Problem z przepływem wielu towarów - Multi-commodity flow problem

Problemu przepływu wielotowarowych jest przepływ sieć Problem stosowania wielu towarów (żądań przepływu) dla różnych materiałów wsadowych i umywalką węzłów.

Definicja

Biorąc pod uwagę sieć przepływu , w której brzeg ma przepustowość . Istnieją towary , określone przez to , gdzie i gdzie jest źródłem i zlewem towaru oraz jakie jest jego zapotrzebowanie. Zmienna określa ułamek przepływu wzdłuż krawędzi , gdzie w przypadku, gdy przepływ może zostać podzielony na wiele ścieżek lub w innym przypadku (np. „Trasowanie pojedynczej ścieżki”). Znajdź przypisanie wszystkich zmiennych przepływu, które spełnia następujące cztery ograniczenia: ${\ Displaystyle \, G (V, E)}$ ${\ Displaystyle (u, v) \ w E}$ ${\ displaystyle \, c (u, v)}$ ${\ displaystyle \, k}$ ${\ Displaystyle K_ {1}, K_ {2}, \ kropki, K_ {k}}$ ${\ Displaystyle \, K_ {i} = (s_ {i}, t_ {i}, d_ {i})}$ ${\ displaystyle \, s_ {i}}$ ${\ displaystyle \, t_ {i}}$ ${\ displaystyle \, i}$ ${\ displaystyle \, d_ {i}}$ ${\ displaystyle \, f_ {i} (u, v)}$ ${\ displaystyle \, i}$ ${\ Displaystyle \, (u, v)}$ ${\ Displaystyle \, f_ {i} (u, v) \ w [0,1]}$ ${\ displaystyle \, f_ {i} (u, v) \ in \ {0,1 \}}$

(1) Przepustowość łącza: suma wszystkich przepływów kierowanych przez łącze nie przekracza jego przepustowości.

{\ displaystyle \ forall (u, v) \ in E: \, \ sum _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (u, v) \ cdot d_ {i} \ równoważnik c (u, v )}

(2) Zachowanie przepływu w węzłach tranzytowych: wielkość przepływu wchodzącego do węzła pośredniego jest taka sama, jaka opuszcza węzeł. ${\ displaystyle u}$

{\ Displaystyle \ forall ja \ w K: \, \ suma _ {w \ w V} f_ {i} (u, w) - \ suma _ {w \ w V} f_ {i} (w, u) = 0 \ quad \ mathrm {when} \ quad u \ neq s_ {i}, t_ {i}}

(3) Ochrona przepływu u źródła: przepływ musi całkowicie opuścić swój węzeł źródłowy.

{\ displaystyle \ forall ja \ in K: \, \ suma _ {w \ in V} f_ {i} (s_ {i}, w) - \ suma _ {w \ in V} f_ {i} (w, s_ {i}) = 1}

(4) Ochrona przepływu w miejscu docelowym: przepływ musi całkowicie wejść do węzła ujścia.

{\ displaystyle \ forall ja \ in K: \, \ sum _ {w \ in V} f_ {i} (w, t_ {i}) - \ suma _ {w \ in V} f_ {i} (t_ { i}, w) = 1}

Odpowiednie problemy optymalizacji

Równoważenie obciążenia to próba kierowania przepływów w taki sposób, aby wykorzystanie wszystkich łączy było równomierne ${\ Displaystyle U (u, v)}$ ${\ Displaystyle (u, v) \ w E}$

{\ Displaystyle U (u, v) = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (u, v) \ cdot d_ {i}} {c (u, v)} }}

Problem można rozwiązać np . Minimalizując . Powszechną linearyzacją tego problemu jest minimalizacja maksymalnego wykorzystania , gdzie ${\ Displaystyle \ sum _ {u, v \ in V} (U (u, v)) ^ {2}}$ ${\ displaystyle U_ {max}}$

{\ displaystyle \ forall (u, v) \ in E: \, U_ {max} \ geq U (u, v)}

W przypadku problemu z przepływem wielu towarów o minimalnym koszcie istnieje koszt wysłania przepływu dalej . Następnie musisz zminimalizować ${\ Displaystyle a (u, v) \ cdot f (u, v)}$ ${\ Displaystyle \, (u, v)}$

{\ Displaystyle \ sum _ {(u, v) \ in E} \ lewo (a (u, v) \ suma _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (u, v) \ prawej)}

W przypadku problemu z maksymalnym przepływem wielu towarów popyt na każdy towar nie jest stały, a całkowita przepustowość jest maksymalizowana poprzez maksymalizację sumy wszystkich potrzeb ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} d_ {i}}$

Związek z innymi problemami

Wariantem minimalnego kosztu problemu przepływu wielu towarów jest uogólnienie problemu przepływu kosztów minimalnych (w którym jest tylko jedno źródło i jeden zlew) . Warianty problemu cyrkulacji są uogólnieniem wszystkich problemów z przepływem. można postrzegać jako szczególny problem z krążeniem. ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle t}$

Stosowanie

Trasowanie i przyporządkowanie fali (RWA) w optycznej przełączania rozerwanie w Optycznej Sieci by odpowiedzieć stosując wzory przepływu wielu surowców.

Rozwiązania

W wersji decyzyjnej problem wytworzenia całkowitego przepływu spełniającego wszystkie wymagania jest NP-zupełny , nawet dla tylko dwóch towarów i mocy jednostkowych (co powoduje, że w tym przypadku problem jest silnie NP-zupełny ).

Jeśli dozwolone są przepływy ułamkowe, problem można rozwiązać w czasie wielomianowym za pomocą programowania liniowego lub (zwykle znacznie szybciej) w pełni wielomianowych schematów przybliżenia czasu .

Zasoby zewnętrzne

Artykuły Clifforda Steina na temat tego problemu: http://www.columbia.edu/~cs2035/papers/#mcf
Oprogramowanie rozwiązujące problem: https://web.archive.org/web/20130306031532/http://typo.zib.de/opt-long_projects/Software/Mcf/

Bibliografia

^ Ahuja, Ravindra K .; Magnanti, Thomas L .; Orlin, James B. (1993). Przepływy w sieci. Teoria, algorytmy i zastosowania . Prentice Hall.
^ S. Even i A. Itai i A. Shamir (1976). „O złożoności problemów związanych z harmonogramem i przepływem towarów”. SIAM Journal on Computing . SYJAM. 5 (4): 691–703. doi : 10,1137 / 0205048 . Nawet, S .; Itai, A .; Shamir, A. (1975). „O złożoności harmonogramu i problemów związanych z przepływem wielu towarów”. XVI doroczne sympozjum na temat podstaw informatyki (SFCS 1975) . pp. 184–193. doi : 10.1109 / SFCS.1975.21 .
^ Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest i Clifford Stein (2009). „29”. Wprowadzenie do algorytmów (3rd ed.). MIT Press i McGraw – Hill. p. 862. ISBN 978-0-262-03384-8 . CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )
^ George Karakostas (2002). „Szybsze schematy aproksymacji dla ułamkowych problemów przepływu wielu towarów” . Materiały z trzynastego dorocznego sympozjum ACM-SIAM poświęconego algorytmom dyskretnym . s. 166–173 . ISBN 0-89871-513-X .

Dodaj: Jean-Patrice Netter, Flow Augmenting Meshings: a primal type of approach to the maximum integer flow in a muti-commodity network, rozprawa doktorska Johns Hopkins University, 1971

[ahuja_et_al_1993-1] Ahuja, Ravindra K .; Magnanti, Thomas L .; Orlin, James B. (1993). Przepływy w sieci. Teoria, algorytmy i zastosowania . Prentice Hall.

[EIS76-2] S. Even i A. Itai i A. Shamir (1976). „O złożoności problemów związanych z harmonogramem i przepływem towarów”. SIAM Journal on Computing . SYJAM. 5 (4): 691–703. doi : 10,1137 / 0205048 . Nawet, S .; Itai, A .; Shamir, A. (1975). „O złożoności harmonogramu i problemów związanych z przepływem wielu towarów”. XVI doroczne sympozjum na temat podstaw informatyki (SFCS 1975) . pp. 184–193. doi : 10.1109 / SFCS.1975.21 .

[3] Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest i Clifford Stein (2009). „29”. Wprowadzenie do algorytmów (3rd ed.). MIT Press i McGraw – Hill. p. 862. ISBN 978-0-262-03384-8 . CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )

[4] George Karakostas (2002). „Szybsze schematy aproksymacji dla ułamkowych problemów przepływu wielu towarów” . Materiały z trzynastego dorocznego sympozjum ACM-SIAM poświęconego algorytmom dyskretnym . s. 166–173 . ISBN 0-89871-513-X .

Languages

In other projects