Normal matris - Normal matrix

Matematik olarak, karmaşık bir kare matris $bir$ olan , normal bu ise HafiflettiDİYARBAKIR onun ile konjuge devrik $A *$ :

${\ displaystyle A {\ text {normal}} \ quad \ iff \ quad A ^ {*} A = AA ^ {*}}$

Normal matris kavramı, sonsuz boyutlu normlu uzaylarda normal operatörlere ve C * -algebralarındaki normal elemanlara genişletilebilir . Matris durumunda olduğu gibi, normallik, değişmeli olmayan ortamda mümkün olduğu ölçüde değişmeliğin korunduğu anlamına gelir. Bu, normal operatörleri ve C * -alebraların normal öğelerini analize daha uygun hale getirir.

Spektral teoremi bir matris normal olduğunu durumları, ancak ve ancak yalnızca tek biçimli olarak benzer bir üzere diyagonal matris , ve bu nedenle, herhangi bir matris $bir$ denklemi tatmin edici $bir * A = AA *$ olduğu köşegenleştirilebilir .

Özel durumlar

Karmaşık matrisler arasında, tüm üniter , Hermitesel ve çarpık Hermit matrisleri normaldir. Benzer şekilde, gerçek matrisler arasında tüm ortogonal , simetrik ve çarpık simetrik matrisler normaldir. Bununla birlikte, tüm normal matrislerin ya üniter ya da (çarpık) Hermitesel olduğu durum söz konusu değildir . Örneğin,

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}

ne üniter, Hermitçi ne de çarpık Hermitçi, ancak normaldir çünkü

{\ displaystyle AA ^ {*} = {\ begin {bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \ end {bmatrix}} = A ^ {*} A.}

Sonuçlar

Öneri : Normal bir üçgen matris olup köşegen .

İspat :

A

herhangi bir normal üst üçgen matris olsun. Dan beri

{\ displaystyle (A ^ {*} A) _ {ii} = (AA ^ {*}) _ {ii},}

alt simge gösterimi kullanılarak, tek bir yerine kullanarak eşdeğer ifade yazabilir

i

inci birim vektörü ( ) seçmek için

i

inci satır ve

i

inci kolon:

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i} ^ {\ intercal} \ sol (A ^ {*} A \ sağ) {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i} = {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i} ^ {\ intercal} \ left (AA ^ {*} \ right) {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i}.}

İfade

{\ displaystyle \ sol (A {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i} \ sağ) ^ {*} \ sol (A {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i} \ sağ ) = \ left (A ^ {*} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i} \ right) ^ {*} \ left (A ^ {*} {\ hat {\ mathbf {e}} } _ {i} \ sağ)}

eşdeğerdir ve öyledir

{\ displaystyle \ sol \ | Bir {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i} \ sağ \ | ^ {2} = \ sol \ | A ^ {*} {\ hat {\ mathbf {e} }} _ {i} \ sağ \ | ^ {2},}

ki bu Şekil

i

inci satır aynı norm olmalıdır

i

sütunda.

İ = 1 olarak

düşünün . Satır 1 ve sütun 1'in ilk girişi aynıdır (normallik nedeniyle) ve sütun 1'in geri kalanı sıfırdır (üçgenlik nedeniyle). Bu, 2 ile

n arasındaki

girişler için ilk satırın sıfır olması gerektiği anlamına gelir . 2'den

n'ye kadar

olan satır-sütun çiftleri için bu argümana devam etmek ,

A'nın

köşegen olduğunu gösterir . ◻

Normallik kavramı önemlidir çünkü normal matrisler tam olarak spektral teoremin geçerli olduğu matrislerdir :

Önerme. Bir matris

bir

vardır, ancak ve ancak, normal bir köşegen matris

Λ

ve yekpare bir matris

U

, öyle ki

bir = U Λ U *

.

Köşegen girişleri $N-$ olan özdeğerler ve $A$ ve sütunları $U$ olan özvektörler ve $A$ . $Λ'daki$ eşleşen özdeğerler , özvektörlerin $U'nun$ sütunları olarak sıralanmasıyla aynı sırada gelir .

Belirten bir başka yolu spektral teoremi Normal matrisler bir şekilde seçilmiş göre diyagonal matris ile temsil edilebilir, bu matrisler, tam olarak yani ortonormal olarak bir $C, n$ . Farklı ifade: Matris, ancak ve ancak normal Aygen yayılmış $C, n$ ve vardır ikili ortogonal standart iç ürüne göre $C, n$ .

Normal matrisler için spektral teorem , tüm kare matrisler için geçerli olan daha genel Schur ayrıştırmasının özel bir durumudur . Let $bir$ kare matris. Daha sonra Schur ayrıştırmasıyla, üst üçgen matrise, örneğin $B'ye$ benzer üniterdir . Eğer $bir$ normaldir, böyledir $B$ . Sonra $B$ , yukarıda belirtildiği gibi, normal bir üst üçgen matris çapraz olduğu için, diyagonal olmalıdır.

Spektral teorem, normal matrislerin spektrumlarına göre sınıflandırılmasına izin verir, örneğin:

Önerme. Normal bir matris, ancak ve ancak tüm özdeğerleri (spektrumu) karmaşık düzlemin birim çemberinde yer alıyorsa üniterdir.

Önerme. Normal bir matris, ancak ve ancak spektrumunun içinde yer alması durumunda kendine eşleniktir . Başka bir deyişle: Normal bir matristir Hermitsel eğer ve tüm özdeğerleridir yalnızca gerçek .

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Genel olarak, iki normal matrisin toplamının veya çarpımının normal olması gerekmez. Ancak, aşağıdakiler geçerlidir:

Önerme. Eğer

bir

ve

B

ile normaldir

AB = BA

, daha sonra her iki

AB

ve

A + B

de normaldir. Ayrıca ,

UAU

*

ve

UBU

* '

nun

köşegen matrisler

olacağı şekilde

üniter bir

U

matrisi vardır. Diğer bir deyişle,

A

ve

B

aynı anda köşegenleştirilebilir .

Bu özel durumda, sütunları $U *$ hem özvektörleri $A$ ve $B$ ve ortonormal temelini oluşturan $C n$ . Bu, cebirsel olarak kapalı alan üzerinde, teoremi birleştirerek aşağıdaki gidip matrisler olan eşzamanlı triangularizable işleminin sonucu, bu iki aynı anda yapılabilir olduğunu - ve normal matris diyagonal.

Eşdeğer tanımlar

Normal bir matrisin oldukça uzun eşdeğer tanımlarının bir listesini vermek mümkündür. Let $bir$ bir olması $, n x n$ karmaşık matris. O zaman aşağıdakiler eşdeğerdir:

$A$ normaldir.
$A$ , üniter bir matris ile köşegenleştirilebilir .
Özvektörleri bir dizi söz konusudur $A$ için bir ortonormal oluşturur $C n$ .
${\ displaystyle \ sol \ | A \ mathbf {x} \ sağ \ | = \ sol \ | A ^ {*} \ mathbf {x} \ sağ \ |}$ her $x için$ .
Frobemino norm ait $A$ ve özdeğerler hesaplanabilir $A$ : . ${\ textstyle \ operatorname {tr} \ sol (A ^ {*} A \ sağ) = \ toplam _ {j} \ sol | \ lambda _ {j} \ sağ | ^ {2}}$
Hermitesel bölüm $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / 2 (A + A *)$ ve çarpık Hermitesel kısım $1 / 2 (A - A *)$ arasında $bir$ gidip.
$Bir *$ (derece bir polinomdur $\leq n - 1$ olarak) $A$ .
Bazı üniter matris $U$ için $A$ $*$ $=$ $AU$ .
$U$ ve $P$ dönüşü, burada $A$ $=$ $UP$ kutupsal ayrışımına sahip oluruz, üniter bir matris $U$ ve bazı pozitif yarı-kesin matris $P ile$ .
$A$ , farklı özdeğerlere sahip bazı normal matris $N$ ile gidip gelir .
$σ i = | λ i |$ $A'nın$ tekil değerlere sahip olduğu tüm $1 \leq i \leq n için$ $σ$ $1$ $\geq \dots \geq$ $σ$ $n$ ve özdeğerler $|$ $λ$ $1$ $|$ $\geq \dots \geq |$ $λ$ $n$ $|$ .

Yukarıdakilerin tümü olmasa da bazıları sonsuz boyutlu Hilbert uzayları üzerinde normal operatörlere genelleme yapar. Örneğin, (9) 'u tatmin eden sınırlı bir operatör yalnızca yarı normaldir .

Analoji

Farklı türdeki normal matrislerin ilişkilerini, farklı karmaşık sayı türleri arasındaki ilişkilere benzer şekilde düşünmek bazen yararlıdır (ancak bazen yanıltıcıdır):

Ters çevrilebilir matrisler , sıfır olmayan karmaşık sayılara benzer
Konjugat devrik benzerdir karmaşık eşlenik
Üniter matrisler , birim çemberdeki karmaşık sayılara benzer
Hermit matrisleri gerçek sayılara benzer
Hermit pozitif tanımlı matrisler , pozitif gerçek sayılara benzer
Çarpık Hermit matrisleri tamamen hayali sayılara benzer

Özel bir durum olarak, karmaşık sayılar eşleme ile normal 2 × 2 gerçek matrislere gömülebilir.

{\ displaystyle a + bi \ mapsto {\ begin {bmatrix} a & b \\ - b & a \ end {bmatrix}} = a \, {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} + b \, { \ başlangıç ​​{bmatrix} 0 ve 1 \\ - 1 ve 0 \ end {bmatrix}} \ ,.}

toplama ve çarpmayı koruyan. Bu yerleştirmenin yukarıdaki benzetmelerin tümüne uyup uymadığını kontrol etmek kolaydır.

Ayrıca bakınız

Notlar

^ Kanıt. Zaman normal kullanımı Lagrange interpolasyon bir polinom oluşturmak için aşağıdaki formüle şekilde burada, bir özdeğerler . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ lambda _ {j}}} = P (\ lambda _ {j})}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j}}$ ${\ displaystyle A}$

Kaynaklar

Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985), Matris Analizi , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6 .
Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1991). Matris Analizinde Konular . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7 .

[1] Kanıt. Zaman normal kullanımı Lagrange interpolasyon bir polinom oluşturmak için aşağıdaki formüle şekilde burada, bir özdeğerler . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ lambda _ {j}}} = P (\ lambda _ {j})}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j}}$ ${\ displaystyle A}$

[2] Horn & Johnson (1985) , s. 109

[3] Horn ve Johnson (1991) , s. 157

Languages

In other projects