Kimlik bileşeni - Identity component

Gelen matematik , özellikle grup teorisi , kimlik bileşen a grubu G büyük birkaç yakından ilgili kavramlar belirtmektedir bağlı bir alt grup G kimlik elemanı ihtiva etmektedir.

Gelen noktası belirlendi topolojisi , bir kimlik bileşeni topolojik grup G ise bağlı bileşen G 0 arasında G içeren kimlik elemanı grubunun. Topolojik grubunun kimlik yol bileşeni G olduğu yol bileşeni arasında G grubunun kimlik elemanı içerir.

Gelen cebirsel geometri , bir kimlik bileşeni cebirsel grup G alan üzerinde k altında yatan topolojik alanı kimlik bileşenidir. Bir kimlik bileşeni grubu Şema G bir taban üzerinde düzeni S , kabaca, grup şeması konuşurken G 0 olan elyaf noktası üzerinde ler arasında S bağlı bileşeni olan (G ler ) 0 lifin G s , cebirsel grubu.

Özellikleri

Kimlik bileşen G 0 topolojik veya cebirsel grubunun G a, kapalı normal alt bölgesinin G . Bileşenler her zaman kapalı olduğu için kapalıdır. Bir topolojik veya cebirsel gruptaki çarpma ve ters çevirme, tanım gereği sürekli haritalar olduğundan, bir alt gruptur . Ayrıca, herhangi bir kesintisiz için otomorfizmaları a ait G Elimizdeki

a ( G 0 ) = G 0 .

Bu durumda, G, 0 a, karakteristik alt grup arasında G , bu nedenle normaldir.

Kimlik bileşen G 0 topolojik grubunun G olmak zorunda değildir , açık olarak G . Aslında, olabilir Gı 0 = { E durumda olan}, G, bir tamamen kesildi . Ancak, yerel olarak yola bağlı bir uzayın kimlik bileşeni (örneğin bir Lie grubu ), yol bağlantılı bir { e } komşusu içerdiğinden her zaman açıktır ; ve bu nedenle bir clopen kümesidir .

Bir topolojik grubun kimlik yolu bileşeni genel olarak kimlik bileşeninden daha küçük olabilir (çünkü yol bağlantılılığı bağlantılılıktan daha güçlü bir koşuldur), ancak G yerel olarak yola bağlıysa bunlar hemfikirdir .

bileşen grubu

Bölüm grubu G / G 0 adlandırılır bileşenlerin grubu ya da bileşen grubu arasında G . Elemanları sadece G'nin bağlantılı bileşenleridir . G / G 0 bileşen grubu , yalnızca ve yalnızca G 0 açıksa ayrı bir gruptur . Eğer G cebirsel grubudur sonlu türü gibi en, afin cebirsel grubu , daha sonra G / G 0 aslında bir sonlu grup .

Benzer şekilde yol bileşeni grubu, yol bileşenleri grubu ( kimlik yolu bileşenine göre G'nin bölümü ) olarak tanımlanabilir ve genel olarak bileşen grubu, yol bileşen grubunun bir bölümüdür, ancak G yerel olarak yola bağlıysa bu gruplar aynı fikirdedir. . Yol bileşen grubu, sıfırıncı homotopi grubu olarak da karakterize edilebilir ,

Örnekler

  • Çarpma ile sıfır olmayan gerçek sayılar grubunun ( R *,•) iki bileşeni vardır ve bileşen grubu ({1,−1},•).
  • Bölünmüş karmaşık sayılar halkasındaki U birim grubunu düşünün . { z = x + j y  : x , y ∈ R } düzleminin olağan topolojisinde , U y = x ve y = − x çizgileriyle dört bileşene bölünür, burada z'nin tersi yoktur. O zaman U 0 = { z  : | y | < x }. Bu durumda, U bileşenlerinin grubu , Klein dört grubuna göre izomorfiktir .
  • p-adic tamsayıların toplam grubunun ( Z p ,+) kimlik bileşeni, Z p tamamen bağlantısız olduğundan, {0} tekil kümesidir .
  • Weyl grubu a indirgeyici cebirsel grup G bileşenleri grubudur normalleştirici grubu a maksimal torus arasında G .
  • Temel şema Spec( Z ) üzerinde tanımlanan birliğin ikinci köklerinin μ 2 = Spec( Z [ x ]/( x 2 - 1)) grup şemasını göz önünde bulundurun . Topolojik olarak, μ n , Spec( Z ) eğrisinin 2 noktasında (yani asal ideal ) birbirine yapıştırılmış iki kopyasından oluşur. Bu nedenle, μ n bir topolojik uzay olarak, dolayısıyla bir şema olarak bağlanır. Bununla birlikte, u 2 Spec (her nokta üzerinde lif nedeniyle kimlik bileşeni eşit değildir , Z dışında 2), iki ayrık noktalar oluşur.

Bir topolojik alan K üzerindeki bir cebirsel grup G , iki doğal topolojiyi kabul eder: Zariski topolojisi ve K'den miras alınan topoloji . G'nin kimlik bileşeni genellikle topolojiye bağlı olarak değişir. Örneğin, genel olarak doğrusal bir grubu GL N ( R ' ), bir cebirsel grup olarak bağlı, ancak Lie grubu olmak üzere iki yol bileşenleri, pozitif determinantın matrisler ve negatif determinantının matrisler sahiptir. Arşimet dışı bir yerel alan K üzerindeki herhangi bir bağlı cebirsel grup , K topolojisinde tamamen bağlantısızdır ve dolayısıyla bu topolojide önemsiz özdeşlik bileşenine sahiptir.

Referanslar

  • Lev Semenovich Pontryagin , Topolojik Gruplar , 1966.
  • Demazure, Michel ; Gabriel, Pierre (1970), Gruplar algébriques. Cilt I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs , Paris: Masson, ISBN 978-2225616662, MR  0302656