Funkcja zaburzeń - Perturbation function

W optymalizacji matematycznej The funkcja zaburzeń jest jakaś funkcja , która odnosi się do pierwotnych i problemów podwójnych . Nazwa pochodzi od faktu, że taka funkcja definiuje perturbacji początkowego problemu. W wielu przypadkach przybiera formę przesuwanie ograniczeń.

W niektórych tekstach funkcja wartość nazywana jest funkcja zaburzeń, a funkcja zaburzenie nazywa się bifunction .

Definicja

Podane dwa podwójne pary rozdzielone lokalnie wypukłe przestrzenie i . Następnie dana funkcja , możemy określić pierwotny problem poprzez ${\ Displaystyle \ lewo (X, X ^ {*} \ prawej)}$${\ Displaystyle \ lewo (Y, Y ^ {*} \ prawej)}$${\ Displaystyle f: X \ z \ mathbb {R} \ kubek \ {+ \ infty \}}$

${\ Displaystyle \ inf _ {x \ X} f (x). \}$

Jeśli istnieją ograniczające warunki te mogą być wbudowane w funkcji pozwalając gdzie jest funkcja wskaźnik . Wtedy to funkcja zaburzeń wtedy i tylko wtedy .${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f \ STRZAŁKA_W_LEWO M + I _ {\ operatorname {ograniczenia}}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle F: X \ Y \ razy na \ mathbb {R} \ kubek \ {+ \ infty \}}$${\ Displaystyle F (x, 0) = f (x)}$

Zastosowanie w dualności

Luka dwoistość jest różnica z prawej i lewej strony nierówności

${\ Displaystyle \ sup _ {y ^ {*} \ w Y ^ {*}} - f ^ {*} (0, y ^ {*}) \ równ \ INF _ {x \ X} f (x, 0)}$

gdzie jest wypukła sprzężona w obydwu zmiennych.${\ Displaystyle K ^ {*}}$

Dla dowolnego wyboru funkcji zaburzeń F słaby dwoistość trzyma. Istnieje szereg warunków, które, jeśli spełnione zakładają silny dualizm . Na przykład, jeśli M jest właściwa wspólnie wypukły , niższy półciągły z (gdzie jest algebraiczna wnętrza i jest występ na Y zdefiniowanym przez ), a X , Y są Frechet obowiązuje wówczas silne rozdwojenie ładowni.${\ Displaystyle 0 \ in \ OperatorName rdzenia} {(\ OperatorName {Pr} _ {T} (\ OperatorName {dom} F))}$${\ Displaystyle \ OperatorName {rdzeń}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Pr} _ {T}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Pr} _ {T} (x, y) = y}$

Przykłady

Lagrange'a

Niech i być podwójne pary. Biorąc pod uwagę problem, pierwotny (zminimalizować f (x) ) i danej funkcji zaburzenia ( F (x, y) ), a następnie Lagrange'a jest ujemny koniugat F w stosunku do Y (czyli sprzężoną wklęsły). To jest Lagrange'a jest zdefiniowany przez ${\ Displaystyle (X, X ^ {*})}$${\ Displaystyle (Y, Y ^ {*})}$ ${\ Displaystyle L: \ X razy Y ^ {*} \ z \ mathbb {R} \ kubek \ {+ \ infty \}}$

${\ Displaystyle L (x, y ^ {*}) = \ _ inf {r \ w Y} \ lewej \ {F (x, y), Y ^ {*}, (Y) \ prawo \}.}$

W szczególności słaby rozdwojenie równanie MinMax można przedstawić jako

${\ Displaystyle \ sup _ {y ^ {*} \ w Y ^ {*}} - K ^ {*} (0, y ^ {*}) = \ sup _ {y ^ {*} \ w Y ^ { *}} \ inf _ {x \ in x} L (x, y ^ {*}) \ równoważnik \ inf _ {x \ x} \ sup _ {y ^ {*} \ w Y ^ {*}} L (x, y ^ {*}) = \ _ inf {x \ x} F (x, 0).}$

Jeśli pierwotny problem pojawia się za

${\ Displaystyle \ inf _ {x: g (x) \ równoważnik 0} f (x) = \ _ inf {x \ X} {\ tylda {f}} (x)}$

gdzie . Następnie, jeśli jest podana przez perturbacje ${\ Displaystyle {\ tylda {f}} (x) = f (x) + _ I {\ mathbb {R} _ {+} ^ {d}} (- G (x))}$

${\ Displaystyle \ inf _ {x: g (x) \ równoważnik y} f (x)}$

Następnie funkcja jest zaburzenie

${\ Displaystyle F (x, y) = m (x) + _ I {\ mathbb {R} _ {+} ^ {d}} (ig (x))}$,

W ten sposób połączenie Lagrange'a dualnością widać, jak L może być postrzegane jako trywialny

${\ Displaystyle L (x, y ^ {*}) = {\ rozpocząć {przypadków} f (x) + r ^ {*} (G (x)) i {\ tekst {if}} r ^ {*} \ w \ mathbb {R} _ {+} ^ {d} \\ - \ infty & {\ {inny tekst}} \ koniec {przypadków}}}$,

Fenchel dwoistość

Niech i być podwójne pary. Załóżmy, istnieje mapa liniowy z operatora sprzężonego . Przyjmuje się, że pierwotną funkcję celu (w tym ograniczeń w drodze funkcji wskaźnikowej) można zapisać jako takie, że . Następnie funkcja zaburzeń jest dana przez ${\ Displaystyle (X, X ^ {*})}$${\ Displaystyle (Y, Y ^ {*})}$ ${\ Displaystyle t X \ Y}$ ${\ Displaystyle T ^ {*}: Y ^ {*} \-X ^ {*}}$ ${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle f (x) = j (x, TX)}$${\ J \ displaystyle X razy Y \ z \ mathbb {R} \ kubek \ {+ \ infty \}}$

${\ Displaystyle F (x, y) = j (x, Tx-y)}$,

W szczególności, jeżeli pierwotny cel jest wtedy funkcja jest przez zaburzenie , które jest tradycyjna definicja Fenchel dwoistości .${\ Displaystyle f (x) + g (Tx)}$${\ Displaystyle F (x, y) = m (x) + g (Tx-y)}$

Referencje