Funzione Hann - Hann function

Funzione di Hann (a sinistra) e la sua risposta in frequenza (a destra)

La funzione di lunghezza Hann utilizzata per eseguire il livellamento di Hann , prende il nome dal meteorologo austriaco Julius von Hann . È una funzione finestra data da :${\displaystyle L,}$

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {2}) \pi x}{L}}\right)\right)=\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right| \leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}.}$  

Per l'elaborazione del segnale digitale , la funzione può essere campionata (con spaziatura ) simmetricamente come :${\displaystyle L/N}$

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(nN/2)\right)&={\tfrac {1} {2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac { \pi n}{N}}\right)\end{allineato}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}$

che è una sequenza di campioni e può essere pari o dispari. (vedi § Hann e Hamming finestre ) E 'noto anche come la finestra sollevato coseno , filtro Hann , finestra von Hann , etc. ${\displaystyle N+1}$${\displaystyle N}$

trasformata di Fourier

In alto: 16 campioni di finestra DFT-even Hann. In basso: la sua trasformata di Fourier discreta (DTFT) e i 3 valori diversi da zero della sua trasformata discreta di Fourier (DFT).

La trasformata di Fourier di è data da: ${\displaystyle w_{0}(x)}$

${\displaystyle W_{0}(f)={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi f(1-L^{2}f^{2} )}}}$  

Un'espressione equivalente si trova dalla formulazione come combinazione lineare di finestre rettangolari modulate :

${\displaystyle \mathrm {rect} (x/L)\quad {\stackrel {\text{trasformazione di Fourier}}{\longleftrightarrow}}\quad L\cdot \mathrm {sinc} (Lf)={\frac {\ sin(\pi Lf)}{\pi f}}.}$

Usando la formula di Eulero per espandere il termine del coseno, possiamo scrivere :

${\displaystyle w_{0}(x)={\tfrac {1}{2}}\mathrm {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{i2\pi x/ L}\mathrm {rett} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{-i2\pi x/L}\mathrm {rect} (x/L),}$

la cui trasformata di Fourier vale :

${\displaystyle W_{0}(f)={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi f}}+{\tfrac {1}{4}} {\frac {\sin(\pi L(f-1/L))}{\pi (f-1/L)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\ pi L(f+1/L))}{\pi (f+1/L)}}.}$

Trasformate discrete

La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) della sequenza di lunghezza spostata nel tempo è definita da una serie di Fourier, che ha anche un equivalente a 3 termini che è derivato in modo simile alla derivazione della trasformata di Fourier :${\displaystyle N+1}$

${\displaystyle {\begin{allineato}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2 \pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin (\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\ sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\ tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{allineato}}}$

Per valori pari di , la sequenza troncata è una finestra di Hann DFT-even ( nota anche come periodica ). Poiché il campione troncato ha valore zero, è chiaro dalla definizione della serie di Fourier che i DTFT sono equivalenti. Tuttavia, l'approccio seguito sopra si traduce in un'espressione a 3 termini dall'aspetto significativamente diverso, ma equivalente :${\displaystyle N}$${\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac { \sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N( f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e ^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N} }))}}\Giusto].}$

Un DFT di lunghezza N della funzione finestra campiona il DTFT a frequenze per valori interi di Dall'espressione immediatamente sopra, è facile vedere che solo 3 dei coefficienti N DFT sono diversi da zero. E dall'altra espressione, è evidente che tutti sono valori reali. Queste proprietà sono interessanti per le applicazioni in tempo reale che richiedono trasformazioni con finestre e senza finestre (con finestre rettangolari), poiché le trasformazioni con finestre possono essere derivate in modo efficiente dalle trasformazioni senza finestre mediante convoluzione . ${\displaystyle f=k/N,}$${\displaystyle k.}$

Nome

La funzione prende il nome da von Hann, che utilizzò la tecnica di livellamento della media ponderata a tre termini sui dati meteorologici. Tuttavia, a volte si sente parlare anche dell'errata funzione "Hanning", derivata dal documento in cui è stata nominata, dove il termine "hanning a segnale" è stato usato per indicare l'applicazione della finestra di Hann ad esso. La confusione è nata dalla simile funzione di Hamming , che prende il nome da Richard Hamming .

Guarda anche

• Funzione finestra
• apodizzazione
• Distribuzione coseno rialzata
• Filtro a coseno rialzato

Citazioni della pagina

Riferimenti

link esterno

• Funzione Hann a MathWorld