Enjeksiyon demeti - Injective sheaf

Gelen matematik , injektif kasnaklar arasında değişmeli grupları tanımlamak için gerekli karar oluşturmak için kullanılan demet kohomolojisi (ve diğer türetilmiş fanktorlar gibi demet olarak, Dahili ).

Kasnaklara uygulanan başka bir ilgili kavramlar grubu daha vardır : gevşek ( Fransızca'da flasque ), ince , yumuşak ( Fransızca'da mou ), asiklik . Konunun tarihinde , Alexander Grothendieck'in 1957 " Tohoku makalesi " nden önce tanıtıldılar ; bu, enjekte edici nesnenin değişmez kategori mefhumunun teoriyi bulmaya yeterli olduğunu gösterdi . Diğer kasnak sınıfları tarihsel olarak daha eski kavramlardır. Kohomolojiyi ve türetilmiş işlevleri tanımlamak için soyut çerçeve bunlara ihtiyaç duymaz. Bununla birlikte, çoğu somut durumda, döngüsel olmayan kasnaklarla çözünürlüklerin oluşturulması genellikle daha kolaydır. Asiklik kasnaklar bu nedenle örneğin Leray spektral dizisi gibi hesaplama amaçlarına hizmet eder .

Enjeksiyon kasnakları

Bir enjeksiyon demeti , değişmeli kasnaklar kategorisinin enjekte edici nesnesi olan bir demettir; diğer bir deyişle, gelen homomorfizmleri için her zaman bir demet uzatılabilir içeren ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}.}$

Değişmeli kasnaklar kategorisinde yeterli sayıda enjeksiyon nesnesi vardır: bu, herhangi bir demetin bir enjekte demetinin bir alt tabakası olduğu anlamına gelir. Grothendieck'in bu sonucu , kategorinin bir üretecinin varlığından kaynaklanır (açıkça yazılabilir ve alt nesne sınıflandırıcıyla ilişkilidir ). Bu, herhangi bir soldaki tam işlevin sağdan türetilmiş işlevlerinin var olduğunu ve kanonik izomorfizme kadar benzersiz olduğunu göstermek için yeterlidir.

Teknik amaçlar için, enjeksiyon kasnakları genellikle yukarıda bahsedilen diğer kasnak sınıflarından daha üstündür: diğer sınıfların yapabildiği hemen hemen her şeyi yapabilirler ve teorileri daha basit ve daha geneldir. Aslında, enjekte kasnaklar gevşek ( şişe ), yumuşak ve döngüsel değildir. Bununla birlikte, diğer kasnak sınıflarının doğal olarak ortaya çıktığı durumlar vardır ve bu özellikle somut hesaplama durumlarında doğrudur.

İkili kavram, yansıtmalı kasnaklar , pek kullanılmaz, çünkü genel bir kasnak kategorisinde bunlardan yeterli sayıda yoktur: her demet, yansıtmalı demetin bölümü değildir ve özellikle yansıtmalı çözümler her zaman mevcut değildir. Örneğin, Zariski topolojisindeki yansıtmalı uzay üzerindeki kasnak kategorisine bakıldığında durum budur . Bu, tam bir sağ işlevin (Tor gibi) soldan türetilmiş işlevlerini tanımlamaya çalışırken sorunlara neden olur. Bu bazen geçici yollarla yapılabilir: örneğin, Tor'un soldan türetilmiş fonktörleri yansıtmalı bir çözüm yerine düz bir çözünürlük kullanılarak tanımlanabilir, ancak bunun çözümden bağımsız olduğunu göstermek için biraz çalışma gerekir. Tüm kasnak kategorileri bu problemle karşılaşmaz; örneğin, afin bir şemadaki kasnaklar kategorisi yeterli yansıtıcı içerir.

Asiklik kasnaklar

Bir asiklik demeti üzerinde X tüm yüksek demeti cohomoloji grupları ortadan şekilde biridir. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Herhangi bir demetin kohomoloji grupları, herhangi bir döngüsel olmayan çözünürlüğünden hesaplanabilir (bu, De Rham-Weil teoreminin adıyla gider ).

İnce kasnaklar

Bir ince demeti üzerinde X "ile biridir birlik bölümleri "; daha kesin olarak, X uzayının herhangi bir açık kapağı için , demetten kendisine toplam 1 olan bir homomorfizm ailesi bulabiliriz, öyle ki her bir homomorfizm, açık kapağın bazı öğelerinin dışında 0'dır.

İnce kasnaklar genellikle yalnızca parakompakt Hausdorff boşlukları X üzerinde kullanılır . Tipik örnekler, böyle bir boşluk üzerinde sürekli gerçek değerli fonksiyonların mikropları veya düz (paracompact Hausdorff) bir manifold üzerindeki pürüzsüz fonksiyonlar veya bu halka demetleri üzerindeki modüllerdir. Ayrıca, parakompakt Hausdorff boşlukları üzerindeki ince kasnaklar yumuşak ve döngüsel değildir.

Alexander-Spanier çözünürlüğünü kullanarak ince kasnaklarla yumuşak bir manifold üzerinde bir demet çözünürlüğü bulunabilir.

Uygulama olarak, gerçek bir X manifoldu düşünün . (Düz) diferansiyel formların ince kasnakları tarafından sabit demetin aşağıdaki çözünürlüğü vardır : ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle 0 \ - \ mathbb {R} \ - C_ {X} ^ {0} \ - C_ {X} ^ {1} \ - \ cdots \ - C_ {X} ^ {\ dim X} \ - 0 .}$

Bu bir çözümdür, yani Poincaré lemmanın tam bir kasnak kompleksi . Değerleri olan X'in kohomolojisi, küresel olarak tanımlanmış diferansiyel formların kompleksinin kohomolojisi olarak hesaplanabilir: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle H ^ {i} (X, \ mathbb {R}) = H ^ {i} (C_ {X} ^ {\ bullet} (X)).}$

Yumuşak kasnaklar

Bir yumuşak demet üzerindeki X herhangi üzerindeki her bölüm, bir şekildedir kapalı alt-kümesi , X küresel bölüme uzatılabilir. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Yumuşak kasnaklar, parakompakt Hausdorff uzayları üzerinde döngüsel değildir.

Flasque veya gevşek kasnaklar

Bir flasque demet (aynı zamanda adı verilen sarkık demet ) a, demet aşağıdaki özelliği ile: eğer nokta topolojik alan demet tarif edildiği ve ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle U \ subseteq V \ subseteq X}$

olan açık alt kümeleri , daha sonra kısıtlama haritası

${\ displaystyle r_ {U \ subseteq V}: \ Gama (V, {\ mathcal {F}}) \ ila \ Gama (U, {\ mathcal {F}})}$

olduğu örten bir harita olarak, gruplar ( halkalar , modüllerin , vs.).

Flasque kasnaklar kullanışlıdır çünkü (tanım gereği) bölümleri genişler. Bu, homolojik cebir açısından ele alınabilecek en basit kasnaklardan bazıları oldukları anlamına gelir . Herhangi bir demet, étalé boşluğunun muhtemelen tüm süreksiz bölümlerinin balon demetine kanonik bir gömülüdür ve bunu tekrarlayarak herhangi bir demet için kanonik bir şişe çözünürlüğü bulabiliriz. Flasque çözünürlükleri , yani, flasque kasnaklar vasıtasıyla çözünürlükler , demet kohomolojisini tanımlamaya yönelik bir yaklaşımdır .

Matara kasnaklar yumuşak ve döngüsel değildir.

Flasque , bazen İngilizce'ye gevşek olarak çevrilen Fransızca bir kelimedir .

Referanslar

• Godement Roger (1998), Topologie algébrique ve théorie des faisceaux , Paris: Hermann, ISBN   978-2-7056-1252-8 , MR   0345092
• Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2): 119–221, doi : 10.2748 / tmj / 1178244839 , ISSN   0040-8735 , MR   0102537
• "Demet kohomolojisi ve injektif çözünürlükler" üzerine MathOverflow