Strukturell dynamik - Structural dynamics

Strukturell dynamik är en typ av strukturanalys som täcker beteendet hos en struktur som utsätts för dynamisk belastning (åtgärder med hög acceleration). Dynamiska belastningar inkluderar människor, vind, vågor, trafik, jordbävningar och sprängningar. Alla strukturer kan utsättas för dynamisk belastning. Dynamisk analys kan användas för att hitta dynamiska förskjutningar , tidshistorik och modal analys .

Strukturanalys handlar främst om att ta reda på beteendet hos en fysisk struktur när den utsätts för våld. Denna åtgärd kan vara i form av belastning på grund av tyngden på saker som människor, möbler, vind, snö, etc. eller någon annan typ av excitation som en jordbävning, markskakningar på grund av en sprängning i närheten etc. I grund och botten är alla dessa laster dynamiska, inklusive konstruktionens egenvikt, eftersom dessa laster vid någon tidpunkt inte fanns där. Skillnaden görs mellan den dynamiska och den statiska analysen på grundval av om den tillämpade åtgärden har tillräcklig acceleration jämfört med strukturens naturliga frekvens. Om en belastning appliceras tillräckligt långsamt kan tröghetskrafterna ( Newtons första rörelselag ) ignoreras och analysen kan förenklas som statisk analys.

En statisk belastning är en som varierar mycket långsamt. En dynamisk belastning är en som förändras med tiden ganska snabbt jämfört med strukturens naturliga frekvens. Om den förändras långsamt kan strukturens svar bestämmas med statisk analys, men om det varierar snabbt (relativt strukturens förmåga att svara) måste svaret bestämmas med en dynamisk analys.

Dynamisk analys för enkla strukturer kan utföras manuellt, men för komplexa strukturer kan ändliga elementanalyser användas för att beräkna lägesformer och frekvenser.

Förskjutningar

En dynamisk belastning kan ha en betydligt större effekt än en statisk belastning av samma storlek på grund av konstruktionens oförmåga att reagera snabbt på belastningen (genom att böja). Ökningen av effekten av en dynamisk belastning ges av den dynamiska förstärkningsfaktorn (DAF) eller den dynamiska belastningsfaktorn (DLF):

${\ displaystyle {\ text {DAF}} = {\ text {DLF}} = {\ frac {u _ {\ max}} {u _ {\ text {static}}}}}$

där u är strukturens avböjning på grund av den applicerade belastningen.

Diagram över dynamiska förstärkningsfaktorer mot icke-dimensionell stigningstid ( t _r / T ) finns för standardbelastningsfunktioner (för en förklaring av stigningstid, se tidshistorikanalys nedan). Därför kan DAF för en given belastning läsas från grafen, den statiska avböjningen kan enkelt beräknas för enkla strukturer och den dynamiska avböjningen hittas.

Tidshistorisk analys

En heltidshistorik ger svaret från en struktur över tiden under och efter appliceringen av en last. För att hitta en heltidshistorik för en strukturs svar måste du lösa strukturens rörelseekvation .

Exempel

En enkel enda frihetsgrad systemet (en massa , M , på en fjäder av styvhets k , till exempel) har följande rörelseekvation:

${\ displaystyle M {\ ddot {x}} + kx = F (t)}$

var är accelerationen ( förskjutningens dubbla derivat ) och x är förskjutningen. ${\ displaystyle {\ ddot {x}}}$

Om belastningen F ( t ) är en Heaviside-stegfunktion (den plötsliga appliceringen av en konstant belastning) är lösningen på rörelseekvationen:

${\ displaystyle x = {\ frac {F_ {0}} {k}} [1- \ cos (\ omega t)]}$

där och den grundläggande egenfrekvensen, . ${\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {k} {M}}}}$${\ displaystyle f = {\ frac {\ omega} {2 \ pi}}}$

Den statiska avböjningen av ett enda frihetssystem är:

${\ displaystyle x _ {\ text {static}} = {\ frac {F_ {0}} {k}}}$

så att vi kan skriva, genom att kombinera ovanstående formler:

${\ displaystyle x = x _ {\ text {static}} [1- \ cos (\ omega t)]}$

Detta ger strukturens (teoretiska) tidshistoria på grund av en belastning F (t), där det falska antagandet görs att det inte finns någon dämpning .

Även om detta är för förenklat för att kunna tillämpas på en verklig struktur, är Heaviside-stegfunktionen en rimlig modell för applicering av många riktiga laster, till exempel plötsligt tillägg av ett möbel, eller avlägsnande av en prop till en nygjuten betong golv. I verkligheten appliceras dock aldrig belastningar direkt - de byggs upp under en tidsperiod (det kan verkligen vara mycket kort). Denna tid kallas stigtiden .

I takt med att antalet frihetsgrader för en struktur ökar blir det väldigt snabbt för svårt att beräkna tidshistoriken manuellt - verkliga strukturer analyseras med hjälp av icke-linjär programvara för ändlig elementanalys .

Dämpning

Varje verklig struktur kommer att skingra energi (främst genom friktion). Detta kan modelleras genom att modifiera DAF

${\ displaystyle {\ text {DAF}} = 1 + e ^ {- c \ pi}}$

var och är vanligtvis 2–10% beroende på typ av konstruktion: ${\ displaystyle c = {\ frac {\ text {dämpningskoefficient}} {\ text {kritisk dämpningskoefficient}}}}$

• Bultat stål ~ 6%
• Armerad betong ~ 5%
• Svetsat stål ~ 2%
• Tegel murverk ~ 10%

Metoder för att öka dämpningen

En av de allmänt använda metoderna för att öka dämpningen är att fästa ett materialskikt med hög dämpningskoefficient, till exempel gummi, på en vibrerande struktur.

Modal analys

En modal analys beräknar frekvenslägena eller naturliga frekvenserna hos ett givet system, men inte nödvändigtvis dess heltid historia svar på en given insignal. Ett systems naturliga frekvens beror endast på strukturens styvhet och massan som deltar i strukturen (inklusive egenvikt). Det är inte beroende av lastfunktionen.

Det är användbart att känna till en modals frekvenser för en struktur eftersom det gör att du kan se till att frekvensen för varje applicerad periodisk belastning inte kommer att sammanfalla med en modal frekvens och därmed orsaka resonans , vilket leder till stora svängningar .

Metoden är:

1. Hitta de naturliga lägena (formen antagen av en struktur) och naturliga frekvenser
2. Beräkna svaret för varje läge
3. Alternativt kan du lägga responsen för varje läge för att hitta det fullständiga modalresponsen för en viss laddning

Energimetod

Det är möjligt att beräkna frekvensen för systemets olika lägesform manuellt med energimetoden . För en given lägesform av ett system med flera graders frihet kan du hitta en "ekvivalent" massa, styvhet och applicerad kraft för ett enda frihetssystem. För enkla strukturer kan grundlägesformerna hittas genom inspektion, men det är inte en konservativ metod. Rayleighs princip säger:

"Frekvensen ω för ett godtyckligt vibrationssätt, beräknat med energimetoden, är alltid större än - eller lika med - grundfrekvensen ω _n ."

För en antagen modeform , av ett strukturellt system med massa M; böjningsstyvhet, EI ( Youngs modul , E , multiplicerat med det andra ögonblicket , I ); och applicerad kraft, F ( x ): ${\ displaystyle {\ bar {u}} (x)}$

${\ displaystyle {\ text {Motsvarande massa,}} M _ {\ text {eq}} = \ int M {\ bar {u}} ^ {2} \, du}$

${\ displaystyle {\ text {Motsvarande styvhet,}} k _ {\ text {eq}} = \ int EI \ vänster ({\ frac {d ^ {2} {\ bar {u}}} {dx ^ {2} }} \ höger) ^ {2} \, dx}$

${\ displaystyle {\ text {Motsvarande kraft,}} F _ {\ text {eq}} = \ int F {\ bar {u}} \, dx}$

sedan, som ovan:

${\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {k _ {\ text {eq}}} {M _ {\ text {eq}}}}}$

Modalt svar

Det kompletta modalsvaret på en given belastning F ( x , t ) är . Summationen kan genomföras med en av tre vanliga metoder: ${\ displaystyle v (x, t) = \ sum u_ {n} (x, t)}$

• Övervaka hela tidshistoriken för varje läge (tidskrävande men exakt)
• Lägg de maximala amplituderna för varje läge (snabb men konservativ)
• Lägg kvadratroten av summan av kvadraterna (bra uppskattning för väl separerade frekvenser, men osäker för frekvenser med nära avstånd)

Att överföra de enskilda modalsvaren manuellt, efter att ha beräknat dem med energimetoden:

Förutsatt att stigtiden t _r är känd ( T = 2 π / ω ) är det möjligt att läsa DAF från ett standarddiagram. Den statiska förskjutningen kan beräknas med . Den dynamiska förskjutningen för det valda läget och den applicerade kraften kan sedan hittas från: ${\ displaystyle u _ {\ text {static}} = {\ frac {F_ {1, {\ text {eq}}}} {k_ {1, {\ text {eq}}}}}$

${\ displaystyle u _ {\ max} = u _ {\ text {static}} {\ text {DAF}}}$

Modal deltagandefaktor

För verkliga system deltar ofta massan i tvångsfunktionen (såsom markens massa i en jordbävning ) och massan som deltar i tröghetseffekter (massan av själva strukturen, M _ekv. ). Den modala deltagandefaktorn Γ är en jämförelse av dessa två massor. För en enda grad av frihetssystem Γ = 1.

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {\ sum M_ {n} {\ bar {u}} _ {n}} {\ sum M_ {n} {\ bar {u}} _ {n} ^ {2} }}}$

externa länkar

• DYSSOLVE: Dynamic System Solver - En krypterad källa, lätt, kostnadsfri programvara som kan användas för att lösa grundläggande strukturella dynamikproblem.
• Strukturell dynamik och vibrationslaboratorium vid McGill University
• Frame3DD analysprogram för öppen källkod 3D-strukturell dynamik
• Frekvensresponsfunktion från modala parametrar
• Structural Dynamics Tutorials & Matlab scripts
• AIAA Exploring Structural Dynamics ( http://www.exploringstructuraldynamics.org/ ) - Structural Dynamics in Aerospace Engineering: Interactive Demos, Videos & Interviews with Practicing Engineers