Çok terimli test - Multinomial test

Olarak istatistik , çokterimli testi test olan boş hipotezinin bir parametreleri bu çok terimli dağılım belirtilen değerlere eşit olur. Kategorik veriler için kullanılır; Read ve Cressie'ye bakın.

Her biri kategorilerden birine girdiği gözlemlenen bir madde örneği ile başlayarak . Her hücrede gözlenen madde sayısı olarak tanımlamak mümkündür . Buradan${\görüntüleme stili ~N~}$${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle ~\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})~}$${\displaystyle ~\sum _{i=1}^{k}x_{i}=N~.}$

Daha sonra, burada bir parametre vektörü tanımlayın : Bunlar, boş hipotez altındaki parametre değerleridir . ${\displaystyle ~H_{0}:{\boldsymbol {\pi }}=(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{k})~,}$${\displaystyle ~\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}=1~.}$

Sıfır hipotezi altında gözlemlenen konfigürasyonun kesin olasılığı şu şekilde verilir: ${\görüntüleme stili ~\mathbf {x} ~}$

${\displaystyle ~\operatöradı {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \sağ)_{0}=N!\,\prod _{i=1}^{k}{\frac {\ pi _{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}~.}$

Test için anlamlılık olasılığı, sıfır hipotezi doğruysa, gözlemlenen veri kümesinin veya gözlenenden daha az olası bir veri kümesinin ortaya çıkma olasılığıdır. Bir kullanarak kesin testi , bu şekilde hesaplanır

${\displaystyle ~p_{\mathcal {[sig]}}=\sum _{\mathbf {y} \,:\;\operatöradı {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \sağ)\ ,\leq \,\operatöradı {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \sağ)_{0}}\operatöradı {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \sağ) ~}$

toplamın, tüm sonuçların üzerinde, gözlemlenen kadar veya daha az olası olduğu durumlarda. Uygulamada bu, hesaplama açısından zahmetli hale gelir ve artar, bu nedenle muhtemelen yalnızca küçük numuneler için kesin testler kullanmaya değer. Daha büyük örnekler için asimptotik yaklaşımlar yeterince doğrudur ve hesaplanması daha kolaydır. ${\görüntüleme stili ~k~}$${\görüntüleme stili ~N~}$

Bu yaklaşımlardan biri olabilirlik oranıdır . Bir alternatif hipotez altında, her bir değer tanımlanabilir tahmin maksimum olabilirlik ile değiştirilir gözlenen konfigürasyonun tam olarak olasılık ile verilir alternatif hipotez altında ${\displaystyle ~\pi _{i}~}$${\displaystyle ~p_{i}={\frac {\;x_{i}\,}{N}}~.}$${\görüntüleme stili ~\mathbf {x} ~}$

${\displaystyle ~\operatöradı {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \sağ)_{A}=N!\;\prod _{i=1}^{k}{\frac {\ ;p_{i}^{x_{i}}\,}{x_{i}!}}~.}$

Bu iki olasılık arasındaki olabilirlik oranının doğal logaritması , çarpılırsa olabilirlik oranı testi istatistiğidir.${\displaystyle ~[{\mathcal {LR}}]~,}$${\görüntüleme stili ~-2~,}$

${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])=-2\;\sum _{i=1}^{k}x_{i}\ln \left({\frac {\ pi _{i}}{p_{i}}}\sağ)~.}$

(Faktör , aynı uygulama için yaygın olarak kullanılan tanıdık bir istatistikle uygun bir karşılaştırma için istatistiği asimptotik olarak ki-kare dağıtılmış hale getirmek için seçilir.) ${\görüntüleme stili ~-2~}$

Boş hipotez doğru ise, o zaman olduğu gibi artar, dağılımı o kadar yakınsak ki-kare ile serbestlik derecesine. Bununla birlikte, sonlu numune boyutları için, momentlerinin ki-kareninkinden daha büyük olduğu uzun zamandır bilinmektedir (örneğin Lawley) , bu nedenle tip I hata olasılığını (yanlış pozitifler) şişirmektedir . Ki-karenin momentleri ile test istatistiğinin momentleri arasındaki fark Williams'ın bir fonksiyonudur , ilk anın , test istatistiğinin şu şekilde verilen bir faktöre bölündüğü kadarıyla eşleştirilebileceğini göstermiştir . ${\görüntüleme stili ~N~}$${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$${\görüntüleme stili ~k-1~}$${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$${\görüntüleme stili ~N^{-1}~.}$${\görüntüleme stili ~N^{-2}~}$

${\displaystyle ~q_{1}=1+{\frac {\;\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}^{-1}\,-\,1\;}{ 6N(k-1)}}~.}$

Boş hipotezin tüm değerlerin eşit olduğu (yani tekdüze bir dağılımı şart koştuğu) olduğu özel durumda , bu, aşağıdakileri basitleştirir: ${\displaystyle \pi _{i}}$${\görüntüleme stili ~1/k~}$

${\displaystyle ~q_{1}=1+{\frac {\,k+1\,}{\,6N\,}}~.}$

Daha sonra, Smith ve ark . Bu faktörün eşit değerlerinin olması durumunda , ilk momentle eşleşen bir bölme faktörü türetilmiştir.${\görüntüleme stili ~N^{-3}~.}$${\displaystyle ~\pi _{i}~,}$

${\displaystyle ~q_{2}=1+{\frac {\,k+1\,}{\,6N\,}}+{\frac {\;k^{2}\,}{\;6N ^{2}\,}}~.}$

Boş hipotez, Pearson'ın ki-kare testi kullanılarak da test edilebilir.

${\displaystyle ~\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\;(x_{i}-E_{i})^{2}\,}{E_{ ben}}}~}$

sıfır hipotezi altında kategorideki beklenen vaka sayısı nerede . Bu istatistik aynı zamanda , sıfır hipotezi doğru olduğunda, ancak bunu yukarıdan değil de aşağıdan yaptığında, serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımına yakınsar , bu nedenle küçük numuneler için düzeltilmemiş versiyonuna tercih edilebilir . ${\displaystyle ~E_{i}=N\pi _{i}~}$${\görüntüleme stili ~i~}$${\görüntüleme stili ~k-1~}$${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$

Referanslar