Yol uzayı fibrasyonu - Path space fibration

Cebirsel topolojide, temelli bir uzay üzerindeki yol uzayı fibrasyonu , formun bir fibrasyonudur . ${\görüntüleme stili (X,*)}$

${\displaystyle \Omega X\hookrightarrow PX{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\to }}X}$

nerede

• ${\displaystyle PX=\operatöradı {Harita} (I,X)=\{f\colon I\to X\mid f\ {\text{sürekli}},f(0)=*\}}$kompakt-açık topoloji ile donatılmış , X'in yol uzayı olarak adlandırılan alandır ,
• ${\görüntüleme stili\Omega X}$X'in taban noktasının üzerindeki fiberdir ; Bu şekilde o halka alanı arasında X .${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$

Alan tüm haritalar oluşur I için X taban puan olarak korumaz; denir serbest yol alan bir X ve Faybreyşın diyelim ki, tarafından verilen , denir serbest yol alan Faybreyşın . ${\görüntüleme stili X^{I}}$${\displaystyle X^{I}\to X}$${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$

Yol uzayı fibrasyonunun eşleme konisine göre ikili olduğu anlaşılabilir . İndirgenmiş fibrasyon, haritalama lifi veya eşdeğer olarak homotopi lifi olarak adlandırılır .

Yol uzayını eşleme

Herhangi bir harita ise, o zaman haritalama yolu uzayı , boyunca fibrasyonun geri çekilmesidir . Bir fibrasyon bir fibrasyona geri çekildiğinden, eğer Y tabanlıysa, bir fibrasyona sahiptir. ${\displaystyle f\kolon X\to Y}$ ${\görüntüleme stili P_{f}}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle Y^{I}\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$${\görüntüleme stili f}$

${\displaystyle F_{f}\hookrightarrow P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

burada ve bir Homotopy elyaf , Faybreyşın bir geri çekilme boyunca . ${\görüntüleme stili p(x,\chi )=\chi (0)}$${\displaystyle F_{f}}$${\displaystyle PY{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\to }}Y}$${\görüntüleme stili f}$

Not aynı zamanda kompozisyon ${\görüntüleme stili f}$

${\displaystyle X{\overset {\phi }{\to }}P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

nerede İlk harita gönderir x için ; burada value ile sabit yolu belirtir . Açıkça, bir homotopi denkliğidir; bu nedenle, yukarıdaki ayrıştırma, herhangi bir haritanın homotopi denkliğine kadar bir fibrasyon olduğunu söyler. ${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili (x,c_{f(x)})}$${\displaystyle c_{f(x)}}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili\phi }$

Eğer ile başlamak için bir Faybreyşın, sonra harita a, fiber Homotopy eşdeğerlik sonuç olarak, bir elyaf ve taban noktasının yolu-bileşen üzerinde Homotopy fibere Homotopy eşdeğer arasında . ${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle \phi \iki nokta üst üste X\to P_{f}}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle F_{f}}$${\görüntüleme stili f}$

Moore'un yol uzayı

Tanım olarak, X uzayındaki bir yol, I ila X birim aralığından bir haritadır . Yine tanım olarak, iki yolun ürünü bu şekilde yol ile verilen: ${\görüntüleme stili \alfa ,\beta }$${\displaystyle \alpha (1)=\beta (0)}$${\displaystyle \beta \cdot \alpha \colon I\to X}$

${\displaystyle (\beta \cdot \alpha )(t)={\begin{kasalar}\alpha (2t)&{\text{if }}0\leq t\leq 1/2\\\beta (2t- 1)&{\text{if }}1/2\leq t\leq 1\\\end{durumlar}}}$.

Bu ürün, genel olarak, doğrudan görüldüğü gibi , burun üzerinde çağrışım yapmamaktadır. Bu başarısızlığın bir çözümü homotopi sınıflarına geçmektir: birinin . Başka bir çözüm, aşağıda açıklanan Moore'un yol uzayı ve Moore'un yol uzayı fibrasyonu kavramlarına yol açan, keyfi uzunluklardaki yollarla çalışmaktır. (Daha karmaşık bir çözüm, kompozisyonu yeniden düşünmektir : keyfi bir kompozisyon ailesiyle çalışın; Lurie'nin bir operad kavramına yol açan makalesinin girişine bakın .) ${\displaystyle (\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha \neq \gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )}$${\displaystyle [(\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha ]=[\gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )]}$

Tabanlı bir alan verildiğinde , izin verdik ${\görüntüleme stili (X,*)}$

${\displaystyle P'X=\{f\kolon [0,r]\to X\mid r\geq 0,f(0)=*\}.}$

Bu kümenin bir elemanı f , aralık için benzersiz bir uzantıya sahiptir, öyle ki . Böylece küme, 'nin bir alt uzayı olarak tanımlanabilir . Ortaya çıkan boşluk denir Moore yol alan bir X sonra, John Coleman Moore kavramını ortaya. Sonra, daha önce olduğu gibi, bir fibrasyon var, Moore'un yol uzayı fibrasyonu : ${\ Displaystyle {\widetilde {f}}}$${\görüntüleme stili [0,\infty )}$${\displaystyle {\widetilde {f}}(t)=f(r),\,t\geq r}$${\displaystyle \operatöradı {Harita} ([0,\infty ),X)}$

${\displaystyle \Omega 'X\hookrightarrow P'X{\overset {p}{\to }}X}$

burada p , her gönderir f : [0, r ] → X için f ( R ) ve bir elyaftır. O çıkıyor ve homotopi eşdeğerdir. ${\görüntüleme stili \Omega 'X=p^{-1}(*)}$${\görüntüleme stili\Omega X}$${\görüntüleme stili\Omega 'X}$

Şimdi ürün haritasını tanımlıyoruz:

${\displaystyle \mu :P'X\times \Omega 'X\to P'X}$

yazan: için ve , ${\displaystyle f\colon [0,r]\to X}$${\displaystyle g\kolon [0,s]\to X}$

${\displaystyle \mu (g,f)(t)={\begin{cases}f(t)&{\text{if }}0\leq t\leq r\\g(tr)&{\text{ if }}r\leq t\leq s+r\\\end{durumlar}}}$.

Bu ürün açıkça çağrışımsaldır. Özellikle, ile u sınırlı Ω ' x x Ω ' X , biz Ω buna sahip ' X, a, topolojik monoid (bütün boşlukların kategorisinde). Ayrıca, bu monoid Ω ' X hareket üzerinde P ' , X , orijinal aracılığıyla u . Aslında, bir Ω' X- fibrasyonudur . ${\ Displaystyle p:P'X\to X}$

Notlar

Referanslar

• Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Cebirsel Topoloji Ders Notları (PDF) . Matematik Yüksek Lisans Çalışmaları. 35 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği . s. xvi+367. doi : 10.1090/gsm/035 . ISBN'si 0-8218-2160-1. MR  1841974 .
• May, J. Peter (1999). Cebirsel Topolojide Kısa Bir Kurs (PDF) . Chicago Matematik Dersleri. Chicago, IL: Chicago Üniversitesi Yayınları . s. x+243. ISBN'si 0-226-51182-0. MR  1702278 .
• Whitehead, George W. (1978). Homotopi teorisinin unsurları . Matematikte Lisansüstü Metinler . 61 (3. baskı). New York-Berlin: Springer-Verlag . s. xxi+744. ISBN'si 978-0-387-90336-1. MR  0516508 .