Šestihranné obklady - Hexagonal tiling

Šestihranné obklady

Typ	Pravidelné obklady
Konfigurace vrcholů	6.6.6 (nebo 6 ³ )
Konfigurace obličeje	V3.3.3.3.3.3 (nebo V3 ⁶ )
Symboly Schläfli	{6,3} t {3,6}
Symboly Wythoff	3 \| 6 2 2 6 \| 3 3 3 3 \|
Coxeterovy diagramy
Symetrie	p6m , [6,3], (*632)
Rotační symetrie	p6 , [6,3] ⁺ , (632)
Dvojí	Trojúhelníkový obklad
Vlastnosti	Vertex-transitivní , hrana-transitivní , face-tranzitivní

V geometrii je šestiúhelníkový obklady nebo hexagonální teselace je pravidelný obklad z euklidovské rovině , ve které přesně tři šestiúhelníky setkat se v každém vrcholu. Má Schläfliho symbol {6,3} nebo t {3,6} (jako komolý trojúhelníkový obklad).

Anglický matematik John Conway to nazval hextille .

Vnitřní úhel šestiúhelníku je 120 stupňů, takže tři šestiúhelníky v bodě tvoří celých 360 stupňů. Je to jedno ze tří pravidelných obkladů letadla . Další dva jsou trojúhelníkový obklad a čtvercový obklad .

Aplikace

Šestihranný obklad je nejhustší způsob, jak uspořádat kruhy ve dvou rozměrech. Voštinové domněnka uvádí, že šestiúhelníkové obklad je nejlepší způsob, jak rozdělit povrch do oblastí stejné plochy s nejméně celkového perimetru. Optimální trojrozměrná struktura pro výrobu voštiny (nebo spíše mýdlových bublin) byla zkoumána lordem Kelvinem , který věřil, že Kelvinova struktura (neboli krychlová mřížka zaměřená na tělo ) je optimální. Méně pravidelná struktura Weaire – Phelan je však o něco lepší.

Tato struktura existuje přirozeně ve formě grafitu , kde každý list grafenu připomíná kuřecí drát, se silnými kovalentními uhlíkovými vazbami. Byly syntetizovány trubkovité grafenové listy; tyto jsou známé jako uhlíkové nanotrubice . Díky své vysoké pevnosti v tahu a elektrickým vlastnostem mají mnoho potenciálních aplikací . Silicene je na tom podobně.

Kuřecí drát se skládá ze šestiúhelníkové mřížky (často ne pravidelné) z drátů.

Nejhustší kruhové balení je uspořádáno jako šestiúhelníky v tomto obkladu
Kuřecí drátěné pletivo
Grafen
Na uhlíkovou nanotrubičku lze pohlížet jako na šestiúhelník obkládající se na válcovém povrchu
Šestihranná perská dlaždice c.1955

Šestihranný obklad se objevuje v mnoha krystalech. Ve třech rozměrech jsou krychlové a hexagonální těsné ucpávky zaměřené na obličej běžnými krystalovými strukturami. Jsou to nejhustší koule ve třech rozměrech. Strukturálně obsahují rovnoběžné vrstvy hexagonálních obkladů, podobné struktuře grafitu. Liší se ve způsobu, jakým jsou vrstvy od sebe odstupňovány, přičemž pravidelnější z nich je krychle zaměřená na obličej. Čistá měď mimo jiné tvoří kubickou mřížku zaměřenou na obličej.

Jednotná barviva

Existují tři odlišná jednotná zbarvení šestihranných obkladů, vše generované z reflexní symetrie Wythoffových konstrukcí . ( H , k ) představují periodické opakování jedné barevné dlaždice, počítající hexagonální vzdálenosti jako h první a k sekundu. Stejné počítání se používá v Goldbergově mnohostěnu se zápisem { p +, 3} _{h , k} a lze jej použít na hyperbolické obklady pro p > 6.

k-uniforma	1 uniforma			2 uniformní		3 uniformy
Symetrie	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		p6, (632)
Obrázek
Barvy	1	2	3	2	4	2	7
(h, k)	(1,0)	(1,1)		(2,0)		(2,1)
Schläfli	{6,3}	t {3,6}	t {3 ^[3] }
Wythoff	3 \| 6 2	2 6 \| 3	3 3 3 \|
Coxeter
Conway	H	tΔ		cH = t6daH		wH = t6dsH

Tříbarevné obklady jsou mozaiky generované permutohedrony řádu 3 .

Zkosené šestihranné obklady

Zkosené hexagonální obklady nahrazení hrany s novými šestiúhelníků a transformuje do jiného hexagonální obkladů. V mezích původní tváře zmizí a nové šestiúhelníky zdegenerují na kosočtverce a stane se z nich kosočtverečný obklad .

Na zkosené šestihranné obklady zvrhne rhombille obklady na hranici

Šestiúhelníky (H)	Zkosené šestiúhelníky (cH)			Rhombi (daH)

Související obklady

Šestiúhelníky lze členit na sady 6 trojúhelníků. Tento proces vede ke dvěma 2 rovnoměrným obkladům a trojúhelníkovým obkladům :

Pravidelné obklady	Pitva	2 uniformní obklady		Pravidelné obklady
Originál		1/3 pitváno	2/3 pitváno	plně rozřezaný
Pravidelné obklady	Vsazeno	2 uniformní duály		Pravidelné obklady
Originál		1/3 vložka	2/3 vložka	plně vsazeno

Šestihranný obklad lze považovat za protáhlý kosočtvercový obklad , kde je každý vrchol kosočtvercového obkladu natažen do nové hrany. To je podobné vztahu kosočtvercového dvanáctistěnu a kosočtverečných šestihranných mozaikových mozaik ve 3 rozměrech.

Kosočtvercové obklady	Šestihranné obklady	Oplocení používá tento vztah

Je také možné rozdělit prototily určitých šestihranných obkladů o dva, tři, čtyři nebo devět stejných pětiúhelníků:

Pětiúhelníkové obklady typu 1 s překryvy pravidelných šestiúhelníků (každý obsahuje 2 pětiúhelníky).	pětiúhelníkový obklad typu 3 s překryvy pravidelných šestiúhelníků (každý obsahuje 3 pětiúhelníky).	Pětiúhelníkový obklad typu 4 s překryvem polopravidelných šestiúhelníků (každý obsahuje 4 pětiúhelníky).	Pětiúhelníkové obklady typu 3 s překryvy dvou velikostí pravidelných šestiúhelníků (obsahující 3 respektive 9 pětiúhelníků).

Mutace symetrie

Toto obklady je topologicky příbuzné jako součást posloupnosti pravidelných obkladů s šestihrannými plochami, počínaje šestihranným obkladem, se Schläfliho symbolem {6, n} a Coxeterovým diagramem , postupující do nekonečna.

* n 62 symetrická mutace pravidelných obkladů: {6, n } proti t E
Sférické	Euklidovský	Hyperbolické obklady
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6, ∞}

Tento obklad je topologicky příbuzný pravidelným mnohostěnům s vrcholem obrázku n ³ , jako součást posloupnosti, která pokračuje do hyperbolické roviny .

* n 32 symetrická mutace pravidelných obkladů: { n , 3} proti t E
Sférické				Euklidovský	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolické

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

Podobně to souvisí s jednotnou zkrácenou mnohostěnou s vrcholem obrázku č. 6.6.

* n 32 symetrická mutace zkrácených obkladů : n. 6.6 proti t E
Sym. * n 42 [n, 3]	Sférické				Euklides.	Kompaktní		Parac.	Nekompaktní hyperbolické
Sym. * n 42 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3] ...	*∞32 [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Zkrácené figury
Konfigurace	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	6..6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis figurky
Konfigurace	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Toto obklady je také součástí sekvence zkrácených kosočtvercových mnohostěnů a obkladů se symetrií [n, 3] Coxeterovy skupiny . Kostka může být viděna jako kosočtverečný šestihran, kde jsou kosočtverce čtverce. Zkrácené tvary mají na zkrácených vrcholech pravidelné n -úhelníky a nepravidelné šestihranné plochy.

Symetrické mutace duálních kvaziregulárních obkladů: V (3.n) ²
*n32	Sférické			Euklidovský	Hyperbolický
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832 ...	*∞32
Obklady
Konf.	V (3.3) ²	V (3,4) ²	V (3,5) ²	V (3,6) ²	V (3,7) ²	V (3,8) ²	V (3.∞) ²

Wythoffovy konstrukce z hexagonálních a trojúhelníkových obkladů

Stejně jako uniformní mnohostěn existuje osm rovnoměrných obkladů, které mohou vycházet z pravidelného šestihranného obkládání (nebo dvojitého trojúhelníkového obkladu ).

Kreslení dlaždic barevných jako červené na původních plochách, žlutých na původních vrcholech a modrých podél původních okrajů, obsahuje 8 forem, 7, které jsou topologicky odlišné. ( Zkrácený trojúhelníkový obklad je topologicky shodný se šestihranným obkladem.)

Rovnoměrné šestihranné/trojúhelníkové obklady
Základní domény	Symetrie : [6,3], (*632)							[6,3] ⁺ , (632)
	{6,3}	t {6,3}	r {6,3}	t {3,6}	{3,6}	rr {6,3}	tr {6,3}	sr {6,3}


Konfigurace	6 ³	3.12.12	(6.3) ²	6.6.6	3 ⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Monohedrální konvexní šestihranné obklady

Existují 3 typy monohedrálních konvexních šestihranných obkladů. Všichni jsou izohedrální . Každý má parametrické variace v rámci pevné symetrie. Typ 2 obsahuje klouzavé odrazy a je 2-isohedrální, přičemž chirální páry jsou odlišné.

3 typy monohedrálních konvexních šestihranných obkladů
1	2		3
p2, 2222	pgg, 22 ×	p2, 2222	p3, 333

b = e B+C+D = 360 °	b = e, d = f B+C+E = 360 °		a = f, b = c, d = e B = D = F = 120 °
2-kachlová mříž	4-kachlová mříž		3-kachlová mříž

Topologicky ekvivalentní obklady

Šestiúhelníkové obklady lze provádět se stejnou topologií {6,3} jako u pravidelných obkladů (3 šestiúhelníky kolem každého vrcholu). S izohedrálními tvářemi existuje 13 variací. Daná symetrie předpokládá, že všechny tváře mají stejnou barvu. Barvy zde představují polohy mřížky. Jednobarevné (1 dlaždice) mříže jsou rovnoběžníkové šestiúhelníky.

13 izoedrálně obložených šestiúhelníků
str (× ×)	p3 (333)	pmg (22*)

pgg (22 ×)	p31m (3*3)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p6m (*632)

Ostatní izohedrálně obkládané topologické hexagonální obklady jsou považovány za čtyřúhelníky a pětiúhelníky, které nejsou od hrany k hraně, ale interpretovány jako kolineární sousední hrany:

Isohedrálně obkládané čtyřúhelníky
pmg (22*)		pgg (22 ×)			cmm (2*22)	p2 (2222)
Rovnoběžník	Lichoběžník	Rovnoběžník	Obdélník	Rovnoběžník	Obdélník	Obdélník

Isohedrally-kachlová pětiúhelníky
p2 (2222)	pgg (22 ×)	p3 (333)

Tyto 2 uniformní a 3 uniformní mozaiky mají stupeň rotace volnosti, který zkresluje 2/3 šestiúhelníků, včetně kolineárního pouzdra, které lze také považovat za obkládání šestiúhelníků a větších trojúhelníků od okraje k okraji.

Může být také zkreslen do chirálního čtyřbarevného třísměrného tkaného vzoru, který zkresluje některé šestiúhelníky do rovnoběžníků . Tkaný vzor se 2 barevnými plochami má rotační symetrii 632 (p6) . Krokev vzor má PMG (22 *) symetrie, která je snížena na hodnotu p1 (°) se 3 nebo 4 barevných dlaždic.

Pravidelný	Gymed	Pravidelný	Tkaný	Chevron
p6m, (*632)	p6, (632)	p6m (*632)	p6 (632)	p1 (°)

p3m1, (*333)	p3, (333)	p6m (*632)	p2 (2222)	p1 (°)

Kruhové balení

Šestihranný obklad lze použít jako kruhový obal , přičemž do středu každého bodu umístí kruhy se stejným průměrem. Každý kruh je v kontaktu s dalšími 3 kruhy v balení ( číslo na líbání ). Mezera uvnitř každého šestiúhelníku umožňuje jeden kruh, který vytváří nejhustší obal z trojúhelníkového obkladu , přičemž každý kruh se dotýká maximálně 6 kruhů.

Související pravidelné komplexní apeirogony

K dispozici jsou 2 pravidelné komplexní apeirogony , sdílející vrcholy šestihranného obkladu. Pravidelné komplexní apeirogony mají vrcholy a hrany, kde hrany mohou obsahovat 2 nebo více vrcholů. Pravidelné apeirogony p { q } r jsou omezeny: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Hrany mají p vrcholů a vrcholové figury jsou r -gonální.

První je vyroben ze 2 hran, tři kolem každého vrcholu, druhý má šestihranné okraje, tři kolem každého vrcholu. Třetí komplexní apeirogon, který sdílí stejné vrcholy, je kvaziregulární, který střídá 2 a 6 hran.

2 {12} 3 nebo	6 {4} 3 nebo

Viz také

Reference

Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3. vydání, 1973), edice Dover, ISBN 0-486-61480-8 s. 296, tabulka II: Pravidelné voštiny
Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Obklady a vzory . New York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Kapitola 2.1: Pravidelné a jednotné obklady , s. 58–65)
Williams, Robert (1979). Geometrický základ přírodní struktury: Zdrojová kniha designu . Dover Publications, Inc. s. 35. ISBN 0-486-23729-X.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

externí odkazy

DNA | urlname = HexagonalGrid | title = Šestihranná mřížka}}
- Weisstein, Eric W. „Pravidelné mozaikování“ . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. „Jednotné mozaikování“ . MathWorld .
Klitzing, Richarde. „2D euklidovské obklady o3o6x - hexat - O3“ .

proti t E Základní konvexní pravidelné a jednotné plásty v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ / / / ${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E ²	Rovnoměrné obklady	{3 ^[3] }	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	Šestihranný
E ³	Uniformní konvexní plástev	{3 ^[4] }	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E ⁴	Uniformní 4 voština	{3 ^[5] }	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24článková voština
E ⁵	Uniformní 5 voštiny	{3 ^[6] }	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	Uniformní 6 voštiny	{3 ^[7] }	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	Uniformní 7 voštiny	{3 ^[8] }	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	Uniformní 8 voština	{3 ^[9] }	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	Uniformní 9 voština	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	Uniformní 10 voštinový	{3 ^[11] }	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n -1}	Uniform ( n -1) - plástev	{3 ^[n] }	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁

Languages

In other projects