Pertürbasyon fonksiyonu - Perturbation function

Gelen matematiksel optimizasyon , pertürbasyon fonksiyonu herhangi bir fonksiyon ilkel ve ilgilidir ikili sorunların . Adı böyle bir işlevi, ilk sorun, bir pertürbasyon tanımlar olmasından kaynaklanır. Birçok durumda bu kısıtlamaları değişen biçimini alır.

Bazı metinlerde değer fonksiyonu pertürbasyon fonksiyonu denir ve pertürbasyon fonksiyonu denir Bifonksiyonel .

Tanım

Verilen iki çift çifti ayrılır lokal konveks alanlar ve . Daha sonra fonksiyonu verilen biz ile ilksel sorunu tanımlayabilir ${\ Displaystyle \ sola (X, X ^ {*} \ sağ)}$${\ Displaystyle \ sola (Y, ^ {*} \ sağ)}$${\ Displaystyle f: X \ için \ mathbb {R} \ kap \ {+ \ infty \}}$

${\ Displaystyle \ Inf _ X {x \} f (x). \}$

Kısıt koşul varsa, bu işlevin içine inşa edilebilir sağlayarak nerede olduğunu gösterge işlevi . Sonra bir ise pertürbasyon fonksiyonu ancak ve ancak .${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f \ leftarrow f + I _ {\ mathrm {kısıtlamalar}}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle F: X \ kez Y \ mathbb \ olarak {R} \ kap \ {+ \ infty \}}$${\ Displaystyle F (x, 0) f (x) =}$

dualitede kullanın

İkilik boşluk eşitsizlik sağ ve sol tarafının farktır

${\ Displaystyle \ destek _ {y ^ {*} \ Y ^ {*}} içinde - f ^ {*} (0, y ^ {*}) \ leq \ inf _ {x \ X} F (x, 0)}$

burada bir dışbükey konjügat her iki değişken bölgesi.${\ Displaystyle f ^ {*}}$

Pertürbasyon fonksiyonu herhangi bir seçim için F zayıf ikilik tutar. Memnun olmadığını ima koşulların vardır kuvvetli ikiliği . Örneğin, F olan uygun ortak, dışbükey , yarı-sürekli düşük olan (burada bir cebirsel iç ve bir çıkıntı üzerine , Y ile tanımlanan ) ve X , Y, olan Frechet alanlarda daha sonra güçlü bir ikilik tutar.${\ \ Operatorname {çekirdek} içinde displaystyle 0 \ (\ operatorname {Pr} _ {Y} (\ operatorname {dom} K))}$${\ Displaystyle \ operatorname {çekirdek}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Pr} _ {Y}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Pr} _ {Y} (x, y) = y}$

Örnekler

Lagrange

Let ve ikili çifti olmak. İlkel bir sorun (en aza indirmek verilen f (x) ) ve ilişkili bir pertürbasyon fonksiyonu ( F (x, y) ) daha sonra Lagrange negatif eşleniğidir F ile ilgili olarak y (yani konkav konjugat). Bu Lagrange tarafından tanımlandığı gibidir ${\ Displaystyle (X, X ^ {*})}$${\ Displaystyle (Y, ^ {*})}$ ${\ Displaystyle L X \ kez Y ^ {*} \ mathbb \ olarak {R} \ kap \ {+ \ infty \}}$

${\ Displaystyle L (x, y ^ {*}) = \ inf _ Y {y \} \ sol \ {F (x, y) -y ^ {*} (y) \ doğru \}}.$

Özellikle zayıf ikilik minmax denklemi olduğu gösterilebilir

${\ Displaystyle \ destek _ {y ^ {*} \ Y ^ {*}} - K ^ {*} (0, y ^ {*}) = \ destek _ {y ^ {*} \ Y ^ { *}} \ inf _ {x \ x} L (x, y ^ {*}) \ leq \ inf _ {x \ X} \ destek _ {y ^ {*} \ y ^ {*}} L (x, y ^ {*}) = \ inf _ {x x \} F (x, 0).}$

ilkel sorun ile verilirse

${\ Displaystyle \ inf _ {x: g (x) \ leq 0} f (x) = \ inf _ {x \ X} {\ yaklaşık işareti {f}} (x)},$

nerede . Sonra pertürbasyon tarafından verilmesi halinde $- {(g (x)) \ displaystyle {\ yaklaşık işareti {f}} (x) f (x) + I _ {\ mathbb {R} _ {+} ^ {d}} =}$

${\ Displaystyle \ inf _ {x: g (x) \ leq y} f (x)},$

Daha sonra pertürbasyon fonksiyonudur

${\ Displaystyle F (x, y) = f (x) + I _ {\ mathbb {R} _ {+} ^ {d}} (ug (x))}$.

Böylece Lagrange ikiliği bağlantı görülebilir L trivially olduğu görülebilir

${\ Displaystyle L (x, y ^ {*}) = {\ başlar {olgu} f (x) + y ^ {*} (g (x)) {\ metni {}} ise y ^ {*} \ \ mathbb olarak {R} _ {+} ^ {d} \\ - \ infty ve {\ metni {başka}} \ ucu {olgu}}}$.

Fenchel ikilik

Let ve ikili çifti olmak. Bir vardır varsayın lineer harita ile özeslenik . İlkel varsayalım amaç fonksiyonunu (gösterge fonksiyonu yoluyla kısıtlamaları da dahil olmak üzere), aşağıdaki gibi ifade edilebilir , öyle ki . Daha sonra pertürbasyon fonksiyonu ile verilmektedir ${\ Displaystyle (X, X ^ {*})}$${\ Displaystyle (Y, ^ {*})}$ ${\ Displaystyle T: Y, X \}$ ${\ Displaystyle T ^ {*} Y ^ {*} \ X ^ {*}}$ ${\ Displaystyle f (x)},$${\ Displaystyle f (x) = y (x, Tx)}$${\ Displaystyle J: X \ kez Y \ mathbb \ olarak {R} \ kap \ {+ \ infty \}}$

${\ Displaystyle F (x, y) = y (x, Tx-y)}$.

Özellikle ilkel amacı ise daha sonra pertürbasyon fonksiyonu olarak ifade edilir ve geleneksel tanımı olan Fenchel ikilik .${\ Displaystyle f (x) + g (Tx)}$${\ Displaystyle F (x, y) = f (x) + g (Tx-y)}$

Referanslar