klik genişliği - Clique-width

Bir inşaatı mesafesi kalıtsal grafik ayrık birlikler, relabelings ve 3 klik genişliği etiketi-katılır. Vertex etiketleri renk olarak gösterilir.

Olarak grafik teorisi , klik genişliği a grafik grafiği yapısal karmaşıklığı tarif eden bir parametredir; ağaç genişliği ile yakından ilişkilidir , ancak ağaç genişliğinin aksine yoğun grafikler için bile sınırlanabilir . Aşağıdaki 4 işlemle oluşturmak için gereken minimum etiket sayısı olarak tanımlanır : ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili G}$

i etiketli yeni bir v köşesinin oluşturulması ( i(v) olarak belirtilmiştir )
G ve H etiketli iki grafiğin ayrık birleşimi (gösterilir ) ${\ Displaystyle G\oplus H}$
i etiketli her köşeyi j etiketli ( η(i,j) ile gösterilir ) bir kenarla birleştirme , burada ${\görüntüleme stili i\neq j}$
i etiketini j etiketi olarak yeniden adlandırma ( ρ ( i , j ) ile gösterilir )

Sınırlı klik genişliği grafikleri , cograph'ları ve uzaklık-kalıtsal grafikleri içerir . Sınırsız olduğunda klik genişliğini hesaplamak NP-zor olsa da ve sınırlı olduğunda polinom zamanında hesaplanıp hesaplanamayacağı bilinmese de, klik genişliği için verimli yaklaşım algoritmaları bilinmektedir. Bu algoritmalara ve Courcelle teoremine dayanarak, rastgele grafikler için NP-zor olan birçok grafik optimizasyon problemi, sınırlı klik genişliği grafiklerinde hızlı bir şekilde çözülebilir veya yaklaşık olarak tahmin edilebilir.

Klik genişliği kavramının altında yatan yapı dizileri 1990'da Courcelle , Engelfriet ve Rozenberg ve Wanke (1994) tarafından formüle edildi . "Klik genişliği" adı Chlebíková (1992) tarafından farklı bir konsept için kullanılmıştır . 1993 yılına gelindiğinde, terim halihazırdaki anlamını zaten taşıyordu.

Özel grafik sınıfları

Cograflar tam olarak en fazla klik genişliği olan grafiklerdir. Her uzaklık-kalıtsal grafiğin en fazla klik genişliği vardır 3. Ancak, birim aralık grafiklerinin klik genişliği sınırsızdır (grid yapılarına göre). Benzer şekilde, iki parçalı permütasyon grafiklerinin klik genişliği sınırsızdır (benzer ızgara yapısına dayalı olarak). Cograph'ların dört köşeli akorsuz bir yola izomorfik indüklenmiş alt grafı olmayan grafikler olarak karakterizasyonuna dayanarak, yasaklanmış indüklenmiş alt graflar tarafından tanımlanan birçok graf sınıfının klik genişliği sınıflandırılmıştır.

Sınırlı klik genişliği dahil olan diğer grafikleri $k$ güçler -leaf sınırlandırılmış değerleri $k$ ; bunlar neden subgraphs bir ağaç yaprakları $T$ de grafik güç $T k$ . Ancak, sınırsız üslü yaprak güçleri sınırlı klik genişliğine sahip değildir.

sınırlar

Courcelle & Olariu (2000) ve Corneil & Rotics (2005) , belirli grafiklerin klik genişliği konusunda aşağıdaki sınırları kanıtladı:

Bir grafiğin en fazla $k$ klik genişliği varsa, grafiğin indüklenen her alt grafiği de öyledir .
Tamamlayıcı grafik klik genişliği bir grafiğinin $k$ en klik-genişliğe sahiptir $2 k$ .
Ağaç genişliği $w$ grafikleri en fazla $3 \cdot 2 w - 1$ klik genişliğine sahiptir . Bu sınırda üstel bağımlılık gereklidir: klik genişliği ağaç genişliğinden katlanarak daha büyük olan grafikler vardır. Diğer yönde, sınırlı klik genişliği grafikleri sınırsız ağaç genişliğine sahip olabilir; örneğin, $n$ -vertex tam grafikler klik genişliği 2'ye ancak ağaç genişliği $n - 1'e sahiptir$ . Bununla birlikte, bir alt grafik olarak tam iki parçalı grafiği $K$ $t$ $,$ $t'ye$ sahip olmayan $k$ klik genişliği grafiklerinin ağaç genişliği en fazla $3$ $k$ $($ $t$ $- 1) - 1'dir$ . Bu nedenle, her seyrek grafik ailesi için , sınırlı ağaç genişliğine sahip olmak, sınırlı klik genişliğine sahip olmakla eşdeğerdir.
Bir başka grafik parametresi olan rank-width , her iki yönde klik genişliği ile sınırlandırılır: rank-width ≤ clique-width ≤ 2 ^{rank-width + 1} .

Ek olarak, eğer bir $G$ grafiği $k$ klik genişliğine sahipse , o zaman grafik gücü $G c$ klik genişliğine en fazla $2 kc k sahiptir$ . Hem ağaç genişliğinden klik genişliği sınırında hem de grafik güçlerinin klik genişliği sınırında üstel bir boşluk olmasına rağmen, bu sınırlar birbirini birleştirmez: eğer bir $G$ grafiğinde ağaç genişliği $w varsa$ , o zaman $G c$ klik genişliğine sahiptir. en fazla $2(c + 1) w + 1 - 2$ , ağaç genişliğinde yalnızca tek üsteldir.

hesaplama karmaşıklığı

Matematikte çözülmemiş problem :

Sınırlı klik genişliği grafikleri polinom zamanında tanınabilir mi?

(matematikte daha fazla çözülmemiş problem)

Daha genel grafik sınıfları için NP-zor olan birçok optimizasyon problemi, bu grafikler için bir yapım sırası bilindiğinde, sınırlı klik genişliği grafikleri üzerinde dinamik programlama ile verimli bir şekilde çözülebilir . Özellikle, MSO ₁monadik ikinci dereceden mantıkta (köşe kümeleri üzerinden nicelleştirmeye izin veren bir mantık biçimi) ifade edilebilen her grafik özelliği , bir Courcelle teoremi biçimiyle sınırlı klik genişliği grafikleri için bir doğrusal zaman algoritmasına sahiptir. .

Bir yapı dizisi bilindiğinde, polinom zamanında sınırlı klik genişliği grafikleri için optimal grafik renklerini veya Hamiltonian döngülerini bulmak da mümkündür , ancak polinomun üssü klik genişliği ile artar ve hesaplama karmaşıklığı teorisinden elde edilen kanıtlar gösterir. bu bağımlılığın gerekli olması muhtemeldir. Sınırlı klik genişliği grafikleri $χ ile$ sınırlıdır , yani kromatik sayıları en fazla en büyük kliklerinin boyutunun bir fonksiyonudur.

Üç klik genişliğinin grafikleri, bölünmüş ayrışmaya dayalı bir algoritma kullanılarak polinom zamanında tanınabilir ve onlar için bir yapı dizisi bulunabilir . Sınırsız klik-genişliğinin grafikler için, bunun NP-zor sublinear katkı hata ile bir yaklaşım elde etmek için, aynı zamanda NP-zor tam klik-genişliği hesaplamak için, ve. Bununla birlikte, klik genişliği sınırlandırıldığında, polinom zamanında sınırlı genişlikte (gerçek klik genişliğinden katlanarak daha büyük) bir yapı dizisi elde etmek mümkündür. Kesin klik genişliğinin veya ona daha sıkı bir yaklaşımın sabit parametreli izlenebilir sürede hesaplanıp hesaplanamayacağı, klik genişliğindeki her sabit sınır için polinom zamanında hesaplanıp hesaplanamayacağı veya hatta grafiklerin olup olmadığı açık kalır. klik genişliği dört polinom zamanında tanınabilir.

Ağaç genişliği ile ilişkisi

Sınırlı klik genişliği grafikleri teorisi, sınırlı ağaç genişliği grafiklerine benzer , ancak ağaç genişliğinin aksine yoğun grafiklere izin verir . Bir grafik ailesi klik genişliğini sınırlamışsa, o zaman ya ağaç genişliğini sınırlandırmıştır ya da her tam iki parçalı grafik , ailedeki bir grafiğin alt grafiğidir. Ağaç genişliği ve klik genişliği de çizgi grafikler teorisi aracılığıyla bağlantılıdır : bir grafik ailesi, ancak ve ancak çizgi grafikleri klik genişliğini sınırlamışsa ağaç genişliğini sınırlamıştır.

Notlar

Referanslar

Brandstädt, A. ; Dragan, FF; Le, H.-O.; Mosca, R. (2005), "Sınırlı klik genişliğinin yeni grafik sınıfları", Theory of Computing Systems , 38 (5): 623–645, CiteSeerX 10.1.1.3.5994 , doi : 10.1007/s00224-004-1154- 6 , S2CID 2309695.
Brandstädt, A. ; Engelfriet, J.; Le, H.-O.; Lozin, VV (2006), "Clique-width for 4-vertex yasaklı altgraflar", Theory of Computing Systems , 39 (4): 561–590, doi : 10.1007/s00224-005-1199-1 , S2CID 20050455.
Brandstädt, Andreas; Hundt, Christian (2008), "Ptolemaik grafikler ve aralık grafikleri yaprak güçleridir", LATIN 2008: Teorik Bilişim , Bilgisayarda Ders Notları. Sci., 4957 , Springer, Berlin, s. 479–491, doi : 10.1007/978-3-540-78773-0_42 , MR 2472761.
Brandstädt, A. ; Lozin, VV (2003), "İki parçalı permütasyon grafiklerinin doğrusal yapısı ve klik genişliği üzerine", Ars Combinatoria , 67 : 273–281, CiteSeerX 10.1.1.16.2000.
Chlebíková, J. (1992), "Bir grafiğin ağaç genişliğinde", Acta Mathematica Universitatis Comenianae , Yeni Seri, 61 (2): 225–236, CiteSeerX 10.1.1.30.3900 , MR 1205875.
Cogis, Ö.; Thierry, E. (2005), "Mesafe-kalıtsal grafikler için maksimum kararlı kümelerin hesaplanması ", Ayrık Optimizasyon , 2 (2): 185–188 , doi : 10.1016/j.disopt.2005.03.004 , MR 2155518.
Corneil, Derek G. ; Habib, Mişel; Lanlignel, Jean-Marc; Reed, Bruce ; Rotics, Udi (2012), "Klik genişliği $\leq 3$ grafiğin polinom-zaman tanıması ", Discrete Applied Mathematics , 160 (6): 834–865, doi : 10.1016/j.dam.2011.03.020 , MR 2901093.
Corneil, Derek G. ; Rotics, Udi (2005), "Klik genişliği ve ağaç genişliği arasındaki ilişki üzerine", SIAM Journal on Computing , 34 (4): 825–847, doi : 10.1137/S0097539701385351 , MR 2148860.
Courcelle, Bruno ; Engelfriet, Joost; Rozenberg, Grzegorz (1993), "Holdle-rewriting hypergraph grammars", Journal of Computer and System Sciences , 46 (2): 218–270, doi : 10.1016/0022-0000(93)90004-G , MR 1217156. Grafik gramerleri ve bunların bilgisayar bilimlerine uygulanmasında ön formda sunulmuştur (Bremen, 1990), MR 1431281 .
Courcelle, B. (1993), "Monadic ikinci dereceden mantık ve hipergraf yönelimi", Proceedings of Eighth Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS '93) , s. 179–190, doi : 10.1109/LICS.1993.287589 , S2CID 39254668.
Courcelle, B. ; Makowsky, JA ; Rotics, U. (2000), "Sınırlı klik genişliği üzerindeki grafiklerde doğrusal zamanla çözülebilir optimizasyon problemleri", Theory of Computing Systems , 33 (2): 125–150, CiteSeerX 10.1.1.414.1845 , doi : 10.1007/s002249910009 , S2CID 15402031.
Courcelle, B. ; Olariu, S. (2000), "Grafiklerin klik genişliğine üst sınırlar" , Discrete Applied Mathematics , 101 (1–3): 77–144, doi : 10.1016/S0166-218X(99)00184-5.
Dvořák, Zdeněk; Král', Daniel (2012), "Küçük dereceli ayrıştırmalara sahip grafik sınıfları χ-sınırlıdır", Electronic Journal of Combinatorics , 33 (4): 679–683, arXiv : 1107.2161 , doi : 10.1016/j.ejc.2011.12. 005 , S2CID 5530520
Arkadaşlar, Michael R. ; Rosamond, Frances A. ; Rotics, Udi; Szeider, Stefan (2009), "Clique-width is NP-complete", SIAM Journal on Discrete Mathematics , 23 (2): 909–939, doi : 10.1137/070687256 , MR 2519936.
Fomin, Fedor V.; Golovach, Petr A.; Lokştanov, Daniel; Saurabh, Saket (2010), "Klik genişliği parametreleştirmelerinin inatçılığı ", SIAM Journal on Computing , 39 (5): 1941–1956, CiteSeerX 10.1.1.220.1712 , doi : 10.1137/080742270 , MR 2592039.
Golumbik, Martin Charles ; Rotics, Udi (2000), "Bazı mükemmel grafik sınıflarının klik genişliği üzerine", International Journal of Foundations of Computer Science , 11 (3): 423–443, doi : 10.1142/S0129054100000260 , MR 1792124.
Gürski, Frank; Wanke, Egon (2000), " $K n,n$ olmadan klik genişliği sınırlı grafiklerin ağaç genişliği ", Brandes, Ulrik'te ; Wagner, Dorothea (eds.), Bilgisayar Biliminde Graph-Teoretic Concepts: 26th International Workshop, WG 2000, Konstanz, Almanya, 15-17 Haziran 2000, Proceedings , Lecture Notes in Computer Science, 1928 , Berlin: Springer, s. 196–205, doi : 10.1007/3-540-40064-8_19 , MR 1850348.
Gürski, Frank; Wanke, Egon (2007), "Sınırlı klik genişliğinin çizgi grafikleri", Discrete Mathematics , 307 (22): 2734–2754, doi : 10.1016/j.disc.2007.01.020.
Gürski, Frank; Wanke, Egon (2009), "Sınırlı ağaç genişliğine sahip grafiklerin güçleri için NLC genişliği ve klik genişliği", Discrete Applied Mathematics , 157 (4): 583–595, doi : 10.1016/j.dam.2008.08. 031 , MR 2499471.
Hliněný, Petr; Oum, Sang-il (2008), "Finding Branch -decompositions and rank-decompositions", SIAM Journal on Computing , 38 (3): 1012–1032, CiteSeerX 10.1.1.94.2272 , doi : 10.1137/0706885920 , MR 2421076.
Oum, Sang-il ; Seymour, Paul (2006), "Yaklaşık klik genişliği ve dal genişliği", Journal of Combinatory Theory , Series B, 96 (4): 514–528, doi : 10.1016/j.jctb.2005.10.006 , MR 2232389.
Oum, Sang-il (2009), "Rütbe genişliği ve klik genişliğinin hızlı bir şekilde yaklaştırılması", ACM İşlemleri Algoritmalar , Bilgisayar Biliminde Ders Notları, 5 (1): Art. 10, 20, CiteSeerX 10.1.1.574.8156 , doi : 10.1007/11604686_5 , ISBN 978-3-540-31000-6, MR 2479181.
Todinca, Ioan (2003), "Sınırlı klik genişliği grafiklerinin renklendirme güçleri", Bilgisayar bilimlerinde grafik-teorik kavramlar, Bilgisayarda Ders Notları. Sci., 2880 , Springer, Berlin, s. 370–382, doi : 10.1007/978-3-540-39890-5_32 , MR 2080095.
Wanke, Egon (1994), " $k$ -NLC grafikleri ve polinom algoritmaları", Discrete Applied Mathematics , 54 (2–3): 251–266, doi : 10.1016/0166-218X(94)90026-4 , MR 1300250.

Languages

In other projects