Test multinomiale - Multinomial test

In statistica , il test multinomiale è il test dell'ipotesi nulla che i parametri di una distribuzione multinomiale siano uguali a valori specificati. Viene utilizzato per i dati categorici; vedi Leggi e Cressie.

A partire da un campione di elementi ciascuno dei quali è stato osservato rientrare in una delle categorie. È possibile definire come i numeri osservati di elementi in ciascuna cella. Quindi${\displaystyle ~N~}$${\displaystyle k}$${\displaystyle ~\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots,x_{k})~}$${\displaystyle ~\sum _{i=1}^{k}x_{i}=N~.}$

Quindi, definendo un vettore di parametri dove: Questi sono i valori dei parametri sotto l' ipotesi nulla . ${\displaystyle ~H_{0}:{\boldsymbol {\pi }}=(\pi _{1},\pi _{2},\ldots,\pi _{k})~,}$${\displaystyle ~\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}=1~.}$

L'esatta probabilità della configurazione osservata sotto l'ipotesi nulla è data da ${\displaystyle ~\mathbf {x} ~}$

${\displaystyle ~\operatorname {\mathbb {P}} \left(\mathbf {x} \right)_{0}=N!\,\prod _{i=1}^{k}{\frac {\ pi _{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}~.}$

La probabilità di significatività per il test è la probabilità di occorrenza dell'insieme di dati osservato, o di un insieme di dati meno probabile di quello osservato, se l'ipotesi nulla è vera. Usando un test esatto , questo viene calcolato come

${\displaystyle ~p_{\mathcal {[sig]}}=\sum _{\mathbf {y} \,:\;\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \right)\ ,\leq \,\nomeoperatore {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \right)_{0}}\nomeoperatore {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \right) ~}$

dove la somma varia su tutti i risultati tanto probabili quanto, o meno probabili, di quelli osservati. In pratica questo diventa computazionalmente oneroso man mano che aumenta, quindi probabilmente vale la pena utilizzare test esatti solo per piccoli campioni. Per campioni più grandi, le approssimazioni asintotiche sono sufficientemente accurate e più facili da calcolare. ${\displaystyle ~k~}$${\displaystyle ~N~}$

Una di queste approssimazioni è il rapporto di verosimiglianza . Si può definire un'ipotesi alternativa sotto la quale ogni valore è sostituito dalla sua stima di massima verosimiglianza La probabilità esatta della configurazione osservata sotto l'ipotesi alternativa è data da ${\displaystyle ~\pi _{i}~}$${\displaystyle ~p_{i}={\frac {\;x_{i}\,}{N}}~.}$${\displaystyle ~\mathbf {x} ~}$

${\displaystyle ~\operatorname {\mathbb {P}} \left(\mathbf {x} \right)_{A}=N!\;\prod _{i=1}^{k}{\frac {\ ;p_{i}^{x_{i}}\,}{x_{i}!}}~.}$

Il logaritmo naturale del rapporto di verosimiglianza, tra queste due probabilità, moltiplicato per è quindi la statistica per il test del rapporto di verosimiglianza${\displaystyle ~[{\mathcal {LR}}]~,}$${\displaystyle ~-2~,}$

${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])=-2\;\sum _{i=1}^{k}x_{i}\ln \left({\frac {\ pi _{i}}{p_{i}}}\right)~.}$

(Il fattore viene scelto per rendere la statistica distribuita asintoticamente al chi-quadrato, per un comodo confronto con una statistica familiare comunemente usata per la stessa applicazione.) ${\displaystyle ~-2~}$

Se l'ipotesi nulla è vera, allora al crescere la distribuzione di converge a quella del chi quadrato con gradi di libertà. Tuttavia è noto da tempo (es. Lawley) che per dimensioni campionarie finite, i momenti di sono maggiori di quelli del chi quadrato, gonfiando così la probabilità di errori di tipo I (falsi positivi). La differenza tra i momenti del chi-quadrato e quelli della statistica test sono una funzione di Williams ha mostrato che il primo momento può essere abbinato fino a quando la statistica test è divisa per un fattore dato da ${\displaystyle ~N~}$${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$${\displaystyle ~k-1~}$${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$${\displaystyle ~N^{-1}~.}$${\displaystyle ~N^{-2}~}$

${\displaystyle ~q_{1}=1+{\frac {\;\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}^{-1}\,-\,1\;}{ 6N(k-1)}}~.}$

Nel caso particolare in cui l'ipotesi nulla è che tutti i valori siano uguali a (cioè si stipula una distribuzione uniforme), ciò si semplifica in ${\displaystyle \pi _{i}}$${\displaystyle ~1/k~}$

${\displaystyle ~q_{1}=1+{\frac {\,k+1\,}{\,6N\,}}~.}$

Successivamente, Smith et al . derivato un fattore di divisione che corrisponde al primo momento per quanto Per il caso di valori uguali di questo fattore è ${\displaystyle ~N^{-3}~.}$${\displaystyle ~\pi _{i}~,}$

${\displaystyle ~q_{2}=1+{\frac {\,k+1\,}{\,6N\,}}+{\frac {\;k^{2}\,}{\;6N ^{2}\,}}~.}$

L'ipotesi nulla può essere verificata anche utilizzando il test del chi quadrato di Pearson

${\displaystyle ~\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\;(x_{i}-E_{i})^{2}\,}{E_{ io}}}~}$

dove è il numero atteso di casi nella categoria sotto l'ipotesi nulla. Questa statistica converge anche a una distribuzione chi-quadrato con gradi di libertà quando l'ipotesi nulla è vera ma lo fa dal basso, per così dire, piuttosto che dall'alto come fa, quindi potrebbe essere preferibile alla versione non corretta di per piccoli campioni. ${\displaystyle ~E_{i}=N\pi _{i}~}$${\displaystyle ~i~}$${\displaystyle ~k-1~}$${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$

Riferimenti