geri ödeme - Repunit

yeniden ödeme
No bilinen terimler	11
Tahmini hayır. terimlerin	Sonsuz
İlk terimler	11 , 11111111111111111111, 11111111111111111111111
Bilinen en büyük terim	(10 8177207 −1)/9
OEIS endeksi

Olarak dinlenme matematik bir repunit a, sayı daha özel bir tip - tek rakam 1 içeren 11, 111, ya da 1111 gibi bir repdigit . Terimi açılımı temsilcisi eated birimin ve tarafından 1966 yılında icat edildi Albert H. Beiler kitabında Sayılar Teorisi içinde Recreations .

Bir repunit asal ayrıca bir repunit olan asal sayı . Taban-2'de yeniden birleşen asal sayılar , Mersenne asal sayılarıdır .

Tanım

Baz- b tekrar birimleri şu şekilde tanımlanır (bu b pozitif veya negatif olabilir)

R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \üzer {b-1 }}\qquad {\mbox{için }}|b|\geq 2,n\geq 1.

Böylece, R _n^{( b )} sayısı , baz- b gösteriminde 1 rakamının n kopyasından oluşur . n = 1 ve n = 2 için b bazında ilk iki tekrar birimi

R_{1}^{(b)}={b-1 \over {b-1}}=1\qquad {\text{and}}\qquad R_{2}^{(b)}= {b^{2}-1 \over {b-1}}=b+1\qquad {\text{for}}\ |b|\geq 2.

Özellikle, genellikle basit tekrarlar olarak adlandırılan ondalık (taban- 10 ) tekrar sayıları şu şekilde tanımlanır:

R_{n}\eşdeğer R_{n}^{(10)}={10^{n}-1 \üzer {10-1}}={10^{n}-1 \9'un üzerinde}\ qquad {\mbox{için }}n\geq 1.

Bu durumda, sayı R _{, n} = R ' _{, n}⁽¹⁰⁾ oluşur , n temel 10 temsilde basamak 1 kopyaları. Taban-10'u tekrar birleştirme sırası şu şekilde başlar:

1 , 11 , 111 , 1111, 11111, 111111, ... (dizi A002275 olarak OEIS ).

Benzer şekilde, yeniden birim taban-2 şu şekilde tanımlanır:

R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n \geq 1.

Böylece, R _n⁽²⁾ sayısı , taban-2 gösteriminde 1 rakamının n kopyasından oluşur . Aslında, taban-2 tekrarları, iyi bilinen Mersenne sayıları M _n = 2 ⁿ − 1'dir, ile başlarlar.

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (dizi A000225 olarak OEIS ).

Özellikler

Bileşik basamak sayısına sahip herhangi bir tabandaki herhangi bir yeniden birim zorunlu olarak bileşiktir. Yalnızca (herhangi bir tabanda) asal sayıda basamağa sahip yeniden birimler asal olabilir. Bu gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Örneğin,
R ₃₅^{( b )} = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 11111111 × 100000010000001000000100000001

35 = 7 × 5 = 5 × 7 olduğundan, bu yeniden birim çarpanlarına ayırma, yeniden birimin ifade edildiği b tabanına bağlı değildir .

Eğer p tek bir asal ise, o zaman R _p⁽^b^)'^yi bölen her q asal ya 1 artı 2 p'nin katı ya da b − 1 çarpanı olmalıdır. Örneğin, R _29'un asal çarpanı 62003 = 1'dir. + 2·29·1069. Bunun nedeni, p asalının, q'nun b ^p − 1'i böldüğü şekilde 1'den büyük en küçük üs olmasıdır , çünkü p asaldır. Bu nedenle, sürece q böler b - 1, s böler Carmichael fonksiyonu arasında q çift ve e eşit, q 1 -.
Repunit herhangi olumlu çoklu R _n^{( b )} en azından içeren , n baz-sıfır olmayan basamak b .
Herhangi bir x sayısı , x − 1 tabanında iki basamaklı bir tekrar birimidir.
Aynı anda birden fazla tabanda en az 3 basamaklı tekrarlar olduğu bilinen tek sayılar 31 (taban-5'te 111, taban-2'de 11111) ve 8191'dir (taban-90'da 111, taban-2'de 11111111111111). Goormaghtigh varsayım sadece bu iki durum vardır diyor.
Kullanılması güvercin delikli ilkesini bunun kolayca için olduğu gösterilmelidir aralarında asal doğal sayılar n ve b , baz- bir repunit vardır b katları olan n . Bu repunits düşünün görmek için R ₁^{( b )} , ..., R _n^{( b )} . Olduğundan , n repunits ancak N -1 sıfır olmayan kalıntılar modulo n orada var olan iki repunits R _i^{( b )} ve R _j^{( b )} 1 ≤ ile ı < j ≤ n öyle ki R ' _ı^{( b )} ve R _j^{( b )} aynı tortu, modulo sahip n . İzler R _j^{( b )} - R _i^{( b )} Tortu, 0 modulo sahiptir , n , yani bölünebilen, n . Yana R _j^{( b )} - R _i^{( b )} oluşur j - ı , ardından olanlar i sıfırlar, R, _j^{( b )} - R _i^{( b )} = R ' _{j - ı}^{( b )} x b ⁱ . Şimdi n , bu denklemin sol tarafını böler, dolayısıyla sağ tarafı da böler, ancak n ve b göreceli olarak asal olduğundan, n , R _{j − i}^{( b )' yi} bölmelidir .
Feit-Thompson varsayım yani R, _q^{( p )} hiçbir zaman bölme R _s^{( q )} , iki farklı asal için p ve q .
Kullanma Öklid Algoritması repunits tanımı için: R ₁^{( b )} = 1; R _n^{( b )} = R _{n −1}^{( b )} × b + 1, herhangi bir ardışık yeniden birim R _{n −1}^{( b )} ve R _n^{( b )} herhangi bir n için herhangi bir b tabanında göreceli olarak asaldır .
Eğer m ve n, bir ortak bölen sahip d , R, _m,^{( b )} ve R _n,^{( b )} ortak böleni olan R, _d^{( b ),} bir baz-de , b herhangi m ve n . Yani, sabit bir bazın tekrar birimleri, güçlü bir bölünebilirlik dizisi oluşturur . Sonuç olarak, m ve n göreli olarak asal ise, R _m^{( b )} ve R _n^{( b )} göreceli olarak asaldır. Öklid Algoritması, m > n için gcd ( m , n ) = gcd ( m - n , n ) temeline dayanır . Benzer şekilde, R _m⁽^b⁾ - R _n⁽^b⁾ × b ^m^-ⁿ = R _m_-_n⁽^b^{) kullanılarak} , gcd ( R _m⁽^b⁾ , R _n⁽^b⁾ ) = gcd olduğu kolayca gösterilebilir. ( R _m_-_n⁽^b⁾ , R _n⁽^b⁾ ) m > n için . Bu nedenle, gcd ( m , n ) = d , o zaman gcd ( R _m⁽^b⁾ , R _n⁽^b⁾ ) = R _d⁽^b⁾ .

Ondalık tekrarların çarpanlara ayrılması

(Prime renkli faktörler kırmızı "Yeni faktörler", yani asal faktör böler aracı R _n ancak bölmek yok R _k herkes için k < n ) (sekans A102380 içinde OEIS )

R ₁ =	1
R ₂ =	11
R, ₃ =	3 · 37
R ₄ =	11 · 101
R, ₅ =	41 · 271
R, ₆ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37
R ₇ =	239 · 4649
R ₈ =	11 · 73 · 101 · 137
R ₉ =	3 ² · 37 · 333667
R ₁₀ =	11 · 41 · 271 · 9091

R ₁₁ =	21649 · 513239
R ₁₂ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
R ₁₃ =	53 · 79 · 265371653
R ₁₄ =	11 · 239 · 4649 · 909091
R ₁₅ =	3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
R ₁₆ =	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R ₁₇ =	2071723 · 5363222357
R ₁₈ =	3 ² · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
R ₁₉ =	11111111111111111111
R ₂₀ =	11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R ₂₁ =	3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R ₂₂ =	11 ² · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239
R ₂₃ =	11111111111111111111111
R ₂₄ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R ₂₅ =	41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R ₂₆ =	11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R ₂₇ =	3 ³ · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R ₂₈ =	11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R ₂₉ =	3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R ₃₀ =	3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

n > 1 için R _n'nin en küçük asal çarpanı

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 11111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, .. . (sekans A067063 olarak OEIS )

Asal sayılar

Reunits'in tanımı, bu tür sayıların asal çarpanlarını arayan eğlence amaçlı matematikçiler tarafından motive edildi .

Bu eğer göstermek kolaydır , n bölünebilen bir , daha sonra R ' _{, n}^{( B )} ile bölünebilen R _bir^{( B )} :

R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d|n}\Phi _{d}(b),

burada bir devirli polinom ve d ve bölenler fazla aralıkları n . İçin p asal, ${\görüntüleme stili \Phi _{d}(x)}$ $d^{\mathrm {th} }$

\Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},

x , b ile ikame edildiğinde, beklenen bir tekrar birimi biçimine sahiptir .

Örneğin, 9 3 ile bölünebilir ve böylece R ₉ ile bölünebilen R, ₃ 1001001. ·, 111111111 = 111 -in aslında tekabül eden devirli polinomları ve vardır ve sırasıyla. Yani, daha R _{, n} , asal, n, zorunlu olarak asal olması gerekir, ancak için yeterli değildir , n , asal. Örneğin, R ₃ = 111 = 3 · 37 asal değildir. Bu durumda hariç R ₃ , p , yalnızca bölebilirsiniz R _n asal için n ise p = 2 kn + 1 bazıları için k . ${\görüntüleme stili \Phi _{3}(x)}$ ${\görüntüleme stili \Phi _{9}(x)}$ $x^{2}+x+1$ $x^{6}+x^{3}+1$

Ondalık yeniden birim asal sayıları

R _n , n = 2, 19, 23, 317, 1031, ... için asaldır ( OEIS'de A004023 dizisi ). R ₄₉₀₈₁ ve R ₈₆₄₅₃ olan muhtemelen asal . 3 Nisan'da 2007 Harvey Dubner (ayrıca bulundu R ₄₉₀₈₁ ) açıkladı R _109.297 olası bir asal olduğunu. 15 Temmuz 2007'de Maksym Voznyy, R _270343'ün muhtemelen asal olduğunu açıkladı . Serge Batalov ve Ryan _Propper , sırasıyla 20 Nisan ve 8 Mayıs 2021'de R _5794777 ve R _8177207'nin olası asal sayılar olduğunu buldu. Keşifleri itibariyle, her biri bilinen en büyük olası asal sayıydı.

Sonsuz sayıda repunit asal olduğu tahmin edilir ve bunlar hemen hemen aynı sıklıkta meydana geldiği görülmektedir teoremi asal sayı tahmin ediyorum: eksponentiyle N inci repunit asal (eksponentiyle sabit katına etrafında genellikle N -1 )NS.

Asal tekrar sayıları , değişken asal sayıların önemsiz bir alt kümesidir , yani, basamaklarının herhangi bir permütasyonundan sonra asal kalan asal sayılar.

Belirli özellikler

Geri kalan kısmı, R _{, n} 3 geri kalan eşittir modulo n 10 Kullanma 3. modulo ^bir herhangi ≡ 1 (mod 3) bir ≥ 0,
n, ≡ 0 (mod 3) ⇔ R, _n, ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod R ₃ ),
n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ R ₁ ≡ 1 (mod R ₃ ),
n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R _n ≡ R ₂ ≡ 11 (mod R ₃ ).
Bu nedenle, 3 | n ⇔ 3 | R _n ⇔ R ₃ | R, _n .
Geri kalan kısmı, R _{, n} 9 geri kalanı eşit modulo n 10 Kullanma 9. modulo ^bir herhangi ≡ 1 (mod 9) bir ≥ 0,
n ≡ r (mod 9) ⇔ R, _n- ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ R _r (mod R ₉ ),
0 ≤ r < 9 için.
Bu nedenle, 9 | n ⇔ 9 | R _n ⇔ R ₉ | R, _n .

Taban 2 yeniden birleşen asal sayılar

Taban-2 tekrar birimli asallara Mersenne asalları denir .

Taban 3 tekrar birleştirilebilen asal sayılar

İlk birkaç taban-3 tekrar birimli asal sayılar

13, 1093, 797.161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 (dizi A076481 olarak OEIS ),

karşılık gelen bölgesinin ${\görüntüleme stili n}$

3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, ... (dizi A028491 olarak OEIS ).

Taban 4 yeniden birleşen asal sayılar

4 tabanındaki tek yeniden birleşim asal sayısı 5'tir ( ). Ve 3 daima böler zaman n garip ve ne zaman n bile olduğunu. İçin n, 2'den daha büyük, hem de ve böylece yine 1'den büyük iki faktör Bu nedenle, numara asal olamaz yaprak 3 faktör çıkarılması, 3 den daha büyüktür. ${\ Displaystyle 11_{4}}$ $4^{n}-1=\sol(2^{n}+1\sağ)\sol(2^{n}-1\sağ)$ ${\ Displaystyle 2^{n}+1}$ ${\ Displaystyle 2^{n}-1}$ ${\ Displaystyle 2^{n}+1}$ ${\ Displaystyle 2^{n}-1}$

Taban 5 tekrar birleştirilebilen asal sayılar

İlk birkaç taban-5 tekrar birimli asal sayılar

31, 19531, 12.207.031, 305.175.781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 (dizi A086122 olarak OEIS ),

karşılık gelen bölgesinin ${\görüntüleme stili n}$

3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ... (dizi A004061 olarak OEIS ).

Taban 6 tekrar birimli asal sayılar

İlk birkaç taban-6 tekrar birimli asal sayılar

7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, 133733063818254349335501779590081460423013416258060407531857720755181857441961908284738707408499507 (dizi A165210 olarak OEIS ),

karşılık gelen bölgesinin ${\görüntüleme stili n}$

2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, ... (dizi A004062 olarak OEIS ).

Taban 7 tekrar birim asal sayıları

İlk birkaç taban-7 tekrar birimli asal sayılar

2801, 16148168401, 8505346116479680194953954163954280577066639233068267330253081977410514153169870146930307290253537320447270457,
1385022127101034087007743810331355039266633249933176317292277906573251633507306730197741051415316987071469307290253537320447270457

karşılık gelen bölgesinin ${\görüntüleme stili n}$

5, 13, 131, 149, 1699, ... (dizi A004063 olarak OEIS ).

Taban 8 tekrar birleştirilebilen asal sayılar

Tek taban-8 reunit asal sayı 73'tür ( ). ve 7 , n 3'e bölünemediğinde ve n 3'ün katı olduğunda bölünür . $111_{8}$ $8^{n}-1=\sol(4^{n}+2^{n}+1\sağ)\sol(2^{n}-1\sağ)$ $4^{n}+2^{n}+1$ ${\ Displaystyle 2^{n}-1}$

Taban 9 tekrar birim asal sayıları

Taban-9 tekrar birim asal sayıları yoktur. , ve her ikisi ve çift ve 4'ten büyüktür. $9^{n}-1=\sol(3^{n}+1\sağ)\sol(3^{n}-1\sağ)$ ${\ Displaystyle 3^{n}+1}$ ${\ Displaystyle 3^{n}-1}$

Taban 11 yeniden birleşen asal sayılar

İlk birkaç taban-11 yeniden birleşen asal sayılar

50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465924573491089650185945215953,5670002325217957396258282812671713444868053858812175750811496601630462174659245934910519035783659245734931051903578365924573419357934

karşılık gelen bölgesinin ${\görüntüleme stili n}$

17, 19, 73, 139, 907 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, ... (dizi A005808 olarak OEIS ).

Taban 12 tekrar birimli asal sayılar

İlk birkaç taban-12 tekrar birimli asal sayılar

13, 157, 22621, 290436306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 3884750524828429708013202789641601714261219562706270896416017142612195627062708940783890278327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121956270620789641601714261219562706547992543903789419562706547995830443895998159307781133050732832796815930778113305073289037606270896416017142612195627065479925390

karşılık gelen bölgesinin ${\görüntüleme stili n}$

2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, ... (dizi A004064 olarak OEIS ).

Taban 20 tekrar birimli asal sayılar

İlk birkaç taban-20 repunit asal sayıları

421, 10778947368421, 689852631578947368421

karşılık gelen bölgesinin ${\görüntüleme stili n}$

3, 11, 17, 1487, ... (dizi A127995 olarak OEIS ).

Asal için asal olan bazlar ${\görüntüleme stili b}$ ${\ Displaystyle R_{p}(b)}$ ${\görüntüleme stili p}$

En küçük baz böyle asal (burada olduğunu th asal) ${\görüntüleme stili b}$ ${\ Displaystyle R_{p}(b)}$ ${\görüntüleme stili p}$ ${\görüntüleme stili n}$

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195, 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3, ... (sekans A066180 olarak OEIS )

En küçük baz böyle asal (burada olduğunu th asal) ${\görüntüleme stili b}$ $R_{p}(-b)$ ${\görüntüleme stili p}$ ${\görüntüleme stili n}$

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329, 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164, ... (sekans A103795 olarak OEIS )

${\görüntüleme stili p}$	asal olan bazlar (yalnızca pozitif bazları listeler) ${\görüntüleme stili b}$ ${\ Displaystyle R_{p}(b)}$	OEIS dizisi
2	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996, ...	A006093
3	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950, 959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993, ...	A002384
5	2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979, ...	A049409
7	2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998, .. .	A100330
11	5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973, .. .	A162862
13	2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, 397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993, .. .	A217070
17	2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986, .. .	A217071
19	2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992, ...	A217072
23	10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997, ...	A217073
29	6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986, ...	A217074
31	2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998, ...	A217075
37	61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969, ...	A217076
41	14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959, ...	A217077
43	15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981, ...	A217078
47	5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966, ...	A217079
53	24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936, ...	A217080
59	19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995, ...	A217081
61	2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998, ...	A217082
67	46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, 426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826, ...	A217083
71	3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981, ...	A217084
73	11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966, ...	A217085
79	22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970, ...	A217086
83	41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930, ...	A217087
89	2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878, ...	A217088
97	12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934, ...	A217089
101	22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979, ...
103	3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839, ...
107	2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999, ...
109	12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945, ...
113	86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946, ...
127	2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936, ...
131	7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953, ...
137	13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833, ...
139	11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902, ...
149	5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855, ...
151	29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863, ...
157	56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960, ...
163	30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924, ...
167	44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957, ...
173	60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663, ...
179	304, 478, 586, 942, 952, 975, ...
181	5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786, ...
191	74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924, ...
193	118, 301, 486, 554, 637, 673, 736, ...
197	33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813, ...
199	156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988, ...
211	46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977, ...
223	183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914, ...
227	72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967, ...
229	606, 725, 754, 858, 950, ...
233	602, ...
239	223, 260, 367, 474, 564, 862, ...
241	115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849, ...
251	37, 246, 267, 618, 933, ...
257	52, 78, 435, 459, 658, 709, ...
263	104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987, ...
269	41, 48, 294, 493, 520, 812, 843, ...
271	6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624, ...
277	338, 473, 637, 940, 941, 978, ...
281	217, 446, 606, 618, 790, 864, ...
283	13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943, ...
293	136, 388, 471, ...

Reunit asal taban listesi ${\görüntüleme stili b}$

Asal olan en küçük asal asaldır ( eğer böyle bir şey yoksa 0 ile başlayın ) ${\ Displaystyle p>2}$ ${\ Displaystyle R_{p}(b)}$ ${\görüntüleme stili b=2}$ ${\görüntüleme stili p}$

3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7, 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229, 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41, 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, .. . (sekans A128164 olarak OEIS )

Asal olan en küçük asal sayıdır ( eğer böyle bir terim yoksa 0 ile başlayın , bu terim bilinmiyorsa soru işareti) ${\ Displaystyle p>2}$ $R_{p}(-b)$ ${\görüntüleme stili b=2}$ ${\görüntüleme stili p}$

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3, 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37, ?, 19, 7, 3, .. . (sekans A084742 olarak OEIS )

${\görüntüleme stili b}$	asal olan sayılar (bazı büyük terimler yalnızca olası asal sayılara karşılık gelir , bunlar 100000'e kadar kontrol edilir) ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili R_{n}(b)}$ ${\görüntüleme stili n}$	OEIS dizisi
-50	1153, 26903, 56597, ...	A309413
-49	7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149, ...	A237052
-48	2 ^* , 5, 17, 131, 84589, ...	A236530
-47	5, 19, 23, 79, 1783, 7681, ...	A236167
-46	7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841, ...	A235683
-45	103, 157, 37159, ...	A309412
-44	2 ^* , 7, 41233, ...	A309411
-43	5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573, ...	A231865
-42	2 ^* , 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663, ...	A231604
-41	17, 691, 113749, ...	A309410
-40	53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959, ...	A229663
-39	3, 13, 149, 15377, ...	A230036
-38	2 ^* , 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591, ...	A229524
-37	5, 7, 2707, 163193, ...	A309409
-36	31, 191, 257, 367, 3061, 110503, ...	A229145
-35	11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623, ...	A185240
-34	3, 294277, ...
-33	5, 67, 157, 12211, 313553, ...	A185230
-32	2 ^* (başkaları yok)
-31	109, 461, 1061, 50777, ...	A126856
-30	2 ^* , 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599, ...	A071382
-29	7, 112153, 151153, ...	A291906
-28	3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497, ...	A071381
-27	(Yok)
-26	11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043, ...	A071380
-25	3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707, ...	A057191
-24	2 ^* , 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951, ...	A057190
-23	11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053, ...	A057189
-22	3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287, ...	A057188
-21	3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579, ...	A057187
-20	2 ^* , 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257, ...	A057186
-19	17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929, ...	A057185
-18	2 ^* , 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147, ...	A057184
-17	7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259, ...	A057183
-16	3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393, ...	A057182
-15	3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927, ...	A057181
-14	2 ^* , 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401 ...	A057180
-13	3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467, ...	A057179
-12	2 ^* , 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, ...	A057178
-11	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ...	A057177
-10	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, 1600787, ...	A001562
-9	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, 860029, ...	A057175
-8	2 ^* (başkaları yok)
-7	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033, ...	A057173
-6	2 ^* , 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371, ...	A057172
-5	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147, ...	A057171
-4	2 ^* , 3 (başkaları yok)
-3	2 ^* , 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897 , 1205459, 1896463, 2533963, ...	A007658
-2	3, 4 ^* , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807 , 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ...	A000978
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42640961 , ..., 57156667, 426438051 , ..., 57156667, 42643801, 431 ..., 74207281, ..., 77232917, ..., 82589933, ...	A000043
3	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, ...	A028491
4	2 (başkaları yok)
5	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ...	A004061
6	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ...	A004062
7	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	A004063
8	3 (başkaları yok)
9	(Yok)
10	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ..., 5794777, ...	A004023
11	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	A005808
12	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	A004064
13	5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, 1503503, ...	A016054
14	3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697, ...	A006032
15	3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833, ...	A006033
16	2 (başkaları yok)
17	3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, 1990523, ...	A006034
18	2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269, ...	A133857
19	19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359, ...	A006035
20	3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709, ...	A127995
21	3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129, ...	A127996
22	2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823, ...	A127997
23	5, 3181, 61441, 91943, 121949, ...	A204940
24	3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783, ...	A127998
25	(Yok)
26	7, 43, 347, 12421, 12473, 26717, ...	A127999
27	3 (başkaları yok)
28	2, 5, 17, 457, 1423, 115877, ...	A128000
29	5, 151, 3719, 49211, 77237, ...	A181979
30	2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883, ...	A098438
31	7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, 535571, ...	A128002
32	(Yok)
33	3, 197, 3581, 6871, 183661, ...	A209120
34	13, 1493, 5851, 6379, 125101, ...	A185073
35	313, 1297, ...
36	2 (başkaları yok)
37	13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, 249341, ...	A128003
38	3, 7, 401, 449, 109037, ...	A128004
39	349, 631, 4493, 16633, 36341, ...	A181987
40	2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277, ...	A128005
41	3, 83, 269, 409, 1759, 11731, ...	A239637
42	2, 1319, ...
43	5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773, ...	A240765
44	5, 31, 167, 100511 ...	A294722
45	19, 53, 167, 3319, 11257, 34351, ...	A242797
46	2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531, ...	A243279
47	127, 18013, 39623, ...	A267375
48	19, 269, 349, 383, 1303, 15031, ...	A245237
49	(Yok)
50	3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521, ...	A245442

^* Hatta negatif baz ile Repunits n olumsuz. Mutlak değerleri asal ise, yukarıda yer alırlar ve bir yıldızla işaretlenirler. Karşılık gelen OEIS dizilerine dahil edilmezler.

Daha fazla bilgi için bakınız.

Genelleştirilmiş tekrar sayılarının cebirsel çarpanlara ayrılması

Eğer B a, mükemmel bir güç (şekilde yazılabilir m ⁿ ile m , n, bir tamsayı, n 1 ila farklılık> 1), daha sonra baz-bir repunit en vardır , b . Eğer n bir asal kuvvetse ( p asal, r tamsayı, p , r >0 ile p ^r olarak yazılabilir ), o zaman b tabanındaki tüm tekrar birimleri R _p ve R ₂ dışında asal değildir . R _p asal veya bileşik olabilir, ilk örnekler, b = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256, vb., sonraki örnekler, b = −243, − 125, −64, −32, −27, -8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289, vb. ve R ₂ olabilir asal ( p 2'den farklı olduğunda , yalnızca b negatifse , -2'nin bir kuvveti, örneğin, b = -8, −32, -128, -8192, vb.), aslında R ₂ de bileşik olabilir , örneğin, b = −512, −2048, −32768, vb. n bir asal kuvvet değilse, o zaman hiçbir base - b repunit asal yoktur, örneğin, b = 64, 729 ( n = 6 ile), b = 1024 ( n = 10 ile) ve b = -1 veya 0 ( n herhangi bir doğal sayı ile). Diğer bir özel durum, aurifeuillean çarpanlara ayırmaya sahip k pozitif tamsayılı b = −4 k ⁴ , örneğin, b = −4 ( k = 1 ile, o zaman R ₂ ve R ₃ asaldır) ve b = −64 , −324, −1024, −2500, −5184, ... ( k = 2, 3, 4, 5, 6, ... ile), o zaman hiçbir base - b yeniden birim asal değeri yoktur. Ayrıca zaman tahmin ediliyor b ne mükemmel bir güç ne de -4 olan k ⁴ ile k pozitif tam sayı, daha sonra sonsuzluk birçok base vardır b repunit asal.

Genelleştirilmiş yeniden birleştirme varsayımı

Genelleştirilmiş repunit asalları ile ilgili bir varsayım: (varsayım bir sonraki genelleştirilmiş Mersenne asalının nerede olduğunu tahmin eder, eğer varsayım doğruysa, o zaman tüm bazlar için sonsuz sayıda reunit asal vardır ) ${\görüntüleme stili b}$

Koşulları karşılayan herhangi bir tamsayı için: ${\görüntüleme stili b}$

$|b|>1$ .
${\görüntüleme stili b}$ mükemmel bir güç değildir . ( mükemmel bir kuvvet olduğu için , asal gibi en fazla bir değer olduğu gösterilebilir ve bu değerin kendisi veya kökü olduğu gösterilebilir ) ${\görüntüleme stili b}$ ${\görüntüleme stili r}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili r}$ ${\görüntüleme stili r}$
${\görüntüleme stili b}$ şeklinde değildir . (eğer öyleyse, o zaman sayının aurifeuillean çarpanlarına ayırması vardır ) ${\görüntüleme stili -4k^{4}}$

formun genelleştirilmiş reunit asal sayılarına sahiptir

R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}

asal için asal sayılar en uygun çizgiye yakın dağıtılacaktır ${\görüntüleme stili p}$

Y=G\cdot \log _{|b|}\sol(\log _{|b|}\sol(R_{(b)}(n)\sağ)\sağ)+C,

nerede sınır , $n\sağ ok \infty$ $G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...$

ve yaklaşık

\left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N)) {\büyük )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \sağ)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(|b| )}}

baz- b repunit asal az N .

${\görüntüleme stili e}$ olan doğal logaritma tabanı .
${\görüntüleme stili \gama }$ bir Euler-Mascheroni sabiti .
$\log _{|b|}$ bir logaritma olarak baz ${\görüntüleme stili |b|}$
${\görüntüleme stili R_{(b)}(n)}$ bir baz th genelleştirilmiş repunit asal b (ana ile p ) ${\görüntüleme stili n}$
${\görüntüleme stili C}$ ile değişen bir veri uyum sabitidir . ${\görüntüleme stili b}$
${\görüntüleme stili \delta =1}$ eğer , eğer . ${\ Displaystyle b>0}$ ${\görüntüleme stili \delta =1.6}$ ${\görüntüleme stili b<0}$
${\görüntüleme stili m}$ bir inci kuvvet olan en büyük doğal sayıdır . ${\görüntüleme stili -b}$ ${\ Displaystyle 2^{m-1}}$

Ayrıca aşağıdaki 3 özelliğe sahibiz:

Formun asal sayıların sayı (ana ile ) daha az ya da eşit hakkındadır . ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ ${\görüntüleme stili p}$ ${\görüntüleme stili n}$ $e^{\gamma }\cdot \log _{|b|}{\big (}\log _{|b|}(n){\big )}$
Arasında asal olan formun beklenen asal sayısı ve yaklaşık . ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ ${\görüntüleme stili p}$ ${\görüntüleme stili n}$ $|b|\cdot n$ ${\görüntüleme stili e^{\gama }}$
Formun sayısının asal olma olasılığı (asal için ) yaklaşık dir . ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ ${\görüntüleme stili p}$ ${\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(|b|)}}$

Tarih

O zamanlar bu isimle bilinmeseler de, 10 tabanındaki tekrar sayıları , on dokuzuncu yüzyılda birçok matematikçi tarafından, tekrar eden ondalık sayıların döngüsel kalıplarını bulmak ve tahmin etmek amacıyla incelendi .

Çok erken bu konuda herhangi bir asal için bulunmuştur p 5'ten büyük, dönem 1 / ondalık genişleme p ile bölünebilir en küçük repunit numarasının uzunluğuna eşittir p . 60.000'e kadar olan asal sayıların karşılıklı döneminin tabloları 1860'a kadar yayınlandı ve Reuschle gibi matematikçiler tarafından R _16'ya kadar olan tüm tekrarların ve daha büyük olanların çarpanlarına ayrılmasına izin verdi . 1880 olarak, hatta R ₁₇ için R ₃₆ çarpanlarına olmuştu ve onu da, o meraklı olduğunu Edouard Lucas üç milyondan vardı dönemde aşağıda hiçbir asal gösterdi ondokuz , yirminci yüzyıla dek primality için herhangi repunit sınamak için hiçbir girişimde oluştu. Amerikalı matematikçi Oscar Hoppe , 1916'da R _19'un asal olduğunu kanıtladı ve Lehmer ve Kraitchik bağımsız olarak 1929'da R _23'ün asal olduğunu buldu .

Tekrar birimlerinin incelenmesinde daha fazla ilerleme, bilgisayarların birçok yeni tekrar birimi faktörünün bulunmasına ve daha önceki asal dönem tablolarındaki boşlukların düzeltilmesine izin verdiği 1960'lara kadar gerçekleşmedi. R ₃₁₇ bir olduğu bulunmuştur muhtemel asal dolaylarında 1966 ve ne zaman, on bir yıl sonra asal kanıtlandı R ₁₀₃₁ az on bin hane ile sadece daha fazla olası asal repunit olduğu gösterilmiştir. 1986'da asal olduğu kanıtlandı, ancak sonraki on yılda daha fazla asal tekrarlama arayışı sürekli olarak başarısız oldu. Bununla birlikte, genelleştirilmiş tekrar birimleri alanında, çok sayıda yeni asal ve olası asal sayılar üreten önemli bir yan gelişme vardı.

1999'dan bu yana, muhtemelen dört tane daha asal sayı bulundu, ancak bunların herhangi birinin büyük boyutları nedeniyle öngörülebilir gelecekte asal olduğu kanıtlanamayacak.

Cunningham proje çabaları taban 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 ve 12 (diğer sayılar arasında) arasında bir tamsayıdır ayrıştırmaları repunits belge.

demo numaraları

DR Kaprekar, Demlo sayılarını sol, orta ve sağ parçanın sıralanması olarak tanımlamıştır; burada sol ve sağ parça aynı uzunlukta olmalıdır (sola olası bir sıfıra kadar) ve toplamı bir repdigit sayıya kadar olmalıdır ve orta kısım, bu tekrarlanan rakamın herhangi bir ek numarasını içerebilir. Onlar adını taşır Demlo ardından 30 mil Bombay'dan (şimdi Dombivili denir) tren istasyonu GIP Demiryolu Kaprekar bunları araştıran başladı. O çağırır Harika Demlo numaraları formu 1, 121, 12321, 1234321 olanlar, ..., bu repunits ait kareler, bu sonsuz dizisi 1 121 Demlo numaralarını aramak için bazı yazarlar açmıştır ki 12345678987654321. gerçeği , 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (dizi A002477 olarak OEIS ), bir bu için Demlo sayı olmayan kontrol, ancak p = 10, 19, 28, ...

Ayrıca bakınız

Hepsi bir polinom - Başka bir genelleme
Goormaghtigh varsayımı
yinelenen ondalık
tekrar rakamı
Wagstaff asal - negatif tabana sahip repunit asal sayılar olarak düşünülebilir ${\görüntüleme stili b=-2}$

Dipnotlar

Notlar

Referanslar

Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Eğlendirir , Dover Recreational Math (2. Revize Edilmiş ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
Dickson, Leonard Eugene ; Cresse, GH (1999-04-24), Sayılar Teorisi Tarihi , AMS Chelsea Publishing, Cilt I (2. Yeniden basılmış ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1934-0 |volume=fazladan metin var ( yardım )
Francis, Richard L. (1988), "Matematiksel Saman Yığınları: Repunit Sayılarına Başka Bir Bakış", The College Mathematics Journal , 19 (3): 240–246, doi : 10.1080/07468342.1988.11973120
Günjikar, KR ; Kaprekar, DR (1939), "Demlo sayıları teorisi" (PDF) , Bombay Üniversitesi Dergisi , VIII (3): 3–9
Kaprekar, DR (1938), "Harika Demlo Sayıları Üzerine" , The Mathematics Student , 6 : 68
Kaprekar, DR (1938), "Demlo numaraları", J. Phys. bilim Üniv. Bombay , VII (3)
Kaprekar, DR (1948), Demlo numaraları , Devlali, Hindistan: Khareswada
Ribenboim, Paulo (1996-02-02), Asal Sayı Kayıtlarının Yeni Kitabı , Bilgisayarlar ve Tıp (3. baskı), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
Yates, Samuel (1982), Repunits and repetends , FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8

Dış bağlantılar

Weisstein, Eric W. "Repunit" . Matematik Dünyası .
Ana tabloları arasında Cunningham projesi .
Chris Caldwell'den The Prime Pages'de tekrar .
Repunits ve onların ana faktörler de Numaraları Of World! .
Andy Steward tarafından en az 1000 ondalık basamaklı birincil genelleştirilmiş tekrarlar
Repunit Primes Projesi Giovanni Di Maria'nın reunit primes sayfası.
(b^p-1)/(b-1) ve (b^p+1)/(b+1) 2<=b<=1024 için asal olacak şekilde en küçük tek asal p
Reunit sayılarının çarpanlara ayrılması
Taban -50'den 50'ye kadar genelleştirilmiş yeniden birim asal sayıları

Languages

In other projects

geri ödeme - Repunit

İçindekiler

Tanım

Özellikler

Ondalık tekrarların çarpanlara ayrılması