Densità naturale - Natural density

In teoria dei numeri , densità naturale (anche indicato come densità asintotica o densità aritmetica ) è un metodo per misurare quanto "grandi" un sottoinsieme del set di numeri naturali è. Si basa principalmente sulla probabilità di incontrare membri del sottoinsieme desiderato quando si esamina l' intervallo [1,  n ] man mano che n cresce grande.

Intuitivamente, si pensa che ci siano più numeri interi positivi che quadrati perfetti , poiché ogni quadrato perfetto è già positivo, e inoltre esistono molti altri interi positivi. Tuttavia, l'insieme degli interi positivi non è di fatto più grande dell'insieme dei quadrati perfetti: entrambi gli insiemi sono infiniti e numerabili e possono quindi essere messi in corrispondenza biunivoca . Tuttavia, se si passa per i numeri naturali, i quadrati diventano sempre più scarsi. La nozione di densità naturale rende questa intuizione precisa per molti, ma non tutti, sottoinsiemi dei naturali (vedi densità di Schnirelmann , che è simile alla densità naturale ma definita per tutti i sottoinsiemi di ). ${\displaystyle \mathbb {N}}$

Se un intero viene selezionato casualmente dall'intervallo [1,  n ], allora la probabilità che appartenga ad A è il rapporto tra il numero di elementi di A in [1,  n ] e il numero totale di elementi in [1,  n ]. Se questa probabilità tende a un qualche limite quando n tende all'infinito, allora questo limite è detto densità asintotica di A . Questa nozione può essere intesa come una sorta di probabilità di scegliere un numero dall'insieme A . Infatti, la densità asintotica (così come alcuni altri tipi di densità) è studiata nella teoria probabilistica dei numeri .

Definizione

Un sottoinsieme A di interi positivi ha densità naturale α se la proporzione degli elementi di A tra tutti i numeri naturali da 1 a n converge ad α quando n tende all'infinito.

Più esplicitamente, se si definisce per ogni numero naturale n la funzione di conteggio a ( n ) come il numero di elementi di A minore o uguale a n , allora la densità naturale di A essendo α significa esattamente che

a ( n ) / n → α come n → ∞. 

Dalla definizione segue che se un insieme A ha densità naturale α allora 0 ≤ α ≤ 1.

Densità asintotica superiore e inferiore

Sia un sottoinsieme dell'insieme dei numeri naturali Per ogni put e . ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A.}$${\displaystyle a(n)=|A(n)|}$

Definire la densità asintotica superiore (chiamata anche "densità superiore") di by ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

dove lim sup è il limite superiore . è anche conosciuto semplicemente come la densità superiore di${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$${\displaystyle A.}$

Allo stesso modo, , la densità asintotica inferiore (chiamata anche "densità inferiore") di , è definita da ${\displaystyle {\underline {d}}(A)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

dove lim inf è il limite inferiore . Si può dire che ha densità asintotica se , nel qual caso è uguale a questo valore comune. ${\displaystyle A}$${\displaystyle d(A)}$${\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}$${\displaystyle d(A)}$

Questa definizione può essere riformulata nel modo seguente:

${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

se questo limite esiste.

Si può dimostrare che le definizioni implicano che vale anche quanto segue. Se si scrivesse un sottoinsieme di come una sequenza crescente indicizzata dai numeri naturali ${\displaystyle \mathbb {N}}$

${\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}}$

poi

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}$

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$

e se il limite esiste. ${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$

Una nozione di densità alquanto più debole è la densità di Banach superiore ; dato un insieme , definisci come ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle d^{*}(A)}$

${\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{NM\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots,N\}|}{N-M +1}}}$

Proprietà ed esempi

• Se d ( A ) esiste per qualche insieme A , e A ^c denota il suo insieme complementare rispetto a allora d ( A ^c ) = 1 −  d ( A ). ${\displaystyle \mathbb {N}}$
  • Corollario: ${\displaystyle d(\mathbb {N} )=1.}$

• Se ed esisti, allora${\displaystyle d(A), d(B),}$${\displaystyle d(A\coppa B)}$

${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}$

• Per ogni insieme finito F di interi positivi, d ( F ) = 0.

• Se è l'insieme di tutti i quadrati, allora d ( A ) = 0.${\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}}$

• Se è l'insieme di tutti i numeri pari, allora d ( A ) = 0,5. Allo stesso modo, per qualsiasi progressione aritmetica otteniamo${\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.}$

• Per l'insieme P di tutti i primi si ottiene dal teorema dei numeri primi che d ( P ) = 0.

• L'insieme di tutti gli interi privo di quadrati ha densità Più in generale, l'insieme di tutte le n ^th numeri--Power per ogni naturale n ha densità dove è la funzione zeta di Riemann .${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},}$${\displaystyle \zeta (n)}$

• L'insieme dei numeri abbondanti ha densità diversa da zero. Marc Deléglise ha mostrato nel 1998 che la densità dell'insieme dei numeri abbondanti e dei numeri perfetti è compresa tra 0,2474 e 0,2480.

• Il set

${\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infty}\left\{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1\right\}}$

di numeri la cui espansione binaria contiene un numero dispari di cifre è un esempio di un insieme che non ha una densità asintotica, poiché la densità superiore di questo insieme è

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m +1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\ frac {2}{3}},}$

mentre la sua densità inferiore è

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m +2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\ frac {1}{3}}.}$

• Analogamente, l'insieme dei numeri la cui espansione decimale inizia con la cifra 1 non ha densità naturale: la densità inferiore è 1/9 e la densità superiore è 5/9. (Vedi la legge di Benford .)

• Si consideri un sequenza di equidistributed in e definire una famiglia monotona di insiemi:${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$

${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} :\alpha _{n}<x\}.}$

Poi, per definizione, per tutti .${\displaystyle d(A_{x})=x}$${\displaystyle x}$

• Se S è un insieme di densità superiore positiva, il teorema di Szemerédi afferma che S contiene progressioni aritmetiche finite arbitrariamente grandi e il teorema di Furstenberg-Sárközy afferma che circa due membri di S differiscono di un numero quadrato.

Altre funzioni di densità

Altre funzioni di densità su sottoinsiemi dei numeri naturali possono essere definite analogamente. Ad esempio, la densità logaritmica di un insieme A è definita come limite (se esiste)

${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{ \frac {1}{n}}\ .}$

Anche le densità logaritmiche superiori e inferiori sono definite in modo analogo.

Per l'insieme dei multipli di una sequenza intera, il teorema di Davenport-Erdős afferma che la densità naturale, quando esiste, è uguale alla densità logaritmica.

Appunti

Guarda anche

• Densità di Dirichlet

Riferimenti

• Nathanson, Melvyn B. (2000). Metodi elementari in teoria dei numeri . Testi di laurea in matematica. 195 . Springer-Verlag . ISBN 978-0387989129. Zbl  0953.11002 .
• Niven, Ivan (1951). "La densità asintotica delle sequenze" . Bollettino dell'American Mathematical Society . 57 (6): 420-434. doi : 10.1090/s0002-9904-1951-09543-9 . MR  0.044.561 . Zbl  0044.03603 .
• Steuding, Jörn (2002). "Teoria probabilistica dei numeri" (PDF) . Archiviato dall'originale (PDF) il 22 dicembre 2011 . Estratto 16-11-2014 .
• Tenenbaum, Gerald (1995). Introduzione alla teoria dei numeri analitica e probabilistica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 46 . Cambridge University Press . Zbl  0831.11001 .

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