Kavşak numarası - Intersection number

Gelen matematik ve özellikle de cebirsel geometri , kesişim sayısı iki eğri yüksek boyutlarda, çoklu (en fazla 2) eğrileri için kesişen sayısını sayan ve düzgün muhasebe sezgisel kavramını genelleştirilmiş teğet . Bézout teoremi gibi sonuçları ifade etmek için bir kesişim numarası tanımına ihtiyaç vardır .

Kesişme sayısı, bir olması gereken x ve y eksenlerinin kesişimi gibi belirli durumlarda açıktır . Karmaşıklık, teğet noktalarındaki kesişmeleri ve pozitif boyutlu kümeler boyunca kesişmeleri hesaplarken ortaya çıkar. Örneğin, bir düzlem bir çizgi boyunca bir yüzeye teğetse, çizgi boyunca kesişme sayısı en az iki olmalıdır. Bu sorular kesişim teorisinde sistematik olarak tartışılmaktadır .

Riemann yüzeyleri için tanım

Let X, bir olmak Riemann yüzeyi . O zaman X üzerindeki iki kapalı eğrinin kesişme sayısı, integral açısından basit bir tanıma sahiptir. X üzerindeki her kapalı c eğrisi için (yani, düzgün fonksiyon ), diferansiyel bir kompakt destek biçimini , c boyunca integrallerin X üzerindeki integrallerle hesaplanabilmesi özelliğiyle ilişkilendirebiliriz : ${\displaystyle c:S^{1}\to X}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$

${\displaystyle \int _{c}\alpha =-\iint _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c})}$, X üzerindeki her kapalı (1-) diferansiyel için ,${\görüntüleme stili \alfa }$

nerede olduğunu kama ürün farklılıklarının ve bir Hodge yıldız . Daha sonra, iki kapalı eğrinin, a ve b'nin X üzerindeki kesişim sayısı şu şekilde tanımlanır: ${\görüntüleme stili \kama }$${\görüntüleme stili *}$

${\displaystyle a\cdot b:=\iint _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\ int _{b}\eta _{a}}$.

Aşağıdaki gibi sezgisel bir tanımı vardır. Bunlar arasında bir çeşit Dirac delta eğrisi boyunca c bir diferansiyelini alarak yapılır, birim basamak fonksiyonu boyunca 0 1'den damla c . Daha biçimsel, basit bir kapalı eğri için belirleyici başlar c üzerinde X , bir işlev f _c sağlayarak etrafında küçük bir şerit olabilir , c bir halka şeklinde. as ve öğesinin sol ve sağ kısımlarını adlandırın . Ardından , c , etrafında , sol ve sağ kısımlar ve ile daha küçük bir alt şerit alın . Ardından f _{c'yi şu şekilde} tanımlayın : ${\displaystyle \eta _{c}}$${\görüntüleme stili\Omega }$${\ Displaystyle \ Omega \ setminus c}$${\görüntüleme stili \Omega ^{+}}$${\görüntüleme stili \Omega ^{-}}$${\görüntüleme stili \Omega _{0}}$${\displaystyle \Omega _{0}^{-}}$${\displaystyle \Omega _{0}^{+}}$

${\displaystyle f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\ {\mbox{pürüzsüz enterpolasyon}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{durumlar}}}$.

Tanım daha sonra keyfi kapalı eğrilere genişletilir. Her kapalı eğri C ile X bir homolog için bazı basit kapalı eğriler için C _i olduğu, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}}$

${\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i} \int _{c_{i}}\omega }$, her diferansiyel için .${\ Displaystyle \ omega }$

tarafından tanımlayın${\displaystyle \eta _{c}}$

${\displaystyle \eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}}$.

Cebirsel çeşitlerin tanımı

Cebirsel çeşitler durumunda olağan yapıcı tanım adımlarla ilerler. Aşağıda verilen tanım, tekil olmayan bir X çeşidindeki bölenlerin kesişim sayısı içindir .

1. Tanımdan doğrudan hesaplanabilen tek kesişim sayısı , x noktasında genel konumda olan hiperyüzeylerin (birinci eş boyutlu X'in alt türleri) kesişimidir . Özellikle, bir tekil olmayan çeşitli olduğunu varsayalım X ve n hiperyüzeylerin Z ₁ , ..., Z _n yerel denklemler var f ₁ , ..., f _n yakın x polinomları için f _i ( t ₁ , ..., t _n ), aşağıdakiler geçerli olacak şekilde:

• ${\displaystyle n=\dim _{k}X}$.
• ${\displaystyle f_{i}(x)=0}$tüm ben için . (yani, x hiperyüzeylerin kesişim noktasındadır.)
• ${\displaystyle \dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0}$ (yani bölenler genel konumdadır.)
• De tekil olmayan vardır x .${\displaystyle f_{i}}$

Daha sonra noktasında kesişme sayısı x (adı kesişme çokluğu en x ) 'dir

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots , f_{n})}$,

burada lokal bir halka olduğu , X de , x ve boyut bir şekilde boyut k -vector alanı. Bu , x'de kaybolan polinomların maksimal idealinin nerede olduğu yerelleştirme olarak hesaplanabilir ve U , x'i içeren ve f _i'nin tekilliklerinin hiçbirini içermeyen açık bir afin kümedir . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$

2. Genel konumdaki hiperyüzeylerin kesişim sayısı, her kesişim noktasındaki kesişme sayılarının toplamı olarak tanımlanır.

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x} }$

3. Tanımı doğrusallıkla etkin bölenlere genişletin , yani,

${\displaystyle (nZ_{1}\cdots Z_{n})=n(Z_{1}\cdots Z_{n})}$ve .${\displaystyle ((Y_{1}+Z_{1})Z_{2}\cdots Z_{n})=(Y_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})+(Z_{1}Z_ {2}\cdots Z_{n})}$

4. Her bölenin bazı etkin bölenler P ve N için D = P - N şeklinde benzersiz bir ifadeye sahip olduğunu fark ederek tanımı genel konumdaki keyfi bölenlere genişletin . Diyelim ki D _i = P _ben - N _{ben olsun} ve formun kurallarını kullanın

${\displaystyle ((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n})=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n})-(N_{1}P_ {2}\cdots P_{n})}$

kavşağı dönüştürmek için.

5. Rastgele bölenlerin kesişim sayısı, daha sonra kesişebileceğimiz, genel konumdaki lineer eşdeğer bölenleri bulmamızı garanti eden bir " Chow'un hareketli lemması " kullanılarak tanımlanır .

Kesişme numarasının tanımının, bu sayının hesaplanmasında bölenlerin görünme sırasına bağlı olmadığına dikkat edin.

Serre'nin Tor formülü

Let V ve W, bir, iki alt varyetelerinden olarak tekil olmayan yansıtmalı çeşitli X örneğin loş (yani V + karanlık () B ) = sönük ( X ). O zaman V ∩ W kesişiminin sonlu bir nokta kümesi olmasını bekleriz . Bunları saymaya çalışırsak iki türlü sorun ortaya çıkabilir. İlk olarak, V ∩ W'nin beklenen boyutu sıfır olsa bile , gerçek kesişim büyük boyutta olabilir. Örneğin, bir yansıtmalı düzlemde bir yansıtmalı doğrunun kendi kendisiyle kesişme sayısını bulmaya çalışabiliriz . İkinci potansiyel problem, kesişim sıfır boyutlu olsa bile enine olmayabilir. Örneğin, V , bir W düzlem eğrisine teğet bir doğru olabilir .

İlk problem , yukarıda detaylı olarak tartışılan kesişim teorisinin mekanizmasını gerektirir . Temel fikir, hareketli lemma kullanarak V ve W'yi daha uygun alt türlerle değiştirmektir . Öte yandan, ikinci problem, V veya W'yi hareket ettirmeden doğrudan çözülebilir . 1965'te Jean-Pierre Serre , değişmeli cebir ve homolojik cebir yöntemleriyle her kesişme noktasının çokluğunun nasıl bulunacağını açıkladı . Geometrik bir kesişim kavramı ile türetilmiş bir tensör ürününün homolojik bir kavramı arasındaki bu bağlantı etkili olmuştur ve özellikle değişmeli cebirde çeşitli homolojik varsayımlara yol açmıştır .

Serre Tor formülü aşağıdaki sonucudur. Let X, bir olmak normal çeşitli V ve W, örneğin tamamlayıcı boyutun iki alttürlere V ∩ W sıfır boyutludur. Herhangi bir nokta için x ∈ V ∩ W , izin bir olmak yerel halka bölgesinin x . Yapı kasnaklar arasında V ve W de x ideallerine karşılık I , J ⊆ A . Daha sonra çokluğu V ∩ W noktasında x olan ${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}_{X,x}}$

${\displaystyle e(X;V,W;x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\mathrm {uzunluk} _{A}(\operatöradı {Tor} _{i}^{A}(A/I,A/J))}$

burada uzunluk, bir modülün yerel bir halka üzerindeki uzunluğudur ve Tor, Tor işlevidir . Tüm V ve W, bir çapraz konuma hareket ettirilebilen, bu homoloji formül beklenen bir cevap üretir. Dolayısıyla, örneğin, eğer V ve W, bir araya enine de x , çokluk 1. ise V bir noktasında bir teğet çizgi x a parabol W bir noktasında bir düzlemde x , daha sonra en çokluğu x 2'dir.

Eğer her iki V ve W ile lokal olarak kesilir normal dizileri , örneğin bunlar ise tekil olmayan dolayısıyla çokluğu pozitif, daha sonra bütün yüksek Tor ortadan olarak yukarıdaki formülde,. Keyfi davadaki pozitiflik, Serre'nin çokluk varsayımlarından biridir .

Diğer tanımlar

Tanım, örneğin sadece noktalar yerine alt çeşitler boyunca kesişmelere veya keyfi tam çeşitlere büyük ölçüde genelleştirilebilir.

Cebirsel topolojide, kesişme numarası, kap çarpımının Poincare ikilisi olarak görünür . Özel olarak, iki manifold, eğer X ve Y kesişme enine bir manifold içinde, M , kesişme homoloji sınıfıdır Poincare çift kap ürününün Poincaré eşlenikler X ve Y . ${\displaystyle D_{M}X\smile D_{M}Y}$

Kesişme numarasının Snapper-Kleiman tanımı

Snapper tarafından 1959-60'da tanıtılan ve daha sonra Cartier ve Kleiman tarafından geliştirilen, bir Euler özelliği olarak bir kesişim numarasını tanımlayan bir kavşak numarası yaklaşımı vardır.

Let X, bir program üzerinden bir şema olarak S , Pic ( X ) Picard grubu arasında X ve G kategorisinin Grothendieck grubu tutarlı kasnaklar üzerinde X destek uygun bir yere artinian subscheme arasında S .

Her biri için L Pic (içinde X ), Endomorfizma tanımlamak C ₁ ( L arasında) G (denilen birinci Chern sınıf arasında L ile)

${\displaystyle c_{1}(L)F=FL^{-1}\otimes F.}$

Bir çizgi demeti ile gerdirme kesin olduğu için G üzerinde katkı maddesidir . Bir de şunlar var:

• ${\displaystyle c_{1}(L_{1})c_{1}(L_{2})=c_{1}(L_{1})+c_{1}(L_{2})-c_{1} (L_{1}\otimes L_{2})}$; özellikle ve işe gidip gelmek.${\displaystyle c_{1}(L_{1})}$${\displaystyle c_{1}(L_{2})}$
• ${\displaystyle c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1}).}$
• ${\displaystyle \dim \operatöradı {supp} c_{1}(L)F\leq \dim \operatöradı {supp} F-1}$(bu önemsiz değildir ve bir dévissage argümanından kaynaklanmaktadır .)

kavşak numarası

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}}$

L _i 's satır demetleri daha sonra şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\chi (c_{1}(L_{1})\cdots c_{1}(L_{r})F) }$

burada χ, Euler karakteristiğini gösterir . Alternatif olarak, biri tümevarım yoluyla:

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\sum _{0}^{r}(-1)^{i}\chi (\kama ^{i}) (\oplus _{0}^{r}L_{j}^{-1})\otimes F).}$

Her K sabitlenir, simetrik bir fonksiyonel L _i 'in. ${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F}$

Eğer L _ı = O _X ( D _I ) bazı Cartier bölenler D _I 'in, o zaman yazacak kesişme sayısı. ${\displaystyle D_{1}\cdot {\dots }\cdot D_{r}}$

Izin bir morfizmanın olmak S -schemes, satır demetleri X ve F içinde , G ile . Sonra ${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\displaystyle L_{i},1\leq i\leq m}$${\displaystyle m\geq \dim \operatöradı {supp} F}$

${\displaystyle f^{*}L_{1}\cdots f^{*}L_{m}\cdot F=L_{1}\cdots L_{m}\cdot f_{*}F}$.

Düzlem eğriler için kesişim çarpanları

Orada her bir üçlü için atama benzersiz bir fonksiyonudur yansıtmalı eğrileri bir çift oluşan ve içinde, bir nokta ve bir numara olarak adlandırılan kesişme sayıda arasında ve en aşağıdaki özelliklere bu tatmin: ${\görüntüleme stili (P,Q,p)}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili K[x,y]}$${\displaystyle p\in K^{2}}$${\ Displaystyle I_{p}(P,Q)}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili p}$

1. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P)}$
2. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=\infty }$ancak ve ancak ve en sıfır olan bir ortak faktör var${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili p}$
3. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=0}$eğer ve sadece biri veya sıfır değilse (yani nokta eğrilerden birinin dışındaysa)${\görüntüleme stili P(p)}$${\görüntüleme stili Q(p)}$${\görüntüleme stili p}$
4. ${\ Displaystyle I_{p}(x,y)=1}$ nerede ${\görüntüleme stili p=(0,0)}$
5. ${\displaystyle I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})}$
6. ${\displaystyle I_{p}(P+QR,Q)=I_{p}(P,Q)}$ herhangi ${\displaystyle R\in K[x,y]}$

Bu özellikler kesişim çokluğunu tamamen karakterize etse de, pratikte birkaç farklı şekilde gerçekleştirilir.

Kesişme çokluğunun bir gerçekleştirmesi, güç serisi halkasının belirli bir bölüm uzayının boyutu aracılığıyladır . Gerekirse değişkenlerde değişiklik yaparak, bunu varsayabiliriz . İlgilendiğimiz cebirsel eğrileri tanımlayan polinomlar olsun ve olsun . Orijinal denklemler homojen olarak verilirse, bunlar ayarlanarak elde edilebilir . Izin idealini göstermek tarafından üretilen ve . Kesişme çokluğu, üzerinde bir vektör uzayı olarak boyutudur . ${\ Displaystyle K[[x,y]]}$${\görüntüleme stili p=(0,0)}$${\görüntüleme stili P(x,y)}$${\görüntüleme stili Q(x,y)}$${\görüntüleme stili z=1}$${\görüntüleme stili I=(P,Q)}$${\ Displaystyle K[[x,y]]}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\ Displaystyle K[[x,y]]/I}$${\görüntüleme stili K}$

Kesişme çokluğunun bir başka gerçekleştirme gelen sonuçtaki iki polinomun ve . Koordinatları , eğriler ile diğer bir kesişmesi ve derecesi arasında göre IS toplam derecede eşit , en yüksek gücü olarak tanımlanabilir olduğu böler bileşkesi ve (ile ve fazla polinomları olarak görülmektedir ). ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili p=(0,0)}$${\görüntüleme stili y=0}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili P}$${\ Displaystyle I_{p}(P,Q)}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili K[x]}$

Kavşak çokluğu, eğer eğriler biraz bozulursa, var olan farklı kesişmelerin sayısı olarak da gerçekleştirilebilir. Daha özel olarak ise, eğer ve sadece bir kez kesişen eğrilerinin tanımlanması kapağın açık bir kümesinin bir yoğun grubu daha sonra, , ve tam bir sayı ile düzgün ve kesişme enine (örneğin farklı teğet çizgileri var) noktaları . O zaman şunu söylüyoruz . ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle (\epsilon ,\delta )\in K^{2}}$${\ Displaystyle P-\epsilon }$${\görüntüleme stili Q-\delta }$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili U}$${\ Displaystyle I_{p}(P,Q)=n}$

Misal

x ekseninin parabol ile kesişimini düşünün

${\görüntüleme stili y=x^{2}.\ }$

Sonra

${\görüntüleme stili P=y,\ }$

ve

${\ Displaystyle Q=yx^{2},\ }$

yani

${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(y,yx^{2})=I_{p}(y,x^{2})=I_{p}(y,x) +I_{p}(y,x)=1+1=2.\,}$

Böylece kesişim derecesi ikidir; sıradan bir teğettir .

Kendinden kesişmeler

Hesaplanacak en ilginç kesişim sayılarından bazıları kendi kendine kesişen sayılardır . Bu naif bir anlamda alınmamalıdır. Ne kastedilen bir eşdeğerlik sınıfında, yani bölenler belirli türde, iki temsilcisi olan bu kesiştiği genel konumda birbirine göre. Bu şekilde, kendi kendine kesişen sayılar iyi tanımlanmış ve hatta negatif hale gelebilir.

Uygulamalar

Kavşak sayısı kısmen Bézout teoremini karşılamak için kesişimi tanımlama arzusuyla motive edilir .

Kesişim sayısı çalışmada ortaya sabit nokta akıllıca fonksiyonu kesişme olarak tanımlanabilir, grafikler , bir ile köşegenleri . Sabit noktalarda kesişim sayılarının hesaplanması, sabit noktaları çokluk ile sayar ve nicel biçimde Lefschetz sabit nokta teoremine yol açar .

Notlar

Referanslar

• William Fulton (1974). Cebirsel Eğriler . Matematik Ders Notu Serisi. WA Benjamin. s. 74–83. ISBN'si 0-8053-3082-8.
• Robin Hartshorne (1977). Cebirsel Geometri . Matematikte Lisansüstü Metinler . 52 . ISBN'si 0-387-90244-9. Ek Bölüm A.
• William Fulton (1998). Kavşak Teorisi (2. baskı). Springer. ISBN'si 9780387985497.
• Cebirsel Eğriler: Cebirsel Geometriye Giriş , William Fulton ve Richard Weiss. New York: Benjamin, 1969. Yeniden basım ed.: Redwood City, CA, ABD: Addison-Wesley, Advanced Book Classics, 1989. ISBN  0-201-51010-3 . Tam metin çevrimiçi .
• Hershel M. Farkas; Irwin Kra (1980). Riemann Yüzeyleri . Matematikte Lisansüstü Metinler . 71 . s. 40–41, 55–56. ISBN'si 0-387-90465-4.
• Kleiman, Steven L. (2005), "Picard şeması: Ek B.", Temel cebirsel geometri , Matematik. Anketler Monogr., 123 , Providence, RI: American Mathematical Society , arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K , MR  2223410
• Kollár, János (1996), Cebirsel Çeşitlerde Rasyonel Eğriler , Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1, MR  1440180