Vähennysjärjestelmä

Vuonna matemaattinen logiikka ja teoreettisen tietojenkäsittelyopin , termi pelkistysjärjestelmässä tai abstrakteja vähentäminen järjestelmän , tai ARS varten lyhyitä , edustaa yleistys termi kirjoittamasta järjestelmien . Yksinkertaisimmassa muodossaan ARS on joukko objekteja yhdessä binäärisen relaation kanssa , johon yleisesti viitataan. Yksinkertaisuudesta huolimatta ARS riittää kuvaamaan termien uudelleenkirjoittamisjärjestelmien tärkeitä ominaisuuksia, kuten B. normaalit muodot , irtisanominen ja erilaiset yhtymäkäsitteet . ${\ displaystyle \ rightarrow}$

Historiallisesti termien uudelleenkirjoittamisessa on ollut useita erilaisia ​​abstrakteja, joista jokaisella on omat erityispiirteensä. Nykyisin eniten käytetty muodollistaminen, jota täällä noudatetaan, perustuu Gérard Huetin (1980) työhön .

määritelmä

ARS koostuu joukosta , esineitä, yhdessä binary relaatio , yleensä merkitty. Tätä suhdetta kutsutaan pelkistyssuhteeksi tai yksinkertaisesti pelkistykseksi .${\ displaystyle \ rightarrow}$

Matemaattisena objektina ARS on sama kuin merkitsemätön siirtymäjärjestelmä . Kohdistus ja terminologia eroavat kuitenkin toisistaan ​​näillä kahdella alueella: Siirtymäjärjestelmässä on kiinnostunut tulkitsemaan merkinnät toiminnoiksi, kun taas ARS: ssä keskitytään siihen, miten objektit muunnetaan (pienennetään) muiksi.

esimerkki

Objektijoukko on T = { a , b , c } ja binäärisuhde → määritellään seuraavasti: → ; tämä kirjoitetaan yleensä nimellä ${\ displaystyle = \ {(a, b), (b, a), (a, c), (b, c) \}}$

Jos lukee tätä säännöt, joiden elementit voidaan muuntaa muiden, niin nähdään, että sekä ja b voidaan muuttaa (pienentää) otetaan c . Ilmeisesti tämä on järjestelmän tärkeä ominaisuus. Tavallaan c on järjestelmän "yksinkertaisin" objekti, koska mitään sääntöjä ei voida soveltaa c: hen tämän elementin muuntamiseksi edelleen.

Perustermit

Edellä oleva esimerkki johtaa joihinkin tärkeisiin termeihin ARS: n yhteydessä.

• ${\ displaystyle {\ stackrel {*} {\ rightarrow}}}$on transitiivinen kuori on , jossa = on identiteetti ; d. H. on pienin kvasi-järjestys ( refleksiivinen ja transitiivinen suhde), joka sisältää. Se on myös refleksiivinen ja transitiivinen kuori on .${\ displaystyle \ rightarrow \ cup =}$${\ displaystyle {\ stackrel {*} {\ rightarrow}}}$${\ displaystyle \ rightarrow}$${\ displaystyle \ rightarrow}$

• ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$on , d. H. suhteen suhde sen käänteissuhteeseen ; on myös tunnetaan symmetrinen kirjekuori on .${\ displaystyle \ rightarrow \ cup \ rightarrow ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ rightarrow}$${\ displaystyle \ leftrightarrow}$${\ displaystyle \ rightarrow}$
• ${\ displaystyle {\ stackrel {*} {\ leftrightarrow}}}$on transitiivinen runko , so. H. on pienin vastaavuussuhde, joka sisältää. Se tunnetaan myös refleksiivinen transitiivinen symmetrinen kirjekuori on .${\ displaystyle \ leftrightarrow \ cup =}$${\ displaystyle {\ stackrel {*} {\ leftrightarrow}}}$${\ displaystyle \ rightarrow}$${\ displaystyle \ rightarrow}$

Normaalit muodot ja sanaongelma

Kohteen x kohdassa A sanotaan olevan pelkistettävä, jos A: ssa on objekti y , joka eroaa x : stä ; muuten sitä kutsutaan pelkistämättömäksi tai normaaliksi muodoksi . Objektia y kutsutaan x: n normaalimuodoksi, jos se pitää paikkansa ja y on pelkistämätön. Jos x: llä on ainutlaatuinen normaalimuoto, sitä merkitään. ${\ displaystyle x \ rightarrow y}$${\ displaystyle x {\ stackrel {*} {\ rightarrow}} y}$${\ displaystyle x \ downarrow}$

Yllä olevassa esimerkissä c on a: n ja b: n normaali muoto . Koska a ja b ovat pelkistettävissä, c on näiden elementtien ainoa normaali muoto . Jos jokaisella objektilla on ainakin yksi normaali muoto, ARS: ää kutsutaan normalisoivaksi . ${\ displaystyle c = a \ downarrow = b \ downarrow}$

Yksi tärkeistä ongelmista, joita voidaan muotoilla yhteydessä ARS on sana ongelma : Koska X ja y , ovat nämä kaksi objektia vastaavan summan suhde ? Tämä on hyvin yleinen kehys sanaongelmalle; niin on z. B. ryhmien sanaongelma on ARS-sanaongelman erityistapaus. Sanaongelma on helpompi käsitellä, kun on olemassa ainutlaatuisia normaalimuotoja: tässä tapauksessa kaksi objektia, joilla on sama normaalimuoto, ovat samanarvoisia alla . ARS: n sanaongelma on yleensä ratkaisematon . ${\ displaystyle {\ stackrel {*} {\ leftrightarrow}}}$${\ displaystyle {\ stackrel {*} {\ leftrightarrow}}}$

Normaalien muotojen olemassaoloa koskevan kysymyksen tutkimisessa termeillä Church-Rosser omaisuus ja yhtymäkohta on keskeinen merkitys.

turvota

• Franz Baader, Tobias Nipkow: Termien uudelleenkirjoittaminen ja kaikki tämä. Cambridge University Press, 1998. Sopii aloittelijoille.
• Nachum Dershowitz ja Jean-Pierre Jouannaud Rewrite Systems , Jan van Leeuwen (toim.), Luku 6, Tietojenkäsittelyteorian käsikirja. Osa B: Muodolliset mallit ja semantiikka. Elsevier / MIT Press, 1990, ISBN 0-444-88074-7 , s.243-320.
• Ronald V.Kirja , Friedrich Otto: Merkkijonojen uudelleenkirjoittamisjärjestelmät. Springer, Berliini 1993. Luku 1: Abstraktit pelkistysjärjestelmät. ISBN 0-387-97965-4 .
• Marc Bezem, JW Klop, Roel de Vrijer: Termien uudelleenkirjoittamisjärjestelmät. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-39115-6 , luku 1. (Tämä on laaja monografia).
• John Harrison: Käytännön logiikan ja automatisoidun päättelyn käsikirja. Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-89957-4 , luku 4: Tasa-arvo.
• Gérard Huet: Confluent Reduction: Tiivistelmäominaisuudet ja sovellukset termien uudelleenkirjoittamisjärjestelmiin. Julkaisussa: Journal of the ACM (JACM), osa 27, nro 4, lokakuu 1980, s. 797-821.

Yksittäiset todisteet

1. ^ Ronald V.Kirja, Friedrich Otto: Merkkijonojen uudelleenkirjoittamisjärjestelmät. S. 9.
2. ^ Ronald V.Kirja, Friedrich Otto: Merkkijonojen uudelleenkirjoittamisjärjestelmät. S.10.
3. ↑ Marc Bezem, JW Klop, Roel de Vrijer: Termin uudelleenkirjoittamisjärjestelmät. Sivut 7-8.
4. ^ Franz Baader, Tobias Nipkow: Termien uudelleenkirjoittaminen ja kaikki tämä. Sivut 8-9.
5. ^ Franz Baader, Tobias Nipkow: Termien uudelleenkirjoittaminen ja kaikki tämä. S. 11 f.