Multikategori - Multicategory

I matematik (särskilt kategoriteori ) är en multikategori en generalisering av kategoribegreppet som tillåter morfismer av flera ariteter . Om morfismer i en kategori ses som analoga med funktioner , så är morfismer i en multikategori analoga med funktioner av flera variabler. Multikategorier kallas också ibland operader eller färgade operader.

Definition

En (icke-symmetrisk) multikategori består av

• en samling (ofta en riktig klass ) av objekt ;
• för varje ändlig sekvens av objekt (för von Neumann ordinal ) och objekt Y , en uppsättning morfismer från till Y ; och ${\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in n}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in n}}$
• för varje objekt X , en speciell identitet morfism (med n = 1) från X till X .

Dessutom finns kompositioner: Givet en sekvens av sekvenser av objekt, en sekvens av objekt och ett objekt Z : if ${\ displaystyle ((X_ {ij}) _ {i \ in n_ {j}}) _ {j \ in m}}$${\ displaystyle (Y_ {j}) _ {j \ in m}}$

• för vardera är f _j en morfism från till Y _j ; och ${\ displaystyle j \ in m}$${\ displaystyle (X_ {ij}) _ {i \ in n_ {j}}}$
• g är en morfism från till Z : ${\ displaystyle (Y_ {j}) _ {j \ in m}}$

då finns det en sammansatt morfism från till Z . Detta måste tillfredsställa vissa axiomer: ${\ displaystyle g (f_ {j}) _ {j \ in m}}$${\ displaystyle (X_ {ij}) _ {i \ in n_ {j}, j \ in m}}$

• Om m = 1, Z = Y ₀ och g är identitetsmorfismen för Y ₀ , då är g ( f ₀ ) = f ₀ ;
• om för varje är n _j = 1, och f _j är identitetsmorfismen för Y _j , då ; och ${\ displaystyle j \ in m}$${\ displaystyle X_ {0j} = Y_ {j}}$${\ displaystyle g (f_ {j}) _ {j \ in m} = g}$
• en associativitet villkor: om för varje och , är en morfism från att , då är identiska morfismer från till Z . ${\ displaystyle j \ in m}$${\ displaystyle i \ in n_ {j}}$${\ displaystyle e_ {ij}}$${\ displaystyle (W_ {hij}) _ {h \ in o_ {ij}}}$${\ displaystyle X_ {ij}}$${\ displaystyle g \ left (f_ {j} (e_ {ij}) _ {i \ in n_ {j}} \ right) _ {j \ in m} = g (f_ {j}) _ {j \ in m} (e_ {ij}) _ {i \ in n_ {j}, j \ in m}}$${\ displaystyle (W_ {hij}) _ {h \ in o_ {ij}, i \ in n_ {j}, j \ in m}}$

Comcategories

En comcategory (sam-multi-kategori) är en helt ordnad uppsättning O av föremål, en uppsättning A av multiarrows med två funktioner

${\ displaystyle \ mathrm {head}: A \ rightarrow O,}$

${\ displaystyle \ mathrm {ground}: A \ rightarrow O ^ {\%},}$

där O ^% är den uppsättning av alla ändliga ordnade sekvenser av element av O . Den dubbla bilden av en multiarrow f kan sammanfattas

${\ displaystyle f: \ mathrm {head} (f) \ Leftarrow \ mathrm {ground} (f).}$

En comcategory C har också en multiprodukt med den vanliga karaktären av en kompositionsoperation. C sägs vara associerande om det finns ett multiproduktaxiom i förhållande till denna operatör.

Alla multikategorier, symmetriska eller icke-symmetriska, tillsammans med en total ordning av objektuppsättningen, kan göras till en motsvarande comcategory.

En multiorder är en komkategori som uppfyller följande villkor.

• Det finns högst en multiarrow med givet huvud och mark.
• Varje objekt x har en enhet multiarrow.
• En multiarrow är en enhet om marken har en post.

Multiorders är en generalisering av partiella order (posets) och introducerades först (i förbigående) av Tom Leinster.

Exempel

Det finns en multikategori vars objekt är (små) uppsättningar , där en morfism från uppsättningarna X ₁ , X ₂ , ... och X _n till uppsättningen Y är en n- funktion , det vill säga en funktion från den kartesiska produkten X ₁ × X ₂ × ... × X _n till Y .

Det finns en multikategori vars objekt är vektorrymd (över de rationella siffrorna , säg), där en morfism från vektorrymden X ₁ , X ₂ , ... och X _n till vektorrummet Y är en flerlinjig operator , det vill säga en linjär transformation från tensorprodukt X ₁ ⊗ X ₂ ⊗ ... ⊗ X _n till Y .

Mer allmänt, med tanke på vilken monoidkategori som helst C , finns det en multikategori vars objekt är objekt av C , där en morfism från C- objekten X ₁ , X ₂ , ... och X _n till C- föremålet Y är en C -morphism från monoidal produkten av X ₁ , X ₂ , ..., och X _n till Y .

En operad är en multikategori med ett unikt objekt; utom i degenererade fall kommer en sådan multikategori inte från en monoid kategori.

Exempel på multiorder inkluderar spetsiga multisets (sekvens A262671 i OEIS ), heltalspartitioner (sekvens A063834 i OEIS ) och kombinationsseparationer (sekvens A269134 i OEIS ). Trianglarna (eller kompositionerna) för alla multiorder är morfismer av en (inte nödvändigtvis associerande) kategori av sammandragningar och en sammansättningskategori av sönderdelningar . Sammandragningskategorin för multiorder av multimin-partitioner (sekvens A255397 i OEIS ) är den enklaste kända kategorin av multisets.

Applikationer

Multikategorier anses ofta felaktigt tillhöra teorin med högre kategori , eftersom deras ursprungliga tillämpning var observationen att operatörerna och identiteterna som nöjda med högre kategorier är föremålen och multipilarna i en multikategori. Studien av n -kategorier motiverades i sin tur av applikationer inom algebraisk topologi och försök att beskriva homotopiteorin för högre dimensionella grenrör . Men det har oftast vuxit ur denna motivation och anses nu också vara en del av ren matematik. [1]

Korrespondensen mellan sammandragningar och sönderdelning av trianglar i en multiorder gör att man kan konstruera en associativ algebra som kallas dess förekomstalgebra . Varje element som inte är noll på alla enhetspilar har en sammansatt invers, och Möbius-funktionen hos en multiorder definieras som den sammansatta inversen av zeta-funktionen (konstant-en) i dess förekomstalgebra.

Historia

Multikategorier introducerades först under det namnet av Jim Lambek i "Deductive systems and categories II" (1969) Han nämner (s. 108) att han "fick höra att multikategorier också har studerats av [Jean] Benabou och [Pierre] Cartier" , och faktiskt Leinster menar att "idén kan ha inträffat för alla som visste vad både en kategori och en multilinjär karta var".

Referenser

• Garner, Richard (2008). "Polykategorier via pseudodistributiva lagar" . Framsteg inom matematik . 218 (3): 781–827. arXiv : matematik / 0606735 . doi : 10.1016 / j.aim.2008.02.001 . S2CID   17057235 .