Hilbert modüler çeşitliliği - Hilbert modular variety

Matematikte, bir Hilbert modüler yüzey veya Hilbert-Blumenthal yüzey , bir Hilbert modüler grubu tarafından üst yarı düzlemin iki kopyasının bir çarpımının bir bölümü alınarak elde edilen cebirsel bir yüzeydir . Daha genel olarak, bir Hilbert modüler çeşidi , bir Hilbert modüler grubu tarafından üst yarı düzlemin çoklu kopyalarının bir çarpımının bir bölümü alınarak elde edilen cebirsel bir çeşittir .

Hilbert modüler yüzeyleri ilk olarak Otto Blumenthal ( 1903 , 1904 ) tarafından yaklaşık 10 yıl önce David Hilbert tarafından yazılan bazı yayınlanmamış notlar kullanılarak tanımlandı .

Tanımlar

Eğer R , gerçek bir kuadratik alanın tamsayıların halkasıysa , Hilbert modüler grubu SL ₂ ( R ) , üst yarı düzlem H'nin iki kopyasının H × H çarpımına etki eder . Bu eylemle ilgili birkaç çift ​​uluslu eşdeğer yüzey vardır ve bunlardan herhangi biri Hilbert modüler yüzeyler olarak adlandırılabilir :

• X yüzeyi , H × H'nin SL ₂ ( R ) ile bölümüdür; kompakt değildir ve genellikle önemsiz olmayan izotropi gruplarının bulunduğu noktalardan gelen bölüm tekilliklerine sahiptir.
• X ^* yüzeyi , eylemin doruk noktalarına karşılık gelen sonlu sayıda nokta eklenerek X'ten elde edilir . Kompakttır ve yalnızca X'in bölüm tekilliklerine değil , aynı zamanda zirvelerinde tekilliklere de sahiptir.
• Y yüzeyi , tekilliklerin minimal bir şekilde çözülmesiyle X ^{* '} den elde edilir . Kompakt, pürüzsüz bir cebirsel yüzeydir , ancak genel olarak minimum değildir.
• Y ⁰ yüzeyi , Y'den bazı istisnai 1-eğrilerinin aşağı üflenmesiyle elde edilir . Pürüzsüz ve kompakttır ve genellikle (ancak her zaman değil) minimumdur.

Bu yapının birkaç çeşidi vardır:

• Hilbert modüler grubu, bir uyum alt grubu gibi bazı sonlu indeks alt grupları ile değiştirilebilir .
• Hilbert modüler grubu, Galois eylemi aracılığıyla Hilbert modüler grubu üzerinde hareket eden ve üst yarım düzlemin iki kopyasını değiştiren bir sıra 2 grubu ile genişletilebilir.

Tekillikler

Hirzebruch (1953) bölüm tekilliklerinin nasıl çözüleceğini gösterdi ve Hirzebruch (1971) onların üreme tekilliklerinin nasıl çözüleceğini gösterdi.

Yüzeylerin sınıflandırılması

Kağıtları Hirzebruch (1971) , Hirzebruch & Van de Ven (1974) ve Hirzebruch & Zagier (1977) kendi türünü tespit cebirsel yüzeylerin sınıflandırılması . Bunların çoğu genel tip yüzeylerdir , ancak birkaçı rasyonel yüzeyler veya şişmiş K3 yüzeyleri veya eliptik yüzeylerdir .

Örnekler

van der Geer (1988) uzun bir örnekler tablosu verir.

Clebsch yüzeyi olan 10 Eckardt noktalarında şişirilmiş Hilbert modüler bir yüzeydir.

İkinci dereceden bir alan uzantısıyla ilişkili

Bir Verilen ikinci dereceden alan uzantısı için ilişkili bir Hilbert modüler çeşittir belli bölüm çeşitli compactifying elde ve 's tekillikleri çözme. Izin üst yarısı uçağı göstermek ve izin üzerine hareket yoluyla ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {p}})}$${\ displaystyle p = 4k + 1}$${\ displaystyle Y (p)}$${\ displaystyle X (p)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle SL (2, {\ mathcal {O}} _ {K}) / \ {\ pm {\ text {Id}} _ {2} \}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} \ times {\ mathfrak {H}}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} (z_ {1}, z_ {2}) = \ left ({\ frac {az_ {1} + bz_ {2}} {cz_ {1} + dz_ {2}}}, {\ frac {a'z_ {1} + b'z_ {2}} {c'z_ {1} + d'z_ {2}}} \ sağ)}$

nerede olduğunu Galois konjugatları . İlişkili bölüm çeşitliliği belirtilmiştir ${\ displaystyle a ', b', c ', d'}$

${\ displaystyle X (p) = G \ ters eğik çizgi {\ mathfrak {H}} \ times {\ mathfrak {H}}}$

ve çeşitli compactified edilebilir adlandırılan, çıkıntılar ile eşleşme, yere sınıfları içinde . Tekilliklerini çözmek, alan uzantısının Hilbert modüler çeşidi adı verilen çeşitliliği verir . Bailey-Borel kompaktlaştırma teoreminden, bu yüzeyin bir projektif uzaya gömülmesi vardır. ${\ displaystyle {\ overline {X}} (p)}$${\ displaystyle {\ text {Cl}} ({\ mathcal {O}} _ {K})}$${\ displaystyle Y (p)}$

Ayrıca bakınız

• Hilbert modüler formu
• Picard modüler yüzey
• Siegel modüler çeşitliliği

Referanslar

• Barth, Wolf P .; Hulek Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Kompakt Kompleks Yüzeyler , Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN   978-3-540-00832-3 , MR   2030225
• Blumenthal, Otto (1903), "Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 56 (4): 509–548, doi : 10.1007 / BF01444306 , S2CID   122293576
• Blumenthal, Otto (1904), "Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 58 (4): 497–527, doi : 10.1007 / BF01449486 , S2CID   179178108
• Hirzebruch, Friedrich (1953), "Über vierdimensionale RIEMANNsche Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 126 (1): 1–22, doi : 10.1007-BF01343146 , hdl : 21.111-316 , ISSN   0025-5831 , MR   0062842 , S2CID   122862268
• Hirzebruch, Friedrich (1971), "Hilbert modüler grubu, tepe noktalarında tekilliklerin çözümü ve ilgili problemler", Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Exp. 396 , Matematik Ders Notları, 244 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 275–288, doi : 10.1007 / BFb0058707 , ISBN   978-3-540-05720-8 , MR   0417187
• Hirzebruch, Friedrich EP (1973), "Hilbert modüler yüzeyler", L'Enseignement Mathématique , IIe Série, 19 : 183–281, doi : 10.5169 / seals-46292 , ISSN   0013-8584 , MR   0393045
• Hirzebruch, Friedrich ; Van de Ven, Antonius (1974), "Hilbert modüler yüzeyler ve cebirsel yüzeylerin sınıflandırılması" , Buluşlar Mathematicae (Sunulan el yazması), 23 (1): 1–29, doi : 10.1007 / BF01405200 , hdl : 21.11116 / 0000-0004 -39A4-3 , ISSN   0020-9910 , MR   0364262 , S2CID   73577779
• Hirzebruch, Friedrich ; Zagier, Don (1977), "Hilbert modüler yüzeylerin sınıflandırılması", Baily, WL; Shioda., T. (ed.), Karmaşık analiz ve cebirsel geometri , Tokyo: Iwanami Shoten, s. 43–77, ISBN   978-0-521-09334-7 , MR   0480356
• van der Geer, Gerard (1988), Hilbert modüler yüzeyler , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Sonuçlar Matematik ve İlgili Alanlar (3)], 16 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978 -3-642-61553-5 , ISBN   978-3-540-17601-5 , MR   0930101

Dış bağlantılar

• Ehlen, S., Hilbert modüler yüzeylere ve Hirzebruch-Zagier çevrimlerine kısa bir giriş (PDF)