Genforenes

Repunit er en kuffert ord sammensat af de engelske ord gentagne og enhed og angiver en række , der kun indeholder det nummer 1. En repunit er en særlig repdigit (" snapsnummer "); navnet Repunit blev opfundet i 1966 af Albert H. Beiler . På tysk bruges udtrykket Einserkolonne eller Einserschlange også .

Et primær repunit eller repunit primtal er et repunit, der også er et primtal .

definition

Matematisk repunits (i decimal systemet er) defineres som

{\ displaystyle R_ {n} = {\ frac {10 ^ {n} -1} {9}} = \ sum _ {k = 0} ^ {n -1} 10 ^ {k} = \ overbrace {11 \ dotso 1} ^ {n {\ tekst {numre}}}}

, med .

{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {+}}

En rekursiv definition kan også specificeres:

{\ displaystyle R_ {n} = {\ begin {cases} 1 og {\ text {if}} n = 1 {\ text {,}} \\ 10 ^ {n-1} + R_ {n-1} , & {\ text {if}} n \ geq 2 {\ text {.}} \ end {cases}}}

Så tallet består af præcis dem ( ). Den sekvens af repunits begynder som følger: 1, 11, 111, 1111, ... (sekvens A002275 i OEIS ). ${\ displaystyle R_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$

Genforenes primtal

Historisk set opstod definitionen af repunits ved søgen efter en nedbrydning af sådanne tal i deres primære faktorer . Spørgsmålet om, hvorvidt et repunitnummer er et primtal, optog matematikere allerede i det 19. århundrede. Så skrev Carl Gustav Jacob Jacobi , et værk med titlen "at undersøge, om tallet 11111111111 er prime eller ej. En nysgerrighed forårsaget af Dase . "

Det er let at vise, at det er deleligt med, hvis det er deleligt med . For eksempel er det delbart med : 111111111 = 111 · 1001001. Derfor skal det være et primtal, så det kan være et primtal. Denne betingelse er imidlertid ikke tilstrækkelig, for eksempel er der ikke noget primtal . ${\ displaystyle R_ {n}}$ ${\ displaystyle R_ {a}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle R_ {9}}$ ${\ displaystyle R_ {3}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle R_ {n}}$ ${\ displaystyle R_ {3}}$ ${\ displaystyle R_ {3} = 111 = 3 \ cdot 37}$

Bortset fra dette eksempel på kan kun være en divisor af (for et primtal ) hvis for en bestemt . ${\ displaystyle R_ {3}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle R_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle p = 2kn + 1}$ ${\ displaystyle k}$

Gentagne primtal er sjældne. er et primtal for (sekvens A004023 i OEIS ). De fundet i september 1999 af Harvey Dubner og i oktober 2000 af Lew Baxter og er sandsynligvis primtal (såkaldte PRP-tal ). I slutningen af marts 2007 identificerede Paul Bourdelais og Harvey Dubner et primtal, fire måneder senere fandt Maksym Voznyy og Anton Budnyy . Serge Batalov og Ryan Propper fandt hurtigt den 20. april 2021 og 8. maj 2021 det, der i øjeblikket (27. maj 2021) er det største kendte sandsynlige genforenede primtal. Det menes, at der er et uendeligt antal repunit -primer. ${\ displaystyle R_ {n}}$ ${\ displaystyle n = 2,19,23,317,1031, \ ldots}$ ${\ displaystyle R_ {49081}}$ ${\ displaystyle R_ {86453}}$ ${\ displaystyle R_ {109297}}$ ${\ displaystyle R_ {270343}}$ ${\ displaystyle R_ {5794777}}$ ${\ displaystyle R_ {8177207}}$

Generaliserede repunits

Da ovenstående definition af repunits er baseret på decimalsystemet, kan denne definition først virke vilkårlig. Imidlertid kan man generalisere den underliggende idé ved at definere repunits i forhold til ethvert grundlag : ${\ displaystyle b}$

{\ displaystyle R_ {n} ^ {(b)} = {\ frac {b ^ {n} -1} {b-1}} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} b ^ { k} = \ underbrace {\ overbrace {11 \ dotso 1} ^ {n {\ text {cifre}}} {} _ {b}} _ {{\ text {basenummer}} b}}

Med , ,

{\ displaystyle b, n \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle b \ geq 2}

{\ displaystyle n \ geq 1}

Den generaliserede rekursive definition er:

{\ displaystyle R_ {n} ^ {(b)} = {\ begin {cases} 1, og {\ text {if}} n = 1 {\ text {,}} \\ b ^ {n-1} + R_ {n-1} ^ {(b)} og {\ text {if}} n \ geq 2 {\ tekst {.}} \ End {cases}}}

Tallet består af præcis dem ( ), hvis det er noteret som et tal for basen ( uanset basen er det altid 1). ${\ displaystyle R_ {n} ^ {(b)}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle R_ {1} ^ {(b)}}$

Værditabel for nogle repunits som eksempel:

Sammenligning af nogle repunit værdier for fælles talsystemer ${\ displaystyle R_ {n} ^ {(b)}}$
${\ displaystyle R_ {n} ^ {(b)}}$	Binært system ${\ displaystyle b = 2}$		Oktalsystem ${\ displaystyle b = 8}$		Decimal system ${\ displaystyle b = 10}$	Hexadecimalt system ${\ displaystyle b = 16}$
${\ displaystyle n}$	binært	decimal	oktal	decimal	decimal	hexadecimal	decimal
1	1 ₂	1 ₁₀	1 ₈	1 ₁₀	1 ₁₀	1 ₁₆	1 ₁₀
2	11 ₂	3 ₁₀	11 ₈	9 ₁₀	11 ₁₀	11 ₁₆	17 ₁₀
3	111 ₂	7 ₁₀	111 ₈	73 ₁₀	111 ₁₀	111 ₁₆	273 ₁₀
4.	1111 ₂	15 ₁₀	1111 ₈	585 ₁₀	1111 ₁₀	1111 ₁₆	4369 ₁₀
5	11111 ₂	31 ₁₀	11111 ₈	4681 ₁₀	11111 ₁₀	11111 ₁₆	69905 ₁₀
6.	111111 ₂	63 ₁₀	1111118	37449 ₁₀	111111 ₁₀	111111 ₁₆	1118481 ₁₀
7.	1111111 ₂	127 ₁₀	1111111 ₈	299593 ₁₀	1111111 ₁₀	1111111 ₁₆	17895697 ₁₀
8.	11111111 ₂	255 ₁₀	11111111 ₈	2396745 ₁₀	11111111 ₁₀	11111111 ₁₆	286331153 ₁₀
9	111111111 ₂	511 ₁₀	111111111 ₈	19173961 ₁₀	111111111 ₁₀	111111111 ₁₆	4581298449 ₁₀
10	1111111111 ₂	1023 ₁₀	1111111111 ₈	153391689 ₁₀	1111111111 ₁₀	1111111111 ₁₆	73300775185 ₁₀

Det er let at bevise, at for alt , der ikke er direkte delbart med 2, eller der er en genforening til basen, der er et multiplum af . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle 2p}$ ${\ displaystyle n}$

Base 2 repunits er kendt som Mersenne -numrene : ${\ displaystyle M_ {n} = 2 ^ {n} -1}$

De genforenede primtal er en delmængde af de permutable primtal , dvs. primtalene , der forbliver primtal, hvis du bytter deres cifre efter behag .

Andy Steward beregnede et særligt stort generaliseret repunit primtal med 37.090 cifre i 2006 . I 2010 fandt Tom Wu et endnu større med 41.382 job. Den nuværende (31. maj 2021) største kendte generaliserede repunit prime er med 95.202 cifre og blev opdaget af Tom Wu i juni 2017. ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {28839 ^ {8317} -1} {28838}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1549 ^ {12973} -1} {1548}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {7176 ^ {24691} -1} {7175}}}$

Gentag primtal på forskellige baser

Eksempler:

Genforeningen er baseret på et primtal, fordi det er et primtal. ${\ displaystyle R_ {7} ^ {(5)} = 1111111_ {5}}$ ${\ displaystyle b = 5}$ ${\ displaystyle 1111111_ {5} = {\ understregning {1}} \ gange 5 ^ {6} + {\ understregning {1}} \ gange 5 ^ {5} + {\ understregning {1}} \ gange 5 ^ { 4} + {\ understregning {1}} \ gange 5 ^ {3} + {\ understregning {1}} \ gange 5 ^ {2} + {\ understregning {1}} \ gange 5 ^ {1} + {\ understreg {1}} \ cdot 5 ^ {0} = 15625 + 3125 + 625 + 125 + 25 + 5 + 1 = 19531 \ in \ mathbb {P}}$
Følgende er en tabel med de mindste repunit -primtal til baser , skrevet i decimalsystemet ${\ displaystyle R_ {n} ^ {(b)}}$ ${\ displaystyle b \ leq 12}$

Grundlag ${\ displaystyle b}$	de mindste repunit primtal til baser , skrevet i decimalsystemet ${\ displaystyle R_ {n} ^ {(b)} = {\ overbrace {11 \ ldots 1} ^ {n {\ text {ones}}}} _ {b}}$ ${\ displaystyle b \ leq 12}$	OEIS episode
Grundlag ${\ displaystyle b}$	det tilhørende , for hvilket ovenstående repunitter er primtal ${\ displaystyle n}$	OEIS -sekvens
2	3, 7, 31, 127, 8191, 131.071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727, ... (alle numre )	Følg A000668 i OEIS
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 371516667, 431516667 57232912160 82589933, ...	Følg A000043 i OEIS
3	13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, ...	Følg A076481 i OEIS
3	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, ...	Følg A028491 i OEIS
4.	5 (den eneste fordi er og tallet for ulige er en faktor på og for lige er en faktor på ) ${\ displaystyle 4 ^ {n} -1 = \ venstre (2 ^ {n} +1 \ højre) \ venstre (2 ^ {n} -1 \ højre)}$ ${\ displaystyle 3}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n} +1}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n} -1}$
4.	2
5	31, 19531, 12.207.031, 305.175.781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 3503246160898660644531, 35032461608120660644531, 3503246160832660644531, 3503246160327064453 574 597 895 695 396 378 644 547 479 567 395 398 327 81066894531	Følg A086122 i OEIS
5	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ...	Følg A004061 i OEIS
6.	7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, ...	Følg A165210 i OEIS
6.	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ...	Følg A004062 i OEIS
7.	2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457, 138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601, ...	Følg A102170 i OEIS
7.	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	Følg A004063 i OEIS
8.	73 (den eneste fordi og den første faktor er delelig med 7, hvis den ikke er delelig med 3 eller den anden faktor er delelig med 7, hvis den er et multiplum af 3) ${\ displaystyle 8 ^ {n} -1 = \ venstre (4 ^ {n} + 2 ^ {n} +1 \ højre) \ venstre (2 ^ {n} -1 \ højre)}$ ${\ displaystyle 4 ^ {n} + 2 ^ {n} +1}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ ${\ displaystyle n}$
8.	3
9	der er ikke en eneste primær genforening med denne base, fordi og er både og lige ${\ displaystyle 9 ^ {n} -1 = \ venstre (3 ^ {n} +1 \ højre) \ venstre (3 ^ {n} -1 \ højre)}$ ${\ displaystyle 3 ^ {n} +1}$ ${\ displaystyle 3 ^ {n} -1}$
9	-
10	11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ...	Følg A004022 i OEIS
10	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207, ...	Følg A004023 i OEIS
11	50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 56700023252179573962582828126754197 864 348 68053882174106 548 713 444 48680538828324165 791 534 486 805 388 388 324 463 548 713 444 8668053882174105
11	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	Følg A005808 i OEIS
12.	13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801351464052482842970801351465052482842970801320278910654601 784297080135146405248284297080135146147196254 587 587 902 587 896 398 591 587 587 587 892 896 398 598 787 587 892 587 896 398 398 587
12.	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	Følg A004064 i OEIS

Weblinks

Eric W. Weisstein : Genforenet . I: MathWorld (engelsk).
Giovanni Di Maria: The Repunit Primes Project .

Individuelle beviser

^ Albert H. Beiler: Recreations in the Theory of Numbers. Matematikkens dronning underholder. 2. udgave. Dover, New York 1966, kap. XI, s. 83 ff.
^ Giovanni Di Maria: The Repunit Primes Project .
↑ Chris K. Caldwell: Prime Glossery: Repunit .
↑ Andy Steward: Titanic Prime Generaliserede Repunits. ( Memento fra 19. oktober 2013 i internetarkivet )
^ Chris K. Caldwell: The Top Twenty: Generalized Repunit. Adgang 31. maj 2021 .

[1] Albert H. Beiler: Recreations in the Theory of Numbers. Matematikkens dronning underholder. 2. udgave. Dover, New York 1966, kap. XI, s. 83 ff.

[2] Giovanni Di Maria: The Repunit Primes Project .

[3] Chris K. Caldwell: Prime Glossery: Repunit .

[4] Andy Steward: Titanic Prime Generaliserede Repunits. ( Memento fra 19. oktober 2013 i internetarkivet )

[5] Chris K. Caldwell: The Top Twenty: Generalized Repunit. Adgang 31. maj 2021 .

Languages