Funkce generující pravděpodobnost - Probability-generating function

V teorii pravděpodobnosti je funkce generování pravděpodobnosti z diskrétní náhodné veličiny je síla série reprezentace (dále funkce generování ) o pravděpodobnosti hmotnostní funkce na náhodné proměnné . Funkce generující pravděpodobnost se často používají k jejich stručnému popisu posloupnosti pravděpodobností Pr ( X = i ) ve funkci hmotnostní pravděpodobnosti pro náhodnou proměnnou X a ke zpřístupnění dobře rozvinuté teorie mocninných řad s nezápornými koeficienty.

Definice

Jednosměrný případ

Pokud X je diskrétní náhodná veličina přičemž hodnoty v nezáporných celých čísel {0,1, ...}, pak funkce generování pravděpodobnosti z X, je definován jako

${\ Displaystyle G (z) = \ operatorname {E} (z^{X}) = \ sum _ {x = 0}^{\ infty} p (x) z^{x},}$

kde p je pravděpodobnost hmotnost funkce z X . Všimněte si toho, že předepsané zápisy G _X a p _X se často používají k zdůraznění, že se týkají konkrétní náhodné proměnné X a její distribuce . Mocninová řada konverguje absolutně alespoň pro všechna komplexní čísla z s | z | ≤ 1; v mnoha příkladech je poloměr konvergence větší.

Vícerozměrné pouzdro

Jestliže X = ( X ₁ , ..., X _d  ) je diskrétní náhodná veličina přičemž hodnoty v d -rozměrného nezáporné celočíselná mřížka {0,1, ...} ^d , pak funkce generování pravděpodobnosti z X je definováno jako

${\ Displaystyle G (z) = G (z_ {1}, \ ldots, z_ {d}) = \ operatorname {E} {\ bigl (} z_ {1}^{X_ {1}} \ cdots z_ {d }^{X_ {d}} {\ bigr)} = \ sum _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {d} = 0}^{\ infty} p (x_ {1}, \ ldots, x_ { d}) z_ {1}^{x_ {1}} \ cdots z_ {d}^{x_ {d}},}$

kde p je pravděpodobnost hmotnost funkce X .  Mocninová řada konverguje absolutně alespoň pro všechny komplexní vektory z = ( z ₁ , ..., z _d ) ∈ ℂ ^d s max {| z ₁ |, ..., | z _d  |} ≤ 1 .

Vlastnosti

Silová řada

Funkce generující pravděpodobnost dodržují všechna pravidla mocninných řad s nezápornými koeficienty. Zejména G (1 ^- ) = 1, kde G (1 ^- ) = lim _{z → 1} G ( z ) zespodu , protože pravděpodobnosti se musí rovnat jedné. Takže poloměr konvergence libovolné funkce pro generování pravděpodobnosti musí být alespoň 1, které Abel teorému pro elektrické sérii s nezáporné koeficienty.

Pravděpodobnosti a očekávání

Následující vlastnosti umožňují odvození různých základních veličin souvisejících s X :

1. Pravděpodobnost hmotnost funkce X se získá tím, že se deriváty z G,

   ${\ Displaystyle p (k) = \ operatorname {Pr} (X = k) = {\ frac {G^{(k)} (0)} {k!}}.}$

2. Z vlastnosti 1 vyplývá, že pokud náhodné proměnné X a Y mají funkce generující pravděpodobnost, které jsou si rovny , pak . To znamená, že pokud X a Y mají identické funkce generující pravděpodobnost, pak mají identická rozdělení.${\ displaystyle G_ {X} = G_ {Y}}$${\ displaystyle p_ {X} = p_ {Y}}$
3. Normalizaci funkce hustoty pravděpodobnosti lze vyjádřit pomocí generující funkce pomocí

   ${\ displaystyle \ operatorname {E} [1] = G (1^{-}) = \ sum _ {i = 0}^{\ infty} p (i) = 1.}$

   Očekávání z je dána ${\ displaystyle X}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {E} [X] = G '(1^{-}).}$

   Obecněji řečeno, k ^tý faktoriálního chvíli , z X je dán ${\ displaystyle \ operatorname {E} (X (X-1) \ cdots (X-k+1))}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [{\ frac {X!} {(Xk)!}} \ right] = G^{(k)} (1^{-}), \ quad k \ geq 0 .}$

   Takže rozptyl z X je dána vztahem

   ${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (X) = G '' (1^{-})+G '(1^{-})-\ left [G' (1^{-}) \ right]^{ 2}.}$

   Nakonec je k ^th surový moment X dán vztahem

   ${\ displaystyle \ operatorname {E} [X^{k}] = \ left (z {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ right)^{k} G (z) {\ Big |} _ {z = 1^{-}}}$

4. ${\ displaystyle G_ {X} (e^{t}) = M_ {X} (t)}$kde X je náhodná proměnná, je funkce generující pravděpodobnost (z X ) a je funkce generující moment (z X ).${\ displaystyle G_ {X} (t)}$${\ displaystyle M_ {X} (t)}$

Funkce nezávislých náhodných proměnných

Funkce generující pravděpodobnost jsou zvláště užitečné pro řešení funkcí nezávislých náhodných proměnných. Například:

• Pokud X ₁ , X ₂ , ..., X _N je posloupnost nezávislých (a ne nutně identicky rozložených) náhodných proměnných, a

${\ displaystyle S_ {N} = \ sum _ {i = 1}^{N} a_ {i} X_ {i},}$

kde a _i jsou konstanty, pak je funkce generující pravděpodobnost dána vztahem

${\ Displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = \ operatorname {E} (z^{S_ {N}}) = \ operatorname {E} \ left (z^{\ sum _ {i = 1}^ {N} a_ {i} X_ {i},} \ right) = G_ {X_ {1}} (z^{a_ {1}}) G_ {X_ {2}} (z^{a_ {2}} ) \ cdots G_ {X_ {N}} (z^{a_ {N}}).}$

Například pokud

${\ displaystyle S_ {N} = \ sum _ {i = 1}^{N} X_ {i},}$

pak je funkce generující pravděpodobnost, G _{S N} ( z ), dána vztahem

${\ Displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = G_ {X_ {1}} (z) G_ {X_ {2}} (z) \ cdots G_ {X_ {N}} (z).}$

Z toho také vyplývá, že funkce generující pravděpodobnost rozdílu dvou nezávislých náhodných proměnných S = X ₁ - X ₂ je

${\ displaystyle G_ {S} (z) = G_ {X_ {1}} (z) G_ {X_ {2}} (1/z).}$

• Předpokládejme, že N je také nezávislá, diskrétní náhodná proměnná přičemž hodnoty na nezáporných celých čísel, s funkcí generující pravděpodobnost G _N . Pokud jsou X ₁ , X ₂ , ..., X _N nezávislé a identicky distribuované se společnou funkcí generující pravděpodobnost G _X , pak

${\ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = G_ {N} (G_ {X} (z)).}$

To lze pomocí zákona o úplném očekávání vidět následovně:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} G_ {S_ {N}} (z) & = \ operatorname {E} (z^{S_ {N}}) = \ operatorname {E} (z^{\ sum _ { i = 1}^{N} X_ {i}}) \\ [4pt] & = \ operatorname {E} {\ big (} \ operatorname {E} (z^{\ sum _ {i = 1}^{ N} X_ {i}} \ střední N) {\ velký)} = \ jméno operátora {E} {\ velký (} (G_ {X} (z))^{N} {\ velký)} = G_ {N} (G_ {X} (z)). \ End {aligned}}}$

Tato poslední skutečnost je užitečná při studiu Galton -Watsonových procesů a složených Poissonových procesů .

• Předpokládejme znovu, že N je také nezávislá, diskrétní náhodná proměnná přijímající hodnoty na nezáporných celých číslech, s funkcí generující pravděpodobnost G _N a hustotou pravděpodobnosti . Pokud X ₁ , X ₂ , ..., X _N jsou nezávislé, ale ne identicky distribuované náhodné proměnné, kde označuje funkci generující pravděpodobnost , pak${\ Displaystyle f_ {i} = \ Pr \ {N = i \}}$${\ displaystyle G_ {X_ {i}}}$${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ Displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = \ sum _ {i \ geq 1} f_ {i} \ prod _ {k = 1}^{i} G_ {X_ {i}} (z). }$

U identicky distribuovaných X _{i se} to zjednodušuje na identitu uvedenou dříve. Obecný případ je někdy užitečný k získání rozkladu S _N pomocí generování funkcí.

Příklady

• Funkce generující pravděpodobnost téměř jistě konstantní náhodné veličiny , tj. Funkce s Pr ( X = c ) = 1, je

${\ Displaystyle G (z) = z^{c}.}$

• Funkce generující pravděpodobnost binomické náhodné veličiny , počet úspěchů v n pokusech, s pravděpodobností p úspěchu v každé studii, je

${\ Displaystyle G (z) = \ left [(1-p)+pz \ right]^{n}.}$

Všimněte si, že toto je n -násobný součin funkce generující pravděpodobnost Bernoulliho náhodné proměnné s parametrem p .

Funkce generující pravděpodobnost férové ​​mince tedy je

${\ Displaystyle G (z) = 1/2+z/2.}$

• Funkce generující pravděpodobnost záporné binomické náhodné proměnné na {0,1,2 ...}, počet selhání do r. Úspěchu s pravděpodobností úspěchu v každém pokusu p , je

${\ Displaystyle G (z) = \ left ({\ frac {p} {1- (1-p) z}} \ right)^{r}.}$

(Konvergence pro ).${\ displaystyle | z | <{\ frac {1} {1-p}}}$

Všimněte si, že toto je r -násobný součin funkce generující pravděpodobnost geometrické náhodné veličiny s parametrem 1  -p na {0,1,2, ...}.

• Funkce generující pravděpodobnost Poissonovy náhodné proměnné s parametrem rychlosti λ je

${\ Displaystyle G (z) = e^{\ lambda (z-1)}.}$

Související pojmy

Funkce generující pravděpodobnost je příkladem generující funkce posloupnosti: viz také formální mocninná řada . Je ekvivalentní, a někdy se nazývá, z-transformace pravděpodobnostní hmotnostní funkce.

Mezi další generující funkce náhodných proměnných patří funkce generující moment , charakteristická funkce a funkce vytvářející kumulant . Funkce generující pravděpodobnost je také ekvivalentní funkci generující faktoriální moment , což lze také zvážit u spojitých a jiných náhodných proměnných. ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [z^{X} \ right]}$

Poznámky

Reference

• Johnson, NL; Kotz, S .; Kemp, AW (1993) Univariate Discrete distributions (2. vydání). Wiley. ISBN  0-471-54897-9 (Oddíl 1.B9)