Componente identità - Identity component

In matematica , in particolare nella teoria dei gruppi , la componente identità di un gruppo G si riferisce a diverse nozioni strettamente correlate del più grande sottogruppo connesso di G contenente l'elemento identità.

Nella topologia puntuale , la componente identità di un gruppo topologico G è la componente connessa G 0 di G che contiene l' elemento identità del gruppo. La componente di percorso di identità di un gruppo topologico G è la componente di percorso di G che contiene l'elemento di identità del gruppo.

In geometria algebrica , la componente identità di un gruppo algebrico G su un campo k è la componente identità dello spazio topologico sottostante. La componente identità di uno schema di gruppo G su uno schema di base S è, grosso modo, lo schema di gruppo G 0 la cui fibra sui punti s di S è la componente connessa (G s ) 0 della fibra G s , un gruppo algebrico.

Proprietà

La componente identità G 0 di un gruppo topologico o algebrico G è un sottogruppo normale chiuso di G . È chiuso poiché i componenti sono sempre chiusi. È un sottogruppo poiché la moltiplicazione e l'inversione in un gruppo topologico o algebrico sono mappe continue per definizione. Inoltre, per ogni automorfismo continuo a di G si ha

a ( G 0 ) = G 0 .

Quindi, G 0 è un sottogruppo caratteristico di G , quindi è normale.

Non è necessario che la componente identità G 0 di un gruppo topologico G sia aperta in G . Infatti, potremmo avere G 0 = { e }, nel qual caso G è totalmente disconnesso . Tuttavia, la componente identità di uno spazio localmente connesso per cammino (ad esempio un gruppo di Lie ) è sempre aperta, poiché contiene un intorno connesso per cammino di { e }; e quindi è un insieme clopen .

Il componente del percorso di identità di un gruppo topologico può in generale essere più piccolo del componente di identità (poiché la connessione del percorso è una condizione più forte della connessione), ma questi concordano se G è localmente connesso al percorso.

Gruppo componenti

Il gruppo quoziente G / G 0 è chiamato il gruppo di componenti o gruppo di componenti di G . I suoi elementi sono solo le componenti connesse di G . Il gruppo di componenti G / G 0 è un gruppo discreto se e solo se G 0 è aperto. Se G è un gruppo algebrico di tipo finito , ad esempio un gruppo algebrico affine , allora G / G 0 è in realtà un gruppo finito .

Si può similmente definire il gruppo di componenti di percorso come il gruppo di componenti di percorso (quoziente di G per il componente di percorso di identità), e in generale il gruppo di componenti è un quoziente del gruppo di componenti di percorso, ma se G è localmente connesso al percorso questi gruppi concordano . Il gruppo di componenti del percorso può anche essere caratterizzato come il gruppo di omotopia zero ,

Esempi

  • Il gruppo di numeri reali diversi da zero con moltiplicazione ( R *,•) ha due componenti e il gruppo di componenti è ({1,−1},•).
  • Considera il gruppo di unità U nell'anello dei numeri complessi divisi . Nella topologia ordinaria del piano { z = x + j y  : x , y ∈ R }, U è diviso in quattro componenti dalle rette y = x e y = − x dove z non ha inverso. Allora U 0 = { z  : | y | < x }. In questo caso il gruppo dei componenti di U è isomorfo al quadrigruppo di Klein .
  • La componente identità del gruppo additivo ( Z p ,+) di interi p-adici è l'insieme singleton {0}, poiché Z p è totalmente disconnesso.
  • Il gruppo di Weyl di un gruppo algebrico riduttivo G è il gruppo dei componenti del gruppo normalizzatore di un toro massimale di G .
  • Si consideri lo schema di gruppo μ 2 = Spec( Z [ x ]/( x 2 - 1)) di radici seconde dell'unità definite sullo schema di base Spec( Z ). Topologicamente, μ n consiste di due copie della curva Spec( Z ) incollate insieme nel punto (cioè ideale primo ) 2. Pertanto, μ n è connesso come uno spazio topologico, quindi come uno schema. Tuttavia, μ 2 non è uguale alla sua componente identità perché la fibra su ogni punto di Spec( Z ) tranne 2 consiste di due punti discreti.

Un gruppo algebrico G su un campo topologico K ammette due topologie naturali, la topologia di Zariski e la topologia ereditata da K . La componente identità di G cambia spesso a seconda della topologia. Ad esempio, il gruppo lineare generale GL n ( R ) è connesso come gruppo algebrico ma ha due componenti di cammino come gruppo di Lie, le matrici del determinante positivo e le matrici del determinante negativo. Qualsiasi gruppo algebrico connesso su un campo locale non archimedeo K è totalmente disconnesso nella topologia K e quindi ha una banale componente di identità in quella topologia.

Riferimenti

  • Lev Semenovich Pontryagin , Gruppi topologici , 1966.
  • Demazure, Michel ; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algébriques. Tomo I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs , Paris: Masson, ISBN 978-2225616662, MR  0302656