Matrice normale

En algèbre linéaire, une matrice normale est une matrice avec la propriété ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ fois n}}$

${\ displaystyle A ^ {*} \ cdot A = A \ cdot A ^ {*}}$,

donc une matrice qui commute avec sa matrice adjointe . De même, une matrice réelle est normale si ${\ displaystyle B \ in \ mathbb {R} ^ {n \ fois n}}$

${\ displaystyle B ^ {T} \ cdot B = B \ cdot B ^ {T}}$

s'applique.

Le théorème spectral dit qu'une matrice est normale si et seulement s'il existe une matrice unitaire telle que , où est une matrice diagonale . Les matrices normales ont donc la propriété de pouvoir être diagonalisées unitairement . Il existe donc une base orthonormée constituée de vecteurs propres de . Les principaux éléments diagonaux de sont exactement les valeurs propres de . En particulier, toute matrice symétrique réelle et toute matrice hermitienne complexe sont normales. De plus, chaque matrice unitaire est normale. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A = UDU ^ {\ rm {*}}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle A}$

Exemples

Les valeurs propres peuvent être complexes même si la matrice est réelle, et sont donc généralement complexes, comme le montre l'exemple: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ implique U = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \ \ i & -i \\\ end {pmatrix}}, \ quad D = {\ begin {pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \\\ end {pmatrix}}}$.

Ce n'est que dans le cas particulier d'une matrice symétrique réelle que la matrice et les valeurs propres (c'est-à-dire ) sont toujours réelles. ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ fois n}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle D}$

Il est à noter qu'il existe des matrices qui peuvent être diagonalisées, mais pas normales. Dans ce cas, il n'y a pas de diagonalisabilité unitaire, c'est-à-dire qu'elle ne tient que là où n'est pas unitaire, c'est-à-dire . Un exemple de matrice non normale mais diagonalisable est ${\ displaystyle A = TDT ^ {- 1}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T ^ {- 1} \ neq T ^ {*}}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 0 \\\ end {pmatrix}}}$.

Normalité et écarts par rapport à la normalité

La décomposition de la matrice en est également appelée décomposition de Schur ou forme normale de Schur. Fondamentalement: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle UDU ^ {*}}$

${\ displaystyle UDU ^ {*} = \ operatorname {diag} \ {\ lambda _ {1}, \ dotsc, \ lambda _ {n} \} + N}$,

où est une matrice triangulaire supérieure stricte (il n'y a que des zéros sur la diagonale) et les valeurs propres de sont. Ce qui suit s'applique aux matrices normales: ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}> \ lambda _ {2}> \ dotsb> \ lambda _ {n}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ | N \ | _ {F} = 0}$.

N'est pas normal, cela s'appelle l'écart par rapport à la normale. La norme désigne la norme de Frobenius . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ | N \ | _ {F} =: \ delta (A)}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {F}}$

Matrices normales et opérateurs normaux

Un opérateur normal est une généralisation de la matrice normale de deux manières:

1. Une matrice normale décrit un opérateur normal par rapport à une base appropriée (à savoir par rapport à une base orthonormée ), tandis que le terme «opérateur normal» est défini indépendamment de la base,
2. Les matrices normales décrivent des opérateurs normaux sur des espaces de produits scalaires de dimension finie , tandis que les opérateurs normaux sont également (et même principalement) utilisés sur des espaces de dimensions infinies.

La dépendance de base du terme «normal» pour une matrice entre en jeu à travers la définition de «adjoint»: La matrice à être adjoint est définie par la propriété suivante: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {*}}$

${\ displaystyle \ langle Av, w \ rangle = \ langle v, A ^ {*} \, w \ rangle}$pour tout le monde .${\ displaystyle v, w \ in \ mathbb {K} ^ {n}}$

Cette définition peut également être lue indépendamment de la base, mais seulement si les vecteurs de cette définition sont des vecteurs de coordonnées par rapport à une base orthonormée, le produit scalaire peut être écrit comme un produit matriciel (voir aussi matrice (mathématiques) # espaces vectoriels des matrices ), ce qui suit pour toutes les matrices : ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ langle A \ cdot v, w \ rangle = {\ overline {(A \ cdot v)}} ^ {T} \ cdot w = ({\ overline {v}} ^ {T} \ cdot {\ overline {A}} ^ {T}) \ cdot w = {\ overline {v}} ^ {T} \ cdot ({\ overline {A}} ^ {T} \ cdot w) = \ langle v, {\ overline {A}} ^ {T} \ cdot w \ rangle.}$

Ce n'est qu'alors que la matrice à adjointe peut toujours être calculée par conjugaison et transposition. ${\ displaystyle A}$

Littérature

• Gerd Fischer : Algèbre linéaire. (Une introduction pour les étudiants de première année). 13e édition révisée. Vieweg, Braunschweig et al.2002 , ISBN 3-528-97217-3 .