Tamamlayıcı grafik - Complement graph
Olarak grafik teorisi , tamamlayıcı ya da ters bir grafik G bir grafiktir , H ve bu şekilde iki ayrı noktalar aynı noktalar üzerinde H bitişiktir , ancak ve ancak bunlar bitişik olmayan G . Yani, bir grafiğin tümleyenini oluşturmak için, tam bir grafik oluşturmak için gereken tüm eksik kenarları doldurur ve daha önce orada olan tüm kenarları kaldırır.
Tamamlayıcı, grafiğin küme tamamlayıcısı değildir ; sadece kenarlar tamamlanır.
Tanım
Let G = ( V , E ) bir olduğu basit bir grafiktir ve izin K her 2 öğeli alt takımından müteşekkildir V . Daha sonra , H = ( V , K \ e ) tamamlayıcısı olan G , K \ e olan nispi tamamlayıcı arasında E içinde K . İçin yönlendirilmiş grafikler , tamamlayıcı bütün 2-eleman seti kullanılarak, aynı köşe sette yönlendirilmiş grafik olarak, aynı şekilde tanımlanabilir çiftleri sipariş arasında V grubu yerine K yukarıdaki formülde. Grafiğin komşuluk matrisi A açısından , eğer Q , aynı sayıda köşenin tam grafiğinin komşuluk matrisiyse (yani, sıfır olan köşegen girişler dışındaki tüm girişler birdir), o zaman tümleyeninin komşuluk matrisi A olduğunu QA .
Tamamlayıcı, çoklu grafikler için tanımlanmamıştır . İzin grafiklerde kendini döngüler (ancak birden fazla değildir etraf) tamamlayıcısı G içinde bir yok her tepe için bir kendi kendine-döngü ekleyerek tanımlanabilir G ve aksi yukarıdakiyle aynı formül kullanılarak. Bununla birlikte, bu işlem basit grafikler için olandan farklıdır, çünkü bunu kendi kendine döngüsü olmayan bir grafiğe uygulamak, tüm köşelerde kendi kendine döngüleri olan bir grafikle sonuçlanacaktır.
Uygulamalar ve örnekler
Birkaç grafik-teorik kavram, tamamlama yoluyla birbiriyle ilişkilidir:
- Bir tamamlayıcısı , kenarsız grafik a, tam grafik ve tersi de geçerlidir.
- Herhangi bir indüklenmiş alt grafiğinin bir grafik kompleman grafiğinin G karşılık gelen kaynaklı alt grafiği tamamlayıcısıdır G .
- Bir grafikteki bağımsız bir küme , tamamlayıcı grafiğindeki bir kliktir ve bunun tersi de geçerlidir. Bu, önceki iki özelliğin özel bir durumudur, çünkü bağımsız bir küme, kenarsız indüklenmiş bir alt grafiktir ve bir klik, tam bir indüklenmiş alt grafiktir.
- Otomorfizm bir grafiğin grubun tamamlayıcısı otomorfizmaları grubudur.
- Her üçgensiz grafiğin tamamlayıcısı , tersi doğru olmasa da, pençesiz bir grafiktir .
Kendi kendini tamamlayan grafikler ve grafik sınıfları
Bir kendini tamamlayan grafik olan bir grafiktir izomorf kendi tamamlayıcı için. Örnekler, dört köşeli yol grafiğini ve beş köşeli döngü grafiğini içerir . Kendini tamamlayan grafiklerin bilinen bir karakterizasyonu yoktur.
Birkaç grafik sınıfı, bu sınıflardan birindeki herhangi bir grafiğin tamamlayıcısının aynı sınıftaki başka bir grafik olması anlamında kendi kendini tamamlayıcıdır.
- Mükemmel grafikler , indüklenen her alt grafik için kromatik sayının maksimum kliğin boyutuna eşit olduğu grafiklerdir . Mükemmel bir grafiğin tümleyeninin de mükemmel olduğu gerçeği , László Lovász'ın mükemmel grafik teoremidir .
- Cographs , ayrık birleştirme ve tamamlama işlemleri ile tek köşelerden oluşturulabilen grafikler olarak tanımlanır . Kendilerini tamamlayan bir grafik ailesi oluştururlar: herhangi bir yazı dizisinin tamamlayıcısı başka bir farklı yazı dizisidir. Birden fazla tepe noktası için, her tamamlayıcı çiftte tam olarak bir grafik bağlanır ve eş grafiklerin eşdeğer bir tanımı, bağlı indüklenmiş alt grafiklerinin her birinin bağlantısız bir tamamlayıcıya sahip olmasıdır. Kendi kendini tamamlayan başka bir tanım, bunların dört köşeli bir yol şeklinde indüklenmiş alt grafiği olmayan grafikler olmalarıdır.
- Kendi kendini tamamlayan başka bir grafik sınıfı , köşelerin bir klik ve bağımsız bir kümeye bölünebildiği grafikler olan bölünmüş grafikler sınıfıdır . Aynı bölüm, tamamlayıcı grafiğinde bağımsız bir küme ve bir klik verir.
- Eşik grafikleri sürekli ya da bağımsız bir köşe (komşularının bir kez) ya da bir ekleme ile oluşturulan grafiklerdir genel köşe (daha önce eklenen köşe bitişik). Bu iki işlem tamamlayıcıdır ve kendi kendini tamamlayan bir grafik sınıfı oluştururlar.
algoritmik yönler
Gelen algoritma analizi bir çünkü grafikler, bir grafik ve tamamlayıcısı arasındaki ayrım önemli biridir seyrek grafiktir (vertices çiftlerinin sayısı ile karşılaştırıldığında kenarlarının az sayıda bir) genel seyrek bir tamamlayıcı olmaz ve bu nedenle, belirli bir grafikteki kenarların sayısıyla orantılı olarak zaman alan bir algoritma, aynı algoritma tamamlayıcı grafiğin açık bir temsilinde çalıştırılırsa çok daha fazla zaman alabilir. Bu nedenle, araştırmacılar , tamamlayıcı grafiğin açık bir şekilde oluşturulmasını gerektirmeyen örtük bir grafik temsili kullanarak, bir girdi grafiğinin tamamlayıcısı üzerinde standart grafik hesaplamaları gerçekleştiren algoritmalar üzerinde çalıştılar. Özellikle, tamamlayıcı grafik çok daha büyük bir boyuta sahip olsa bile, verilen grafiğin boyutunda doğrusal olan bir zaman miktarında, tamamlayıcı grafiğinde ya derinlik öncelikli aramayı ya da genişlik öncelikli aramayı simüle etmek mümkündür. . Bu simülasyonları, tamamlayıcı grafiğin bağlanabilirliği ile ilgili diğer özellikleri hesaplamak için kullanmak da mümkündür.
