Věta o inverzní funkci - Inverse function theorem

V matematice , konkrétně diferenciálním počtu , věta o inverzní funkci poskytuje dostatečnou podmínku pro to, aby byla funkce invertibilní v sousedství bodu v její oblasti : totiž, že její derivace je v bodě spojitá a nenulová . Věta také dává vzorec pro derivátu z inverzní funkce . V multivariable , tato věta je možné zobecnit na jakýkoli průběžně diferencovatelné , vektor hodnotou funkci , jejíž Jacobian determinantou je nenulová v bodě ve svém oboru, přičemž vzorec pro Jacobian matice inverzní. Existují také verze věty o inverzních funkcích pro komplexní holomorfní funkce , pro diferencovatelné mapy mezi varietami , pro diferencovatelné funkce mezi Banachovými prostory a tak dále.

Tvrzení

U funkcí jedné proměnné věta uvádí, že pokud jde o spojitě diferencovatelnou funkci s nenulovou derivací v bodě a ; pak je invertibilní v sousedství a , inverze je spojitě diferencovatelná a derivace inverzní funkce at je převrácená hodnota derivace v : ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle b = f (a)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle {\ bigl (} f^{-1} {\ bigr)} '(b) = {\ frac {1} {f' (a)}} = {\ frac {1} {f '(f ^{-1} (b))}}.}$

Alternativní verze, která předpokládá, že je spojitá a injektivní v blízkosti a a diferencovatelná na a s nenulovou derivací, bude mít také za následek, že bude invertovatelná v blízkosti a , s inverzí, která je podobně spojitá a injektivní a kde by platil výše uvedený vzorec také. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Jako důsledek jasně vidíme, že pokud je -th diferencovatelná, s nenulovou derivací v bodě a , pak je invertibilní v sousedství a , inverzní je také -th diferencovatelná. Zde je kladné celé číslo nebo . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ infty}$

U funkcí více než jedné proměnné věta uvádí, že pokud F je spojitě diferencovatelná funkce z otevřené množiny do a celková derivace je invertibilní v bodě p (tj. Jakobiánský determinant F při p je nenulový ), pak F invertovatelná u p : inverzní funkce pro F je definována na nějakém okolí města . Psaní , to znamená, že systém n rovnic má jedinečné řešení pro z hlediska , za předpokladu, že omezíme x a y na dostatečně malé, čtvrtích p a q , resp. V nekonečné trojrozměrném případě, teorém vyžaduje navíc hypotézu, že Fréchet derivát z F na p má ohraničený inverzní. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ Displaystyle q = F (p)}$${\ displaystyle F = (F_ {1}, \ ldots, F_ {n})}$${\ displaystyle y_ {i} = F_ {i} (x_ {1}, \ tečky, x_ {n})}$${\ Displaystyle x_ {1}, \ tečky, x_ {n}}$${\ Displaystyle y_ {1}, \ tečky, y_ {n}}$

Nakonec věta říká, že inverzní funkce je spojitě diferencovatelná a její jakobijská derivace at je maticová inverze jakobiánské F na p : ${\ displaystyle F^{-1}}$${\ Displaystyle q = F (p)}$

${\ Displaystyle J_ {F^{-1}} (q) = [J_ {F} (p)]^{-1}.}$

Těžkou částí věty je existence a odlišitelnost . Za předpokladu, že inverzní derivační vzorec vyplývá z řetězcového pravidla aplikovaného na : ${\ displaystyle F^{-1}}$${\ Displaystyle F^{-1} \ circ F = {\ text {id}}}$

${\ Displaystyle I = J_ {F^{-1} \ circ F} (p) \ = \ J_ {F^{-1}} (F (p)) \ cdot J_ {F} (p) \ = \ J_ {F^{-1}} (q) \ cdot J_ {F} (p).}$

Příklad

Zvažte funkci s vektorovou hodnotou definovanou: ${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} ^{2} \ to \ mathbb {R} ^{2} \!}$

${\ Displaystyle F (x, y) = {\ begin {bmatrix} {e^{x} \ cos y} \\ {e^{x} \ sin y} \\\ end {bmatrix}}.}$

Jakobijská matice je:

${\ Displaystyle J_ {F} (x, y) = {\ begin {bmatrix} {e^{x} \ cos y} & {-e^{x} \ sin y} \\ {e^{x} \ hřích y} & {e^{x} \ cos y} \\\ end {bmatrix}}}$

s Jacobian determinant:

${\ Displaystyle \ det J_ {F} (x, y) = e^{2x} \ cos^{2} y+e^{2x} \ sin^{2} y = e^{2x}. \, \ !}$

Determinant je nenulový všude. Věta tedy zaručuje, že pro každý bod p v existuje sousedství kolem p, přes které je F invertibilní. To neznamená, že F je invertible po celém svém oboru: v tomto případě F není ani injective protože je periodická: . ${\ displaystyle e^{2x} \!}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{2} \!}$${\ Displaystyle F (x, y) = F (x, y+2 \ pi) \!}$

Protiklad

Funkce je ohraničena uvnitř kvadratické obálky poblíž čáry , takže . Přesto má lokální body max/min, které se hromadí na , takže není v žádném okolním intervalu individuální.${\ Displaystyle f (x) = x+2x^^{2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}$${\ displaystyle y = x}$${\ displaystyle f '(0) = 1}$${\ displaystyle x = 0}$

Pokud někdo upustí od předpokladu, že derivace je spojitá, funkce již nemusí být invertibilní. Například a má diskontinuální derivátu a , která zmizí libovolně v blízkosti . Tyto kritické body jsou místními body max/min , takže nejsou individuální (a nejsou invertovatelné) v jakémkoli intervalu, který obsahuje . Intuitivně se svah nešíří do blízkých bodů, kde se svahy řídí slabou, ale rychlou oscilací. ${\ Displaystyle f (x) = x+2x^^{2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}$${\ displaystyle f (0) = 0}$${\ Displaystyle f '\! (x) = 1-2 \ cos ({\ tfrac {1} {x}})+4x \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}$${\ displaystyle f '\! (0) = 1}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f '\! (0) = 1}$

Metody dokazování

Jako důležitý výsledek byla věta o inverzní funkci poskytnuta řada důkazů. Důkaz, který nejčastěji vidíme v učebnicích, se opírá o princip mapování kontrakce , známý také jako Banachova věta o pevných bodech (kterou lze také použít jako klíčový krok v důkazu existence a jedinečnosti řešení běžných diferenciálních rovnic ).

Vzhledem k tomu, že věta o pevném bodě platí v nastavení nekonečně dimenzionálních (Banachův prostor), tento důkaz okamžitě zobecňuje na nekonečně dimenzionální verzi věty o inverzních funkcích (viz Generalizace níže).

Alternativní důkaz v konečných rozměrech závisí na větě o extrémních hodnotách pro funkce na kompaktní sadě .

Ještě další důkaz používá Newtonovu metodu , která má tu výhodu, že poskytuje efektivní verzi věty: hranice derivace funkce znamenají odhad velikosti sousedství, na kterém je funkce invertibilní.

Důkaz věty o inverzních funkcích

Tyto inverzní funkce věta se uvádí, že v případě, je C ¹ vektor s hodnotou funkce na otevřené množině , pak v případě, a to pouze v případě, že je C ¹ vektor s hodnotou funkce definované u s u a u . Toto bylo poprvé zavedeno Picardem a Goursatem pomocí iteračního schématu: základní myšlenkou je dokázat teorém o pevném bodě pomocí věty o mapování kontrakce . Když vezmeme deriváty, z toho vyplývá . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle \ det f^{\ prime} (a) \ neq 0}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle b = f (a)}$${\ Displaystyle g (f (x)) = x}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle f (g (y)) = y}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle g^{\ prime} (y) = f^{\ prime} (g (y))^{-1}}$

Řetězové pravidlo znamená, že matice a každá z nich jsou inverzní. Souvislost a znamená, že jde o homeomorfismy , z nichž každý je místně inverzní. K prokázání existence lze po afinní transformaci předpokládat, že a tak . ${\ displaystyle f^{\ prime} (a)}$${\ displaystyle g^{\ prime} (b)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f (0) = 0}$${\ Displaystyle f^{\ prime} (0) = I}$${\ displaystyle a = b = 0}$

Základní větou počtu if je funkce C ¹ , takže . Nastavení , z toho plyne ${\ displaystyle u}$${\ textstyle u (1) -u (0) = \ int _ {0}^{1} u^{\ prime} (t) \, dt}$${\ textstyle \ | u (1) -u (0) \ | \ leq \ sup _ {0 \ leq t \ leq 1} \ | u^{\ prime} (t) \ |}$${\ Displaystyle u (t) = f (x+t (x^{\ prime} -x))-xt (x^{\ prime} -x)}$

${\ Displaystyle \ | f (x) -f (x^{\ prime})-x+x^{\ prime} \ | \ leq \ | xx^{\ prime} \ | \, \ sup _ {0 \ leq t \ leq 1} \ | f^{\ prime} (x+t (x^{\ prime} -x))-I \ |.}$

Nyní vyberte tak, že pro . Předpokládejme to a definujte indukčně pomocí a . Předpoklady ukazují, že pokud ano ${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ textstyle \ | f '(x) -I \ | <{1 \ over 2}}$${\ Displaystyle \ | x \ | <\ delta}$${\ Displaystyle \ | y \ | <\ delta /2}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {0} = 0}$${\ displaystyle x_ {n+1} = x_ {n}+yf (x_ {n})}$${\ Displaystyle \ | x \ |, \, \, \ | x^{\ prime} \ | <\ delta}$

${\ Displaystyle \ | f (x) -f (x^{\ prime})-x+x^{\ prime} \ | \ leq \ | xx^{\ prime} \ |/2}$.

Zejména vyplývá . V indukčním schématu a . Tak je cauchyovská sekvence tendenci . Podle stavby . ${\ Displaystyle f (x) = f (x^{\ prime})}$${\ displaystyle x = x^{\ prime}}$${\ Displaystyle \ | x_ {n} \ | <\ delta}$${\ Displaystyle \ | x_ {n+1} -x_ {n} \ | <\ delta /2^{n}}$${\ displaystyle (x_ {n})}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle f (x) = y}$

Chcete -li zkontrolovat, že je C ¹ , napište tak . O nerovnosti výše, takže . Na druhou stranu, pokud ano , pak . S využitím geometrické řady pro to vyplývá . Ale pak ${\ displaystyle g = f^{-1}}$${\ Displaystyle g (y+k) = x+h}$${\ Displaystyle f (x+h) = f (x)+k}$${\ Displaystyle \ | hk \ | <\ | h \ |/2}$${\ Displaystyle \ | h \ |/2 <\ | k \ | <2 \ | h \ |}$${\ Displaystyle A = f^{\ prime} (x)}$${\ displaystyle \ | AI \ | <1/2}$${\ displaystyle B = IA}$${\ Displaystyle \ | A^{-1} \ | <2}$

${\ Displaystyle {\ | g (y+k) -g (y) -f^{\ prime} (g (y))^{-1} k \ | \ over \ | k \ |} = {\ | hf^{\ prime} (x)^{-1} [f (x+h) -f (x)] \ | \ over \ | k \ |} \ leq 4 {\ | f (x+h) -f (x) -f^{\ prime} (x) h \ | \ přes \ | h \ |}}$

má tendenci k 0 jako a má tendenci k 0, což dokazuje, že je C ¹ s . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle g^{\ prime} (y) = f^{\ prime} (g (y))^{-1}}$

Výše uvedený důkaz je předložen pro prostor konečných rozměrů, ale platí stejně dobře pro Banachovy prostory . Pokud je invertibilní funkce C ^k s , pak je její inverzní také. Následuje indukce využívající fakt, že mapa na operátorech je C ^k pro libovolný (v případě konečných rozměrů je to elementární fakt, protože inverzní matice je dána jako pomocná matice dělená jejím determinantem ). Metodu důkazu zde najdeme v knihách Henriho Cartana , Jeana Dieudonného , Serge Langa , Rogera Godementa a Larse Hörmandera . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k> 1}$${\ displaystyle F (A) = A^{-1}}$${\ displaystyle k}$

Zobecnění

Rozdělovače

Věta o inverzních funkcích může být přeformulována z hlediska diferencovatelných map mezi diferencovatelnými varietami . V této souvislosti teorém říká, že pro diferencovatelné mapy (třídy ), je-li rozdíl od , ${\ Displaystyle F: M \ až N}$${\ displaystyle C^{1}}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle dF_ {p}: T_ {p} M \ až T_ {F (p)} N}$

je lineární izomorfismus v bodě, ve potom existuje otevřený sousedství o tak, že ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle F | _ {U}: U \ to F (U)}$

je diffeomorfismus . Všimněte si toho, že to znamená, že připojené komponenty M a N obsahující p a F ( p ) mají stejný rozměr, jak je již přímo implikováno z předpokladu, že dF _p je izomorfismus. Pokud je derivát F izomorfismem ve všech bodech p v M, pak mapa F je místní diffeomorfismus .

Banachovy prostory

Inverzní funkce teorém může také být celkový k diferencovatelné mapy mezi Banachovy prostory X a Y . Nechť U být otevřená sousedství původu v X a spojitě diferencovatelné funkce, a předpokládají, že Fréchet derivát z F na 0 ° C je ohraničený lineární izomorfismus X na Y . Pak existuje otevřená sousedství V ve městě Y a průběžně diferencovatelné mapy tak, že pro všechna y ve V . Navíc je jediným dostatečně malým řešením x rovnice . ${\ displaystyle F: U \ to Y \!}$${\ displaystyle dF_ {0}: X \ to Y \!}$${\ displaystyle F (0) \!}$${\ Displaystyle G: V \ až X \!}$${\ Displaystyle F (G (y)) = y}$${\ Displaystyle G (y) \!}$${\ Displaystyle F (x) = y \!}$

Banachova potrubí

Tyto dva směry generalizace lze kombinovat ve větě o inverzních funkcích pro Banachova potrubí .

Věta o konstantní hodnotě

Na větu o inverzní funkci (a teorému o implicitní funkci ) lze pohlížet jako na speciální případ věty o konstantní hodnosti, která uvádí, že hladkou mapu s konstantní řadou blízko bodu lze umístit do konkrétní normální podoby poblíž tohoto bodu. Konkrétně, pokud má konstantní pozici blízko bodu , pak existují otevřená sousedství U z p a V z a existují diffeomorphismy a takové, které a které se derivát rovná . To znamená, že F „vypadá jako“ jeho derivát poblíž p . Množina bodů , jejichž pozice je v sousedství konstantní, je otevřená hustá podmnožina M ; to je důsledek semikontinuity hodnostní funkce. Věta o konstantní hodnosti se tedy vztahuje na obecný bod domény. ${\ Displaystyle F: M \ až N}$${\ displaystyle p \ v M \!}$${\ displaystyle F (p) \!}$${\ Displaystyle u: T_ {p} M \ až U \!}$${\ Displaystyle v: T_ {F (p)} N \ až V \!}$${\ Displaystyle F (U) \ subseteq V \!}$${\ Displaystyle dF_ {p}: T_ {p} M \ až T_ {F (p)} N \!}$${\ Displaystyle v^{-1} \ Circle F \ Circu U \!}$${\ displaystyle p \ v M}$${\ displaystyle p}$

Když je derivace F injektivní (resp. Surjektivní) v bodě p , je také injektivní (resp. Surjektivní) v sousedství p , a proto je hodnost F na tomto sousedství konstantní a platí věta o konstantní hodnosti .

Holomorfní funkce

Je-li funkce holomorphic F je definována z otevřené množině U o do a Jacobian matrice z komplexních derivátů invertovatelná v bodě P , pak F je prostá funkce u p . To bezprostředně vyplývá ze skutečné více proměnné verze věty. Lze také ukázat, že inverzní funkce je opět holomorfní. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^{n} \!}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^{n} \!}$

Polynomiální funkce

Pokud by to byla pravda, jakobijská domněnka by byla variantou věty o inverzních funkcích pro polynomy. Uvádí, že pokud má vektorová hodnota polynomické funkce jakobiánský determinant, který je invertovatelným polynomem (tj. Nenulovou konstantou), pak má inverzní funkci, která je také polynomickou funkcí. Není známo, zda je to pravda nebo nepravda, a to ani v případě dvou proměnných. Toto je hlavní otevřený problém v teorii polynomů.

Výběry

Když s , je čas průběžně diferencovatelný a jakobián v určitém bodě má hodnost , inverze k nemusí být jedinečná. Nicméně existuje místní funkce výběru tak, že pro všechny v okolí města , , je doba nepřetržitě differentiable v této oblasti, a ( je pseudoinverze matice z ). ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{m}}$${\ Displaystyle m \ leq n}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A = \ nabla f ({\ overline {x}})}$${\ displaystyle {\ overline {x}}}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle s}$${\ Displaystyle f (s (y)) = y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ overline {y}} = f ({\ overline {x}})}$${\ displaystyle s ({\ overline {y}}) = {\ overline {x}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ nabla s ({\ overline {y}}) = A^{T} (AA^{T})^{-1}}$${\ displaystyle \ nabla s ({\ overline {y}})}$${\ displaystyle A}$

Viz také

• Banachova věta o pevných bodech
• Věta o implicitní funkci
• Nash -Moserova věta

Poznámky

Reference

• Allendoerfer, Carl B. (1974). „Věty o diferencovatelných funkcích“. Kalkul několika proměnných a diferencovatelných rozdělovačů . New York: Macmillan. s. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Baxandall, Peter ; Liebeck, Hans (1986). „Věta o inverzní funkci“. Vektorový kalkul . New York: Oxford University Press. s. 214–225. ISBN 0-19-859652-9.
• Nijenhuis, Albert (1974). „Silné deriváty a inverzní mapování“. Amer. Matematika. Měsíčně . 81 (9): 969–980. doi : 10,2307/2319298 . hdl : 10338.dmlcz/102482 .
• Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1985). „Transformace a Jacobians“. Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. s. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic . Texty v aplikované matematice 13 (druhé vydání.). New York: Springer-Verlag. s. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter (1976). Zásady matematické analýzy . International Series in Pure and Applied Mathematics (Third ed.). New York: McGraw-Hill Book. s.  221 –223.