Soyut yeniden yazma sistemi - Abstract rewriting system

Gelen matematiksel mantık ve teorik bilgisayar bilimleri , bir soyut yeniden yazma sistemine (aynı zamanda (soyut) indirgeme sistemi veya soyut yeniden yazma sistemi ; kısaltılmış ARS ) bir olduğunu şekilcilik olduğunu yakalar özetin özeti kavramı ve özellikleri yeniden yazma sistemleri. En basit formunda, bir ARS bir basitçe grubu birlikte bir ile ( "nesneleri") olarak ikili ilişkisi geleneksel ile gösterilen ; ikili ilişkinin alt kümelerini indekslersek (etiketlenirsek) bu tanım daha da geliştirilebilir. Basitliğine rağmen, bir ARS, normal formlar , sonlandırma ve çeşitli birleşme kavramları gibi yeniden yazma sistemlerinin önemli özelliklerini tanımlamak için yeterlidir . ${\görüntüleme stili\sağ ok }$

Tarihsel olarak, her biri kendine özgü özellikleri olan soyut bir ortamda yeniden yazmanın birkaç resmileştirmesi olmuştur. Bu kısmen bazı kavramların eşdeğer olmasından kaynaklanmaktadır, bu makalenin altına bakınız. Monografilerde ve ders kitaplarında en sık rastlanan ve genellikle burada izlenen biçimselleştirme Gérard Huet'e (1980) aittir .

Tanım

Bir özet indirgeme sistemi ( ARS ), onları dönüşüm uygulanabilir nesne ve bir dizi kural belirleme hakkında en genel (tek boyutlu) kavramıdır. Daha yakın zamanlarda, yazarlar soyut yeniden yazma sistemi terimini de kullanıyorlar. (Burada "yeniden yazma" yerine "indirgeme" kelimesinin tercih edilmesi, ARS'nin özelleştirilmesi olan sistem adlarında "yeniden yazma"nın tekdüze kullanımından bir uzaklaşma teşkil etmektedir. daha özel sistemler, eski metinlerde indirgeme sistemi ARS ile eşanlamlıdır).

Bir ARS, öğeleri genellikle nesneler olarak adlandırılan , A üzerinde ikili bir ilişkiyle birlikte , geleneksel olarak → ile gösterilen ve indirgeme ilişkisi , yeniden yazma ilişkisi veya sadece indirgeme olarak adlandırılan bir A kümesidir . "İndirgeme"yi kullanan bu (yerleşik) terminoloji biraz yanıltıcıdır, çünkü ilişki mutlaka nesnelerin bazı ölçülerini indirgemek zorunda değildir.

Bazı bağlamlarda, kuralların bazı alt kümeleri arasında ayrım yapmak faydalı olabilir, örneğin indirgeme ilişkisinin bazı alt kümeleri → örneğin, tüm indirgeme ilişkisi birleşim ve değişme kurallarından oluşabilir . Sonuç olarak, bazı yazarlar indirgeme ilişkisini → bazı ilişkilerin indekslenmiş birliği olarak tanımlar; örneğin eğer , kullanılan gösterim (A, → ₁ , → ₂ ) şeklindedir. ${\displaystyle {\rightarrow _{1}\cup \rightarrow _{2}}={\rightarrow }}$

Matematiksel bir nesne olarak, bir ARS, etiketlenmemiş bir durum geçiş sistemi ile tamamen aynıdır ve eğer ilişki indekslenmiş bir birlik olarak kabul edilirse, o zaman bir ARS, indeksleri etiketler olan etiketli bir durum geçiş sistemi ile aynıdır. Ancak çalışmanın odak noktası ve terminoloji farklıdır. Bir durum geçiş sisteminde , bir kişi etiketleri eylemler olarak yorumlamakla ilgilenirken, bir ARS'de odak, nesnelerin başkalarına nasıl dönüştürülebileceği (yeniden yazılabileceği) üzerindedir.

örnek 1

Nesneler kümesinin T = { a , b , c } olduğunu ve ikili ilişkinin a → b , b → a , a → c ve b → c kurallarıyla verildiğini varsayalım . Bu kurallar hem uygulanabilir gözlemleyin a ve b olsun c . Ayrıca, c'yi daha fazla dönüştürmek için hiçbir şey uygulanamaz . Böyle bir özellik açıkça önemli bir özelliktir.

Temel kavramlar

Önce bazı temel kavramları ve gösterimleri tanımlayın.

• ${\displaystyle {\stackrel {+}{\rightarrow }}}$olduğu Geçişli kapatma ait .${\görüntüleme stili\sağ ok }$
• ${\displaystyle {\stackrel {*}{\rightarrow }}}$bir dönüşlü geçişli kapanma arasında , yani geçişli kapanma ait = olan, kimlik ilişkisi . Eşdeğer olarak, içeren en küçük ön sipariştir .${\görüntüleme stili\sağ ok }$${\ Displaystyle (\sağ ok )\cup (=)}$${\displaystyle {\stackrel {*}{\rightarrow }}}$${\görüntüleme stili\sağ ok }$
• ${\görüntüleme stili \sol sağ ok }$olan simetrik kapatma ait olduğunu, yani onun ile ilişkisi → birliği tersi ilişkisi .${\görüntüleme stili\sağ ok }$${\ Displaystyle (\rightarrow )\cup (\rightarrow )^{-1}}$
• ${\displaystyle {\stackrel {*}{\leftrightarrow }}}$bir dönüşlü geçişli simetrik kapak arasında , yani geçişli kapağın arasında . Eşdeğer olarak, içeren en küçük denklik bağıntısıdır .${\görüntüleme stili\sağ ok }$${\ Displaystyle (\ leftrightarrow )\cup (=)}$${\displaystyle {\stackrel {*}{\leftrightarrow }}}$${\görüntüleme stili\sağ ok }$

Normal formlar ve kelime problemi

Kelime problemini çözme: karar vermek genellikle sezgisel arama gerektiriyorsa ( kırmızı , yeşil ), karar vermek ise basittir ( gri ). Terim yeniden yazma sistemleri için Knuth-Bendix tamamlama algoritması , mümkünse benzersiz normal formlar oluşturmak için genişler .${\displaystyle x{\stackrel {*}{\leftrightarrow}}y}$${\displaystyle x\downarrow =y\downarrow }$${\görüntüleme stili\sağ ok }$

Bir amacı, X in A olarak adlandırılır indirgenebilir başka mevcut ise y de A ve ; aksi halde indirgenemez veya normal bir form olarak adlandırılır . Bir y nesnesi , eğer ve y indirgenemez ise , x'in normal bir formu olarak adlandırılır . Eğer X bir sahiptir özgü normal form, daha sonra bu, genellikle ile gösterilmiştir . Yukarıdaki örnek 1'de c normal bir formdur ve . Her nesnenin en az bir normal formu varsa, ARS'ye normalleştirme denir . ${\displaystyle x\sağ ok y}$${\displaystyle x{\stackrel {*}{\rightarrow }}y}$${\görüntüleme stili x\aşağı ok}$${\displaystyle c=a\aşağı yön =b\aşağı yön }$

Bir ARS'de formüle edilebilecek önemli problemlerden biri kelime problemidir : verilen x ve y , altında eşdeğer midir? Bu, cebirsel bir yapının sunumu için kelime problemini formüle etmek için çok genel bir ayardır . Örneğin, gruplar için kelime problemi , bir ARS kelime probleminin özel bir durumudur. Problem kelimesi için "kolay" bir çözümün merkezinde, benzersiz normal formların varlığı yatar: bu durumda iki nesne, ancak ve ancak aynı normal forma sahiplerse eşdeğerdir . Bir ARS için kelime problemi genel olarak karar verilemez . ${\displaystyle {\stackrel {*}{\leftrightarrow }}}$${\displaystyle {\stackrel {*}{\leftrightarrow }}}$

birleştirilebilirlik

İlişkili, ancak normal formların varlığından daha zayıf bir kavram, iki nesnenin birleştirilebilir olduğu fikridir : x ve y'nin , özelliğine sahip bir z varsa, birleştirilebilir olduğu söylenir . Bu tanımdan, birleştirilebilirlik ilişkisinin , ilişkilerin bileşiminin nerede olduğu şeklinde tanımlanabileceği açıktır . Katılma olanağı genellikle ayrıca, bir dereceye kadar kafa karıştırıcı gösterilir , ama bu gösterimde aşağı ok, bir ikili ilişki olduğu için, bilgileri, yani , eğer x ve y bağlanabilen bulunmaktadır. ${\displaystyle x{\stackrel {*}{\rightarrow }}z{\stackrel {*}{\leftarrow }}y}$${\displaystyle {\stackrel {*}{\rightarrow }}\circ {\stackrel {*}{\leftarrow }}}$${\görüntüleme stili\çember }$${\görüntüleme stili\aşağı ok}$${\displaystyle x{\mathbin {\downarrow }}y}$

Church-Rosser özelliği ve izdiham kavramları

Bir ARS'nin Church-Rosser özelliğine sahip olduğu, ancak ve ancak tüm nesneler için x , y ima ediyorsa sahip olduğu söylenir . Eşdeğer olarak, Church-Rosser özelliği, dönüşlü geçişli simetrik kapanmanın birleştirilebilirlik ilişkisinde yer aldığı anlamına gelir. Alonzo Church ve J. Barkley Rosser , 1936'da lambda hesabının bu özelliğe sahip olduğunu kanıtladı ; dolayısıyla mülkün adı. Church-Rosser özelliğine sahip bir ARS'de kelime sorunu, ortak bir halef arayışına indirgenebilir. Bir Church-Rosser sisteminde, bir nesnenin en fazla bir normal formu vardır; yani bir nesnenin normal biçimi, varsa benzersizdir, ancak var olmayabilir. ${\displaystyle x{\stackrel {*}{\leftrightarrow}}y}$${\displaystyle x{\mathbin {\downarrow }}y}$

Church-Rosser'dan daha basit olan çeşitli özellikler ona eşdeğerdir. Bu eşdeğer özelliklerin varlığı, bir sistemin daha az iş ile Church-Rosser olduğunu kanıtlamaya izin verir. Ayrıca, birleşme kavramları belirli bir nesnenin özellikleri olarak tanımlanabilir, bu Church-Rosser için mümkün olmayan bir şeydir. Bir ARS olduğu söylenir, ${\görüntüleme stili (A,\sağ ok )}$

• confluent eğer ve sadece A'daki tüm w , x ve y için , ima ediyorsa . Kabaca söylemek gerekirse, izdiham iki yol ortak bir atadan sapmak nasıl olursa olsun (diyor w ), yollar birleşmektedir bazı ortak halefi. Bu nosyon, belirli bir nesnenin w özelliği olarak rafine edilebilir ve tüm elemanları birleşik ise sistem birleşik olarak adlandırılır.${\displaystyle x{\stackrel {*}{\leftarrow }}w{\stackrel {*}{\rightarrow }}y}$${\displaystyle x{\mathbin {\downarrow }}y}$
• yarı-birleşik, ancak ve ancak A'daki tüm w , x ve y için , anlamına gelirse . Adlı tek aşamalı indirgeme ile kesişiminin Bu farklılık ağırlık için x .${\displaystyle x\leftarrow w{\stackrel {*}{\rightarrow }}y}$${\displaystyle x{\mathbin {\downarrow }}y}$
• yerel olarak birleşik ancak ve ancak A'daki tüm w , x ve y için , ima ediyorsa . Bu özelliğe bazen zayıf izdiham denir .${\displaystyle x\sol ok w\sağ ok y}$${\displaystyle x{\mathbin {\downarrow }}y}$

Church-Rosser özelliğine sahip olmayan yerel olarak birleşik yeniden yazma sistemi örneği

Teorem. Bir ARS için aşağıdaki üç koşul eşdeğerdir: (i) Church-Rosser özelliğine sahiptir, (ii) birleşiktir, (iii) yarı birleşiktir.

Sonuç . Bir birleşik ARS'de eğer öyleyse ${\displaystyle x{\stackrel {*}{\leftrightarrow}}y}$

• Eğer her iki X ve Y normal formlar, daha sonra X = Y .
• Eğer Y daha sonra normal bir şekilde, bir${\displaystyle x{\stackrel {*}{\rightarrow }}y}$

Bu denklikler nedeniyle, literatürde tanımlarda oldukça fazla çeşitlilikle karşılaşılmaktadır. Örneğin, Terese'de Church-Rosser özelliği ve izdiham eşanlamlı ve burada sunulan izdiham tanımıyla özdeş olarak tanımlanmıştır; Burada tanımlandığı şekliyle Church-Rosser isimsiz kalır, ancak eşdeğer bir özellik olarak verilir; diğer metinlerden bu ayrılma kasıtlıdır. Çünkü yukarıda doğal sonucu arasında bir normal şekilde tanımlayabilir y ve x indirgenemez olarak y bu özelliği ile . Book ve Otto'da bulunan bu tanım, burada birleşik bir sistemde verilen genel tanımla eşdeğerdir, ancak birleşik olmayan bir ARS'de daha kapsayıcıdır. ${\displaystyle x{\stackrel {*}{\leftrightarrow}}y}$

Yerel birleşim ise bu bölümde verilen diğer birleşme kavramlarıyla eşdeğer değildir, ancak birleşmeden kesinlikle daha zayıftır. Tipik karşı örnek, yerel olarak birleşik olan ancak birleşik olmayan 'dir (bkz. resim). ${\displaystyle \{b\rightarrow c,c\rightarrow b,b\rightarrow a,c\rightarrow d\}}$

Sonlandırma ve yakınsama

Eğer sonsuz bir zincir yoksa, soyut bir yeniden yazma sisteminin sonlu veya noetherian olduğu söylenir . (Bu sadece yeniden yazma ilişkisinin Noetherian bir ilişki olduğunu söylüyor .) Sonlandırıcı bir ARS'de her nesnenin en az bir normal formu vardır, bu nedenle normalleşiyor. Bunun tersi doğru değil. Örneğin 1. örnekte, sistem normalleşiyor olsa bile sonsuz bir yeniden yazma zinciri vardır . Birleşen ve sona eren bir ARS, kurallı veya yakınsak olarak adlandırılır . Yakınsak bir ARS'de, her nesnenin benzersiz bir normal formu vardır. Ancak, örnek 1'de görüldüğü gibi, her eleman için benzersiz bir normalin var olması için sistemin konfluent ve normalleştirici olması yeterlidir. ${\displaystyle x_{0}\rightarrow x_{1}\rightarrow x_{2}\rightarrow \cdots }$${\ Displaystyle a\rightarrow b\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow \cdots }$

Teorem ( Newman's Lemma ): Sonlandırıcı bir ARS, ancak ve ancak yerel olarak birleşikse birleşiktir.

Newman tarafından bu sonucun orijinal 1942 kanıtı oldukça karmaşıktı. 1980'e kadar Huet , sona ererken sağlam temelli tümevarım uygulayabileceğimiz gerçeğinden yararlanan çok daha basit bir kanıt yayınladı . ${\görüntüleme stili\sağ ok }$

Notlar

daha fazla okuma

• Baader, Franz ; Nipkow, Tobias (1998). Terim Yeniden Yazma ve Hepsi . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 9780521779203. Lisans öğrencileri için uygun bir ders kitabı.
• Nachum Dershowitz ve Jean-Pierre Jouannaud Yeniden Yazma Sistemleri , Bölüm 6, Jan van Leeuwen (Ed.), Handbook of Theoretical Computer Science, Cilt B: Biçimsel Modeller ve Semantik. , Elsevier ve MIT Press, 1990, ISBN  0-444-88074-7 , s. 243–320. Önbaskısını Bu bölümün yazarları serbestçe kullanılabilir, ancak rakamlar kaçırır.
• Ronald V. Book ve Friedrich Otto, String-rewriting Systems , Springer (1993). Bölüm 1, "Özet indirgeme sistemleri"
• Marc Bezem , Jan Willem Klop , Roel de Vrijer ("Terese"), Terim yeniden yazma sistemleri , Cambridge University Press, 2003, ISBN  0-521-39115-6 , Bölüm 1. Bu kapsamlı bir monograftır. Bununla birlikte, başka yerlerde yaygın olarak rastlanmayan oldukça fazla gösterim ve tanım kullanır. Örneğin, Church-Rosser özelliği, izdiham ile özdeş olarak tanımlanır.
• John Harrison , Handbook of Practical Logic and Automated Reasoning , Cambridge University Press, 2009, ISBN  978-0-521-89957-4 , bölüm 4 "Eşitlik". Denklemsel mantıkta problem çözmenin pratik perspektifinden soyut yeniden yazma .
• Gérard Huet , Confluent Reductions: Abstract Properties and Applications to Term Rewriting Systems , Journal of the ACM ( JACM ), Ekim 1980, Cilt 27, Sayı 4, s. 797-821. Huet'in makalesi modern kavramların, sonuçların ve gösterimlerin çoğunu oluşturdu.
• Sinyor, J.; "The 3x+1 Problem as a String Rewriting System" , International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences , Cilt 2010 (2010), Makale ID 458563, 6 sayfa.