n domněnka - n conjecture

V teorii čísel je n domněnka domněnka uvedená Browkinem a Brzezińskim (1994) jako zevšeobecnění abc domněnky na více než tři celá čísla.

Formulace

Vzhledem k tomu , ať splňovat tři podmínky: ${\ displaystyle {n \ geq 3}}$${\ displaystyle {a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n} \ in \ mathbb {Z}}}$

(i) ${\ displaystyle \ gcd (a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}) = 1}$

ii) ${\ displaystyle {a_ {1} + a_ {2} + ... + a_ {n} = 0}}$

(iii) žádné řádné součet rovných${\ displaystyle {a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}}}$${\ displaystyle {0}}$

První formulace

N hypotéza říká, že pro každý , tam je konstantní , v závislosti na i tak, že: ${\ displaystyle {\ varepsilon> 0}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {n}}$${\ displaystyle {\ varepsilon}}$

${\ displaystyle \ operatorname {max} (| a_ {1} |, | a_ {2} |, ..., | a_ {n} |) <C_ {n, \ varepsilon} \ operatorname {rad} (| a_ {1} | \ cdot | a_ {2} | \ cdot ... \ cdot | a_ {n} |) ^ {2n-5 + \ varepsilon}}$

kde značí zbytek o celé číslo , definován jako součin zřetelných primárních faktorů z . ${\ displaystyle \ operatorname {rad} (m)}$${\ displaystyle {m}}$${\ displaystyle {m}}$

Druhá formulace

Definování kvality a jako ${\ displaystyle {a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}}}$

${\ displaystyle q (a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}) = {\ frac {\ log (\ operatorname {max} (| a_ {1} |, | a_ {2} |, ..., | a_ {n} |))} {\ log (\ operatorname {rad} (| a_ {1} | \ cdot | a_ {2} | \ cdot ... \ cdot | a_ {n } |))}}}$

N hypotéza říká, že . ${\ displaystyle \ limsup q (a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}) = 2n-5}$

Silnější forma

Vojta (1998) navrhl silnější variantu domněnky n , kde setwise primitivita of je nahrazena párovou primitivitou . ${\ displaystyle {a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}}}$${\ displaystyle {a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}}}$

Existují dvě různé formulace této silné n domněnky .

Vzhledem k tomu , ať splňovat tři podmínky: ${\ displaystyle {n \ geq 3}}$${\ displaystyle {a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n} \ in \ mathbb {Z}}}$

(i) jsou párové coprime${\ displaystyle {a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}}}$

ii) ${\ displaystyle {a_ {1} + a_ {2} + ... + a_ {n} = 0}}$

(iii) žádné řádné součet rovných${\ displaystyle {a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}}}$${\ displaystyle {0}}$

První formulace

Silná n hypotéza říká, že pro každý , tam je konstantní , v závislosti na i tak, že: ${\ displaystyle {\ varepsilon> 0}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {n}}$${\ displaystyle {\ varepsilon}}$

${\ displaystyle \ operatorname {max} (| a_ {1} |, | a_ {2} |, ..., | a_ {n} |) <C_ {n, \ varepsilon} \ operatorname {rad} (| a_ {1} | \ cdot | a_ {2} | \ cdot ... \ cdot | a_ {n} |) ^ {1+ \ varepsilon}}$

Druhá formulace

Definování kvality a jako ${\ displaystyle {a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}}}$

${\ displaystyle q (a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}) = {\ frac {\ log (\ operatorname {max} (| a_ {1} |, | a_ {2} |, ..., | a_ {n} |))} {\ log (\ operatorname {rad} (| a_ {1} | \ cdot | a_ {2} | \ cdot ... \ cdot | a_ {n } |))}}}$

Silná n hypotéza říká, že . ${\ displaystyle \ limsup q (a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}) = 1}$

Reference