Doğal yoğunluk - Natural density

Gelen sayı teorisi , doğal yoğunluğu (ayrıca şu şekilde de ifade asimptotik yoğunluk veya aritmetik yoğunluğu "büyük" bir nasıl ölçmek için bir yöntemdir) alt kümesi arasında dizi arasında doğal sayılar olup. Esas olarak, n büyüdükçe [1,  n ] aralığını tararken istenen alt kümenin üyeleriyle karşılaşma olasılığına dayanır .

Sezgisel, orada daha olduğu düşünülmektedir pozitif tam daha mükemmel kareler her mükemmel kare zaten pozitif olduğu için, ve diğer birçok pozitif tam yanında bulunmaktadır. Bununla birlikte, pozitif tamsayılar kümesi aslında tam kareler kümesinden daha büyük değildir: her iki küme de sonsuzdur ve sayılabilir ve bu nedenle bire bir karşılık gelebilir . Bununla birlikte, eğer doğal sayılar üzerinden geçilirse, kareler giderek kıt hale gelir. Doğal yoğunluk kavramı, bu sezgiyi doğalların alt kümelerinin tümü için olmasa da çoğu için kesin kılar (bkz . doğal yoğunluğa benzeyen ancak 'nin tüm alt kümeleri için tanımlanan Schnirelmann yoğunluğu ). ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Bir tamsayıdır rasgele aralıklarla [1, arasından seçilirse  n ], daha sonra ait olduğu ihtimali A elemanlarının sayısına oranıdır A [1,  N ] [1 toplam eleman sayısı,  n, ]. Bu olasılık, bazı eğilimi varsa sınırı olarak N sonsuza eğilimi, o zaman bu sınır asimptotik yoğunluğu olarak ifade edilir A . Bu kavram, A kümesinden bir sayı seçme olasılığı olarak anlaşılabilir . Aslında, asimptotik yoğunluk (ve diğer bazı yoğunluk türleri) olasılıksal sayı teorisinde incelenir .

Tanım

Bir alt bir pozitif tam doğal yoğunluğu vardır a unsurlarının oranı ise A tüm arasında doğal sayılar 1 ila n yakınsak için a kadar , n sonsuza eğilimindedir.

Daha açık bir şekilde, eğer herhangi bir doğal sayı n için sayma fonksiyonu a ( n ) olarak tanımlanırsa, A'nın n'den küçük veya ona eşit olan elemanlarının sayısı olarak tanımlanırsa , o zaman A'nın doğal yoğunluğunun α olması tam olarak şu anlama gelir:

a ( n ) / n → α olarak n → ∞. 

Bir A kümesinin doğal yoğunluğu α ise, o zaman 0 ≤ α ≤ 1 olduğu tanımdan çıkar .

Üst ve alt asimptotik yoğunluk

Let herhangi bir put ve için doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi olsun . ${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A.}$${\görüntüleme stili a(n)=|A(n)|}$

Tanımlama üst asimtot yoğunluğu (ayrıca, "üst yoğunluğu" olarak da adlandırılır) arasında göre ${\görüntüleme stili {\üzerine çizgi {d}}(A)}$${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

burada lim sup üst sınırdır . aynı zamanda üst yoğunluk olarak da bilinir.${\görüntüleme stili {\üzerine çizgi {d}}(A)}$${\görüntüleme stili A.}$

Benzer şekilde, 'nin düşük asimptotik yoğunluğu ("düşük yoğunluk" olarak da adlandırılır) ile tanımlanır. ${\görüntüleme stili {\altı çizili {d}}(A)}$${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

burada lim inf alt sınırdır . Söyleyebiliriz biri asimptotik yoğunluğu ise durum olduğu, bu ortak değere eşittir. ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili d(A)}$${\displaystyle {\altı çizili {d}}(A)={\üst çizgi {d}}(A)}$${\görüntüleme stili d(A)}$

Bu tanım şu şekilde yeniden ifade edilebilir:

${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

eğer bu sınır varsa.

Tanımların aşağıdakilerin de geçerli olduğunu ima ettiği kanıtlanabilir. Doğal sayılarla indekslenen artan bir dizi olarak bir alt küme yazılacak olsaydı${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}}$

sonra

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}$

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$

ve sınır varsa. ${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$

Biraz daha zayıf bir yoğunluk kavramı, üst Banach yoğunluğudur ; verilen bir küme olarak tanımlayın${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$${\görüntüleme stili d^{*}(A)}$

${\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{NM\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M +1}}}$

Özellikler ve örnekler

• Eğer d ( A ) bir dizi için var , A , ve bir ^c onun belirtmektedir tamamlayıcı dizi ile ilgili olarak daha sonra d ( A ^c ) = 1 -  d ( A ). ${\displaystyle \mathbb {N} }$
  • Sonuç: ${\displaystyle d(\mathbb {N} )=1.}$

• Eğer ve varsa, o zaman${\görüntüleme stili d(A),d(B),}$${\ Displaystyle d(A\cup B)}$

${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}$

• Pozitif tam sayıların herhangi bir sonlu F kümesi için , d ( F ) = 0.

• Eğer daha sonra tüm kareler grubu, bir d ( A ) = 0.${\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}}$

• Eğer daha sonra çift sayı grubu, bir d ( A ) 0.5 =. Benzer şekilde, elde ettiğimiz herhangi bir aritmetik ilerleme için${\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.}$

• Tüm asal sayıların P kümesi için d ( P ) = 0 olan asal sayı teoreminden elde ederiz .

• Bütün set kare içermeyen tamsayılar yoğunluğu , Daha genel tüm kümesini n ^inci herhangi bir doğal için Güç içermeyen sayılar n yoğunluğu olan Riemann zeta fonksiyonu .${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},}$${\görüntüleme stili \zeta (n)}$

• Bol sayılar kümesi sıfır olmayan yoğunluğa sahiptir. Marc Deléglise 1998'de bol sayılar ve mükemmel sayılar kümesinin yoğunluğunun 0.2474 ile 0.2480 arasında olduğunu gösterdi.

• Set

${\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\sağ\}}$

İkili açılımı tek sayıda basamak içeren sayılar kümesi, asimptotik yoğunluğu olmayan bir kümeye örnektir, çünkü bu kümenin üst yoğunluğu

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m +1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\ kesir {2}{3}},}$

düşük yoğunluğu ise

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m +2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\ kesir {1}{3}}.}$

• Ondalık açılımı 1 rakamıyla başlayan sayılar kümesinin benzer şekilde doğal yoğunluğu yoktur: düşük yoğunluk 1/9 ve üst yoğunluk 5/9'dur. ( Benford yasasına bakınız .)

• Bir düşünün equidistributed dizisini içinde ve monoton bir aile tanımlamak setleri:${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N}}}$${\görüntüleme stili [0,1]}$${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$

${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} :\alpha _{n}<x\}.}$

O zaman, tanımı gereği, herkes için .${\görüntüleme stili d(A_{x})=x}$${\görüntüleme stili x}$

• Eğer S sonra pozitif üst yoğunluk kümesidir Szemeredi'nin teoremi o devletler S keyfi büyük sonlu içeren aritmetik diziler ve Furstenberg-Sarkozy teoremi bazı iki üyesi belirten S kare sayısına göre farklılık göstermektedir.

Diğer yoğunluk fonksiyonları

Doğal sayıların alt kümeleri üzerindeki diğer yoğunluk fonksiyonları benzer şekilde tanımlanabilir. Örneğin, bir A kümesinin logaritmik yoğunluğu limit olarak tanımlanır (varsa)

${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{ \frac {1}{n}}\ .}$

Üst ve alt logaritmik yoğunluklar da benzer şekilde tanımlanır.

Bir tamsayı dizisinin katları kümesi için Davenport-Erdős teoremi , var olduğunda doğal yoğunluğun logaritmik yoğunluğa eşit olduğunu belirtir.

Notlar

Ayrıca bakınız

• Dirichlet yoğunluğu

Referanslar

• Nathanson, Melvyn B. (2000). Sayı Teorisinde Temel Yöntemler . Matematikte Lisansüstü Metinler. 195 . Springer-Verlag . ISBN'si 978-0387989129. Zbl  0953.11002 .
• Niven, İvan (1951). "Dizilerin asimptotik yoğunluğu" . Amerikan Matematik Derneği Bülteni . 57 (6): 420–434. doi : 10.1090/s0002-9904-1951-09543-9 . MR  0044561 . Zbl  0044.03603 .
• Steuding, Jörn (2002). "Olasılıklı sayı teorisi" (PDF) . Arşivlenmiş orijinal (PDF) 22 Aralık 2011 tarihinde . 2014-11-16 alındı .
• Tenenbaum, Gerald (1995). Analitik ve olasılıklı sayılar teorisine giriş . İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları. 46 . Cambridge Üniversitesi Yayınları . Zbl  0831.11001 .

Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerindeki Asimptotik yoğunluktan materyal içermektedir .