Logaritmická forma - Logarithmic form

V kontextech zahrnujících složitá potrubí a algebraickou geometrii je logaritmická diferenciální forma meromorfní diferenciální forma s póly určitého druhu. Koncept představila Deligne .

Nechť X být komplexní rozdělovač D ⊂ X dělitel a Sout holomorphic p -forma na X - D . Pokud ω a d ω mají pól řádu nanejvýš jeden podél D , pak ω se říká, že logaritmické pólu podél D . ω je také známý jako logaritmický p -form. Logaritmické p -formy tvoří podskupinu meromorfních p -form na X s pólem podél D , označeným

${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D).}$

V teorii Riemannův povrchů se setkáváme s logaritmickými jednoformami, které mají lokální výraz

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {df} {f}} = \ doleva ({\ frac {m} {z}} + {\ frac {g '(z)} {g (z)}} \ doprava ) dz}$

pro nějakou meromorfní funkci (resp. racionální funkci ) , kde g je holomorfní a nezanikne na 0 a m je řád f na 0 . To znamená, že pro některé otevřené krytí existují lokální reprezentace této diferenciální formy jako logaritmické derivace (mírně upravené vnější derivací d namísto obvyklého diferenciálního operátoru d / dz ). Všimněte si, že ω má pouze jednoduché póly s celočíselnými zbytky. Na vyšších dimenzionálních komplexních varietách se Poincarého zbytek používá k popisu charakteristického chování logaritmických forem podél pólů. ${\ displaystyle f (z) = z ^ {m} g (z)}$

Holomorfní logaritmický komplex

Podle definice a skutečnosti, že vnější diferenciace d splňuje d ² = 0, jeden má ${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D)}$

${\ displaystyle d \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D) (U) \ podmnožina \ Omega _ {X} ^ {p + 1} (\ log D) (U)}$.

To znamená, že je komplex kladek , známé jako holomorfní komplexu log odpovídající dělitel D . Jedná se o subcomplex , kde je začlenění a je komplex snopy holomorfních formulářů na X - D . ${\ displaystyle (\ Omega _ {X} ^ {\ bullet} (\ log D), d)}$${\ displaystyle j _ {*} \ Omega _ {XD} ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle j: XD \ rightarrow X}$${\ displaystyle \ Omega _ {XD} ^ {\ odrážka}}$

Zvláštního zájmu je případ, kdy má D jednoduché normální přechody . Pak, pokud jsou hladké, neredukovatelné složky D , jeden má se schůzkou příčně. Lokálně D je spojení hyperplánů s lokálními definujícími rovnice formy v některých holomorfních souřadnicích. Dá se ukázat, že stopka u p uspokojí ${\ displaystyle \ {D _ {\ nu} \}}$${\ displaystyle D = \ součet D _ {\ nu}}$${\ displaystyle D _ {\ nu}}$${\ displaystyle z_ {1} \ cdots z_ {k} = 0}$${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1} (\ log D)}$

${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1} (\ log D) _ {p} = {\ mathcal {O}} _ {X, p} {\ frac {dz_ {1}} {z_ {1} }} \ oplus \ cdots \ oplus {\ mathcal {O}} _ {X, p} {\ frac {dz_ {k}} {z_ {k}}} \ oplus {\ mathcal {O}} _ {X, p} dz_ {k + 1} \ oplus \ cdots \ oplus {\ mathcal {O}} _ {X, p} dz_ {n}}$

a to

${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {k} (\ log D) _ {p} = \ bigwedge _ {j = 1} ^ {k} \ Omega _ {X} ^ {1} (\ log D) _ {p}}$.

Někteří autoři, např. Používají termín log komplex k označení holomorfního log komplexu, který odpovídá děliteli s normálními přechody.

Příklad vyšší dimenze

Vezměme si jednou propíchnutou eliptickou křivku, danou jako lokus D komplexních bodů ( x , y ) splňující kde a je komplexní číslo. Pak D je hladký neredukovatelný hyperplocha v C ² a zejména dělitel s jednoduchými normálními přechody. Na C ² je meromorfní dvouforma${\ displaystyle g (x, y) = y ^ {2} -f (x) = 0,}$${\ displaystyle f (x) = x (x-1) (x- \ lambda)}$${\ displaystyle \ lambda \ neq 0,1}$

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {dx \ klín dy} {g (x, y)}}}$

který má jednoduchou tyč podél D . Poincaré zbytek z W podél D je dán holomorfní jednu formu

${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {D} (\ omega) = \ vlevo. {\ frac {dy} {\ částečné g / \ částečné x}} \ vpravo | _ {D} = \ vlevo.- {\ frac {dx} {\ částečné g / \ částečné y}} \ pravé | _ {D} = \ levé .- {\ frac {1} {2}} {\ frac {dx} {y}} \ pravé | _ {D}.}$

Pro teorii zbytků logaritmických forem je zásadní sekvence gysinu , která je v určitém smyslu zobecněním věty o zbytcích pro kompaktní Riemannovy povrchy. Toto může být použito pro zobrazení, například to, že se rozšiřuje na holomorphic jedné formy na projektivní uzavření části D v P ² , hladké eliptické křivky. ${\ displaystyle dx / y | _ {D}}$

Hodgeova teorie

Holomorfní logaritmický komplex lze uplatnit na Hodgeově teorii komplexních algebraických odrůd. Nechť X je složité algebraické potrubí a dobré zhutnění. To znamená, že Y je kompaktní algebraické potrubí a D = Y - X je dělitel na Y s jednoduchými normálními přechody. Přirozené zahrnutí komplexů snopů ${\ displaystyle j: X \ hookrightarrow Y}$

${\ displaystyle \ Omega _ {Y} ^ {\ bullet} (\ log D) \ rightarrow j _ {*} \ Omega _ {X} ^ {\ bullet}}$

se ukazuje jako kvaziizomorfismus. Tím pádem

${\ displaystyle H ^ {k} (X; \ mathbf {C}) = \ mathbb {H} ^ {k} (Y, \ Omega _ {Y} ^ {\ bullet} (\ log D))}$

kde označuje hyperkohomologii komplexu abelianských snopů . K dispozici je klesající filtrace daná ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {\ odrážka}}$${\ displaystyle W _ {\ kulka} \ Omega _ {Y} ^ {p} (\ log D)}$

${\ displaystyle W_ {m} \ Omega _ {Y} ^ {p} (\ log D) = {\ begin {cases} 0 & m <0 \\\ Omega _ {Y} ^ {p} (\ log D) & m \ geq p \\\ Omega _ {Y} ^ {pm} \ klín \ Omega _ {Y} ^ {m} (\ log D) & 0 \ leq m \ leq p \ end {případy}}}$

který spolu s triviální zvyšující se filtrací na logaritmických p- formách produkuje filtrace na kohomologii ${\ displaystyle F ^ {\ bullet} \ Omega _ {Y} ^ {p} (\ log D)}$

${\ displaystyle W_ {m} H ^ {k} (X; \ mathbf {C}) = {\ text {Im}} (\ mathbb {H} ^ {k} (Y, W_ {mk} \ Omega _ { Y} ^ {\ bullet} (\ log D)) \ rightarrow H ^ {k} (X; \ mathbf {C}))}$

${\ displaystyle F ^ {p} H ^ {k} (X; \ mathbf {C}) = {\ text {Im}} (\ mathbb {H} ^ {k} (Y, F ^ {p} \ Omega _ {Y} ^ {\ bullet} (\ log D)) \ rightarrow H ^ {k} (X; \ mathbf {C}))}$.

Jeden ukazuje, že mohou být ve skutečnosti definován přes Q . Poté filtrace na cohomologii vedou ke smíšené Hodgeově struktuře . ${\ displaystyle W_ {m} H ^ {k} (X; \ mathbf {C})}$${\ displaystyle W _ {\ bullet}, F ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle H ^ {k} (X; \ mathbf {Z})}$

Klasicky, například v teorii eliptických funkcí , byly logaritmické diferenciální formy rozpoznávány jako doplňkové k diferenciálům prvního druhu . Někdy se jim říkalo diferenciály druhého druhu (a s neblahou nekonzistencí také někdy třetího druhu ). Klasická teorie byla nyní zahrnuta jako aspekt Hodgeovy teorie. Například pro Riemannovu plochu S tvoří diferenciály prvního druhu termín H ^1,0 v H ¹ ( S ), když je podle Dolbeaultova izomorfismu interpretován jako svazková kohomologická skupina H ⁰ ( S , Ω) ; to je vzhledem k jejich definici tautologické. H ^1,0 přímý sčítanec v H ¹ ( S ), jakož i se vykládat tak, H ¹ ( S , O), kde O je svazek holomorfních funkcí na S , mohou být identifikovány konkrétněji s vektorového prostoru logaritmických diferenciálů .

Svazek logaritmických forem

V algebraické geometrii je svazek z logaritmických rozdíl p -formy na plynulé projektivní odrůdy X podél hladkého dělitel je definována a zapadá do přesném sledu místně volných kladek: ${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D)}$ ${\ displaystyle D = \ součet D_ {j}}$

${\ displaystyle 0 \ to \ Omega _ {X} ^ {p} \ to \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D) {\ overset {\ beta} {\ to}} \ oplus _ {j } {i_ {j}} _ {*} \ Omega _ {D_ {j}} ^ {p-1} \ na 0, \, p \ geq 1}$

kde jsou inkluze neredukovatelných dělitelů (a přítlačné síly podél nich jsou prodloužením o nulu) a β se nazývá mapa reziduí, když p je 1. ${\ displaystyle i_ {j}: D_ {j} \ až X}$

Například pokud x je uzavřený bod na a ne na , pak ${\ displaystyle D_ {j}, 1 \ leq j \ leq k}$${\ displaystyle D_ {j}, j> k}$

${\ displaystyle {du_ {1} \ over u_ {1}}, \ dots, {du_ {k} \ over u_ {k}}, \, du_ {k + 1}, \ dots, du_ {n}}$

tvoří základnu na x , kde jsou lokální souřadnice kolem x takové, které jsou lokálními parametry pro . ${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1} (\ log D)}$${\ displaystyle u_ {j}}$${\ displaystyle u_ {j}, 1 \ leq j \ leq k}$${\ displaystyle D_ {j}, 1 \ leq j \ leq k}$

Viz také

• Adjunkční vzorec
• Homologie Borel – Moore
• Diferenciál prvního druhu
• Věta o zbytcích
• Poincarého zbytek

Reference

• Aise Johan de Jong, cohomologie Algebraic de Rham .
• Pierre Deligne , Rovnice Différentielles à Body Singuliers Réguliers. Poznámky k přednášce v matematice. 163.