Viktfunktion - Weight function

En viktfunktion är en matematisk anordning som används när man utför en summa, en integral eller ett genomsnitt för att ge vissa element mer "vikt" eller inflytande på resultatet än andra element i samma uppsättning. Resultatet av denna tillämpning av en viktfunktion är en vägd summa eller ett viktat genomsnitt . Viktfunktioner förekommer ofta i statistik och analys och är nära relaterade till begreppet mått . Viktfunktioner kan användas i både diskreta och kontinuerliga inställningar. De kan användas för att konstruera kalkylsystem som kallas "viktad kalkyl" och "metakalkyl".

Diskreta vikter

Allmän definition

I den diskreta inställningen är en viktfunktion en positiv funktion definierad på en diskret uppsättning , som vanligtvis är ändlig eller räknbar . Viktfunktionen motsvarar den oviktade situationen där alla element har samma vikt. Man kan sedan tillämpa denna vikt på olika begrepp. ${\ displaystyle w \ colon A \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle w (a): = 1}$

Om funktionen är en riktig -valued funktion , då oviktade summan av den definieras som ${\ displaystyle f \ colon A \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ sum _ {a \ i A} f (a);}$

men med en viktfunktion definieras den viktade summan eller den koniska kombinationen som ${\ displaystyle w \ colon A \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$

${\ displaystyle \ sum _ {a \ i A} f (a) w (a).}$

En vanlig tillämpning av viktade summor uppstår i numerisk integration .

Om B är en begränsad delmängd av A kan man ersätta den obevägade kardinaliteten | B | av B genom den viktade kardinaliteten

${\ displaystyle \ sum _ {a \ i B} w (a).}$

Om A är en slutlig, icke-tom uppsättning kan man ersätta det obevägda medelvärdet eller genomsnittet

${\ displaystyle {\ frac {1} {| A |}} \ sum _ {a \ i A} f (a)}$

med det vägda medelvärdet eller det vägda genomsnittet

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {a \ i A} f (a) w (a)} {\ sum _ {a \ in A} w (a)}}.}$

I detta fall är endast de relativa vikterna relevanta.

Statistik

Viktade medel används ofta i statistik för att kompensera för förekomsten av fördomar . För en kvantitet uppmätt flera oberoende gånger med variansen , är den bästa uppskattningen av den signal som erhålls genom att ta medelvärdet alla mätningarna med vikt , och den resulterande variansen är mindre än var och en av de oberoende mätningar . De maximala sannolikhetsmetoden vikter skillnaden mellan passform och data med hjälp av samma vikter .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {2}}$${\ textstyle w_ {i} = 1 / {\ sigma _ {i} ^ {2}}}$${\ textstyle \ sigma ^ {2} = 1 / \ sum _ {i} w_ {i}}$${\ displaystyle w_ {i}}$

Det förväntade värdet för en slumpmässig variabel är det viktade genomsnittet av de möjliga värden som den kan ta på, med vikterna som respektive sannolikhet . Mer allmänt är det förväntade värdet för en funktion av en slumpmässig variabel det sannolikhetsviktade genomsnittet av de värden som funktionen tar på för varje möjligt värde av den slumpmässiga variabeln.

I regressioner där den beroende variabeln antas påverkas av både nuvarande och fördröjda (tidigare) värden för den oberoende variabeln uppskattas en distribuerad fördröjningsfunktion , denna funktion är ett viktat medelvärde av de aktuella och olika fördröjda oberoende variabla värden. På samma sätt anger en glidande medelmodell en utvecklingsvariabel som ett viktat genomsnitt av aktuella och olika eftersläpade värden för en slumpmässig variabel.

Mekanik

Terminologin viktfunktion uppstår ur mekanik : om man har en samling av objekt på en hävarm , med vikter (där vikt är nu tolkas i fysisk mening) och lägen , då spaken kommer att vara i balans, om stödpunkten hos hävarmen är vid den masscentrum${\ displaystyle n}$${\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {n}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {1}, \ dotsc, {\ boldsymbol {x}} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {\ boldsymbol {x}} _ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ { i}}},}$

vilket också är det viktade genomsnittet för positionerna .${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i}}$

Kontinuerliga vikter

I den kontinuerliga inställningen är en vikt ett positivt mått som på någon domän , som vanligtvis är en delmängd av ett euklidiskt utrymme , till exempel kan det vara ett intervall . Här är Lebesgue-mått och är en icke-negativ mätbar funktion . I detta sammanhang kallas viktfunktionen ibland för en densitet . ${\ displaystyle w (x) \, dx}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle w \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle w (x)}$

Allmän definition

Om är en verkligt värderad funktion , då är den obevägda integralen${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} f (x) \ dx}$

kan generaliseras till den viktade integralen

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} f (x) w (x) \, dx}$

Observera att man kan behöva kräva att vara helt integrerbar med avseende på vikten för att denna integral ska vara ändlig. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle w (x) \, dx}$

Viktad volym

Om E är en delmängd av kan volymen vol ( E ) för E generaliseras till den viktade volymen${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ int _ {E} w (x) \ dx,}$

Vägt genomsnitt

Om har en begränsad viktad volym som inte är noll, kan vi ersätta det obevägda genomsnittet${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathrm {vol} (\ Omega)}} \ int _ {\ Omega} f (x) \ dx}$

med det vägda genomsnittet

${\ displaystyle {\ frac {\ int _ {\ Omega} f (x) \, w (x) \, dx} {\ int _ {\ Omega} w (x) \, dx}}}$

Bilinär form

Om och är två funktioner kan man generalisera den ovägda bilinära formen${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ to {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle g \ colon \ Omega \ to {\ mathbb {R}}}$

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle: = \ int _ {\ Omega} f (x) g (x) \ dx}$

till en viktad bilinär form

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle: = \ int _ {\ Omega} f (x) g (x) \ w (x) \ dx.}$

Se posten på ortogonala polynom för exempel på viktade ortogonala funktioner .

Se även

• Masscentrum
• Numerisk integration
• Orthogonality
• Vägt medelvärde
• Linjär kombination
• Kärna (statistik)
• Mått (matematik)
• Riemann – Stieltjes integral

Referenser