ displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle \ sigma (\ pi) =-1}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ nu (\ pi)}$${\ displaystyle \ pi}$

Nyní je známkou je dána ${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle \ sigma (\ pi) = \ prod _ {c \ in \ pi} (-1)^{| c | -1},}$

kde je přípravek v průběhu všech cyklů c o , jak je uvedeno například na stránky na sudých a lichých permutací . ${\ displaystyle \ pi}$

Proto uvažujeme o kombinatorické třídě

${\ displaystyle \ operatorname {SET} (-{\ mathcal {Z}}+{\ mathcal {V}} {\ mathcal {Z}}+\ operatorname {CYC} _ {= 1} ({\ mathcal {Z} })+{\ mathcal {U}} \ operatorname {CYC} _ {= 2} ({\ mathcal {Z}})+{\ mathcal {U}}^{2} \ operatorname {CYC} _ {= 3 } ({\ mathcal {Z}})+{\ mathcal {U}}^{3} \ operatorname {CYC} _ {= 4} ({\ mathcal {Z}})+\ cdots)}$

kde označuje jeden minus délku přispívajícího cyklu a označuje pevné body. Převedením na generování funkcí získáme ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

${\ Displaystyle g (z, u, v) = \ exp \ left (-z+vz+\ sum _ {k \ geq 1} u^{k-1} {\ frac {z^{k}} {k} }\že jo)}$

nebo

${\ Displaystyle \ exp \ left (-z+vz+{\ frac {1} {u}} \ log {\ frac {1} {1-uz}} \ right) = \ exp (-z+vz) \ left ({\ frac {1} {1-uz}} \ right)^{1/u}.}$

Nyní máme

${\ Displaystyle n! [z^{n}] g (z, -1, v) = n! [z^{n}] \ exp (-z+vz) (1+z) = \ sum _ {\ pi \ v S_ {n}} \ sigma (\ pi) v^{\ nu (\ pi)}}$

a proto je požadované množství dáno vztahem

${\ Displaystyle n! [z^{n}] \ int _ {0}^{1} g (z, -1, v) dv = \ sum _ {\ pi \ v S_ {n}} {\ frac { \ sigma (\ pi)} {\ nu (\ pi) +1}}.}$

Při výpočtu získáme

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{1} g (z, -1, v) dv = \ exp (-z) (1+z) \ left ({\ frac {1} {z}} \ exp (z)-{\ frac {1} {z}} \ right)}$

nebo

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {1} {z}}+1 \ right) \ left (1- \ exp (-z) \ right) = {\ frac {1} {z}}+1- \ exp (-z)-{\ frac {1} {z}} \ exp (-z).}$

Extrahováním koeficientů zjistíme, že koeficient je nulový. Konstanta je jedna, která nesouhlasí se vzorcem (měla by být nula). Pro pozitivní však získáváme ${\ Displaystyle 1/z}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle n! [z^{n}] \ left (-\ exp (-z)-{\ frac {1} {z}} \ exp (-z) \ right) = n! \ left (-( -1)^{n} {\ frac {1} {n!}}-(-1)^{n+1} {\ frac {1} {(n+1)!}} \ Right)}$

nebo

${\ Displaystyle (-1)^{n+1} \ left (1-{\ frac {1} {n+1}} \ right) = (-1)^{n+1} {\ frac {n} {n+1}},}$

což je požadovaný výsledek.

Jako zajímavý stranou, můžeme pozorovat, že mohou být použity k vyhodnocení následující determinant z o matice: ${\ Displaystyle g (z, u, v)}$${\ displaystyle n \ times n}$

${\ Displaystyle d (n) = \ det (A_ {n}) = {\ begin {vmatrix} a && b && b && \ cdots && b \\ b && a && b && \ cdots && b \\ b && b && a && \ cdots && b \\\ vdots && \ vdots && \ vdots & \ ddots && \ vdots \\ b && b && b && \ cdots && a \ end {vmatrix}}.}$

kde . Připomeňme vzorec pro determinant: ${\ displaystyle a, b \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ det (A) = \ sum _ {\ pi \ v S_ {n}} \ sigma (\ pi) \ prod _ {i = 1}^{n} A_ {i, \ pi (i)} .}$

Nyní je hodnota produktu, o právu na permutací je , kde f je počet pevných bodů . Proto ${\ displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle a^{f} b^{nf}}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle d (n) = b^{n} n! [z^{n}] g \ left (z, -1, {\ frac {a} {b}} \ right) = b^{n} n! [z^{n}] \ exp \ left ({\ frac {ab} {b}} z \ right) (1+z)}$

který přináší

${\ Displaystyle b^{n} \ left ({\ frac {ab} {b}} \ right)^{n}+b^{n} n \ left ({\ frac {ab} {b}} \ right )^{n-1} = (ab)^{n}+nb (ab)^{n-1}}$

a nakonec

${\ Displaystyle d (n) = (a+(n-1) b) (ab)^{n-1} \ ,.}$

Rozdíl mezi počtem cyklů v sudých a lichých permutacích

Zde se snažíme ukázat, že tento rozdíl je dán vztahem

${\ Displaystyle (-1)^{n} (n-2)!}$

Připomeňme si, že znak permutace je dán znakem ${\ Displaystyle \ sigma (\ pi)}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle \ sigma (\ pi) = \ prod _ {c \ in \ pi} (-1)^{| c | -1}}$

kde se produkt pohybuje v cyklech c od složení nesouvislého cyklu . ${\ displaystyle \ pi}$

Z toho vyplývá, že kombinatorické druhy, které odrážejí znaky a počet cyklů sady permutací, jsou dány vztahem ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} = \ operatorname {SET} ({\ mathcal {V}} \ operatorname {CYC} _ {1} ({\ mathcal {Z}})+{\ mathcal {U}} {\ mathcal {V}} \ operatorname {CYC} _ {= 2} ({\ mathcal {Z}}))+{\ mathcal {U}}^{2} {\ mathcal {V}} \ operatorname {CYC } _ {= 3} ({\ mathcal {Z}})+{\ mathcal {U}}^{3} {\ mathcal {V}} \ operatorname {CYC} _ {= 4} ({\ mathcal {Z }})+{\ mathcal {U}}^{4} {\ mathcal {V}} \ operatorname {CYC} _ {= 5} ({\ mathcal {Z}})+\ cdots)}$

kde jsme použili k označení značek a pro počet cyklů. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

Překlad do generování funkcí, které máme

${\ Displaystyle Q (z, u, v) = \ exp \ left (v {\ frac {z} {1}}+vu {\ frac {z^{2}} {2}}+vu^{2} {\ frac {z^{3}} {3}}+vu^{3} {\ frac {z^{4}} {4}}+vu^{4} {\ frac {z^{5}} {5}}+\ cdots \ right).}$

To zjednodušuje na

${\ Displaystyle Q (z, u, v) = \ exp \ left ({\ frac {v} {u}} \ left ({\ frac {zu} {1}}+{\ frac {z^{2} u^{2}} {2}}+{\ frac {z^{3} u^{3}} {3}}+{\ frac {z^{4} u^{4}} {4}} +{\ frac {z^{5} u^{5}} {5}}+\ cdots \ right) \ right)}$

který je

${\ Displaystyle \ exp \ left ({\ frac {v} {u}} \ log {\ frac {1} {1-uz}} \ right) = \ left ({\ frac {1} {1-uz} } \ right)^{\ frac {v} {u}}.}$

Nyní jsou dvě generující funkce a sudé a liché permutace podle počtu cyklů dány vztahem ${\ displaystyle Q_ {1} (z, v)}$${\ displaystyle Q_ {2} (z, v)}$

${\ Displaystyle Q_ {1} (z, v) = {\ frac {1} {2}} Q (z,+1, v)+{\ frac {1} {2}} Q (z, -1, v) = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {1-z}} \ right)^{v}+{\ frac {1} {2}} \ left ({ \ frac {1} {1+z}} \ vpravo)^{-v}}$

a

${\ Displaystyle Q_ {2} (z, v) = {\ frac {1} {2}} Q (z,+1, v)-{\ frac {1} {2}} Q (z, -1, v) = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {1-z}} \ right)^{v}-{\ frac {1} {2}} \ left ({ \ frac {1} {1+z}} \ vpravo)^{-v}.}$

Požadujeme množství

${\ Displaystyle G (z, v) = \ left. {\ frac {d} {dv}} (Q_ {1} (z, v) -Q_ {2} (z, v)) \ right | _ {v = 1}}$

který je

${\ Displaystyle \ left. {\ frac {d} {dv}} \ left ({\ frac {1} {1+z}} \ right)^{-v} \ right | _ {v = 1} =- \ left. \ log {\ frac {1} {1+z}} \ left ({\ frac {1} {1+z}} \ right)^{-v} \ right | _ {v = 1} = -(1+z) \ log {\ frac {1} {1+z}}.}$

Nakonec získáme koeficienty z této generující funkce

${\ Displaystyle -n! [z^{n}] (1+z) \ log {\ frac {1} {1+z}} =-n! \ left ({\ frac {(-1)^{n }} {n}}+{\ frac {(-1)^{n-1}} {n-1}} \ right)}$

který je

${\ Displaystyle -n! (-1)^{n-1} \ left (-{\ frac {1} {n}}+{\ frac {1} {n-1}} \ right) = n! ( -1)^{n} {\ frac {n- (n-1)} {n (n-1)}}}$

což je zase

${\ Displaystyle n! (-1)^{n} {\ frac {1} {n (n-1)}} = (-1)^{n} (n-2)!}$

Tím důkaz končí.

Viz také

• Golomb – Dickmanova konstanta

Reference

externí odkazy

• Panholzer, Alois; Prodinger, Helmut; Riedel, Marko. „Měření poruchy po rychlém výběru“ (PDF) . Citační deník vyžaduje |journal=( nápověda )
• Archiv soutěže Williama Lowella Putnama
• Sung, Philip; Zhang, Yan. „Opakující se opakování v počítání permutací“. CiteSeerX  10.1.1.91.1088 . Citační deník vyžaduje |journal=( nápověda )
• Marko Riedel a kol., Rozdíl v počtu cyklů sudých a lichých permutací
• Marko Riedel a kol., Klíče uvnitř uzavřených boxů, otázka na pravděpodobnost

100 vězňů

• Anna Gál, Peter Bro Miltersen, Složitost buněčné sondy stručných datových struktur
• Různí autoři, Permutace s cyklem> n/2
• Různí autoři, Vlastnost odchylek
• Různí autoři, očekávaný počet pevných bodů
• Peter Winkler, Sedm hádanek, o kterých si myslíš, že jsi je neslyšel správně
• Různí autoři, Les-Mathematiques.net . Cent vězení (ve francouzštině)