Strukturell dynamikk - Structural dynamics

Strukturell dynamikk er en type strukturell analyse som dekker oppførselen til en struktur utsatt for dynamisk belastning (handlinger med høy akselerasjon). Dynamiske belastninger inkluderer mennesker, vind, bølger, trafikk, jordskjelv og eksplosjoner. Enhver konstruksjon kan utsettes for dynamisk belastning. Dynamisk analyse kan brukes til å finne dynamiske forskyvninger , tidshistorikk og modal analyse .

Strukturanalyse er hovedsakelig opptatt av å finne ut atferden til en fysisk struktur når den utsettes for makt. Denne handlingen kan være i form av belastning på grunn av vekten av ting som mennesker, møbler, vind, snø, etc. eller annen form for eksitasjon som et jordskjelv, risting av bakken på grunn av en eksplosjon i nærheten osv. I hovedsak er alle disse belastningene dynamiske, inkludert konstruksjonens egenvekt, fordi disse belastningene på et tidspunkt ikke var der. Det skilles mellom den dynamiske og den statiske analysen på grunnlag av om den anvendte handlingen har nok akselerasjon i forhold til strukturens naturlige frekvens. Hvis en belastning påføres tilstrekkelig sakte, kan treghetskreftene ( Newtons første bevegelseslov ) ignoreres, og analysen kan forenkles som statisk analyse.

En statisk belastning er en som varierer veldig sakte. En dynamisk belastning er en som endres med tiden ganske raskt i forhold til strukturens naturlige frekvens. Hvis den endrer seg sakte, kan strukturens respons bestemmes med statisk analyse, men hvis den varierer raskt (i forhold til strukturens evne til å svare), må responsen bestemmes med en dynamisk analyse.

Dynamisk analyse for enkle strukturer kan utføres manuelt, men for komplekse strukturer kan endelige elementanalyser brukes til å beregne modusformer og frekvenser.

Forskyvninger

En dynamisk belastning kan ha en betydelig større effekt enn en statisk belastning av samme størrelse på grunn av strukturens manglende evne til å reagere raskt på belastningen (ved å avbøye). Økningen i effekten av en dynamisk belastning er gitt av den dynamiske forsterkningsfaktoren (DAF) eller den dynamiske belastningsfaktoren (DLF):

${\ displaystyle {\ text {DAF}} = {\ text {DLF}} = {\ frac {u _ {\ max}} {u _ {\ text {static}}}}}$

hvor u er avbøyningen av strukturen på grunn av den påførte belastningen.

Grafer over dynamiske forsterkningsfaktorer mot ikke-dimensjonal stigetid ( t _r / T ) eksisterer for standard belastningsfunksjoner (for en forklaring av stigetid, se tidshistorisk analyse nedenfor). Derfor kan DAF for en gitt belastning leses fra grafen, den statiske nedbøyningen kan enkelt beregnes for enkle strukturer og den dynamiske avbøyningen som er funnet.

Tidshistorisk analyse

En historikk på heltid vil gi responsen til en struktur over tid under og etter påføring av last. For å finne historiens fulltidshistorikk for en strukturs respons, må du løse strukturens bevegelsesligning .

Eksempel

En enkel enkelt frihetsgrad system (en masse , M , på en fjær av stivhet k , for eksempel) har følgende bevegelsesligning:

${\ displaystyle M {\ ddot {x}} + kx = F (t)}$

hvor er akselerasjonen (det dobbelte derivatet av forskyvningen) og x er forskyvningen. ${\ displaystyle {\ ddot {x}}}$

Hvis belastningen F ( t ) er en Heaviside-trinnfunksjon (den plutselige påføringen av en konstant belastning), er løsningen på bevegelsesligningen:

${\ displaystyle x = {\ frac {F_ {0}} {k}} [1- \ cos (\ omega t)]}$

der og den grunnleggende naturlige frekvens, . ${\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {k} {M}}}}$${\ displaystyle f = {\ frac {\ omega} {2 \ pi}}}$

Den statiske nedbøyningen av et enkelt grad av frihetssystem er:

${\ displaystyle x _ {\ text {static}} = {\ frac {F_ {0}} {k}}}$

slik at vi kan skrive, ved å kombinere formlene ovenfor:

${\ displaystyle x = x _ {\ text {static}} [1- \ cos (\ omega t)]}$

Dette gir den (teoretiske) tidshistorikken til strukturen på grunn av en belastning F (t), der den falske antagelsen blir gjort om at det ikke er noen demping .

Selv om dette er for forenklet til å gjelde for en reell struktur, er Heaviside trinnfunksjon en rimelig modell for påføring av mange virkelige belastninger, for eksempel plutselig tilsetning av et møbel, eller fjerning av en rekvisitt til en nylig støpt betong gulv. Imidlertid blir belastninger aldri brukt umiddelbart - de bygger seg opp over en periode (dette kan faktisk være veldig kort). Denne tiden kalles stigningstiden .

Ettersom antall frihetsgrader for en struktur øker, blir det veldig fort for vanskelig å beregne tidshistorikken manuelt - virkelige strukturer blir analysert ved hjelp av ikke-lineær programvare for endelig elementanalyse .

Demping

Enhver reell struktur vil spre energi (hovedsakelig gjennom friksjon). Dette kan modelleres ved å modifisere DAF

${\ displaystyle {\ text {DAF}} = 1 + e ^ {- c \ pi}}$

hvor og er vanligvis 2–10% avhengig av konstruksjonstype: ${\ displaystyle c = {\ frac {\ text {dempingskoeffisient}} {\ text {kritisk dempingskoeffisient}}}}$

• Boltet stål ~ 6%
• Armert betong ~ 5%
• Sveiset stål ~ 2%
• Murstein murverk ~ 10%

Metoder for å øke dempingen

En av de mest brukte metodene for å øke dempingen er å feste et lag med materiale med høy dempningskoeffisient, for eksempel gummi, til en vibrerende struktur.

Modal analyse

En modal analyse beregner de frekvensmodi eller naturlige frekvenser av et gitt system, men ikke nødvendigvis full-tidshistorie respons til et gitt inngangssignal. Den naturlige frekvensen til et system er bare avhengig av strukturens stivhet og massen som deltar i strukturen (inkludert egenvekt). Det er ikke avhengig av lastfunksjonen.

Det er nyttig å kjenne modalfrekvensene til en struktur, da det gjør det mulig å sikre at frekvensen av påført periodisk belastning ikke vil falle sammen med en modalfrekvens og dermed forårsake resonans , noe som fører til store svingninger .

Metoden er:

1. Finn de naturlige modusene (formen vedtatt av en struktur) og naturlige frekvenser
2. Beregn responsen til hver modus
3. Alternativt kan du legge responsen til hver modus for å finne full modalrespons på en gitt belastning

Energimetode

Det er mulig å beregne frekvensen av systemets forskjellige modusform manuelt ved hjelp av energimetoden . For en gitt modusform av et system med flere frihetsgrader kan du finne en "ekvivalent" masse, stivhet og påført kraft for en enkelt grad av frihetssystem. For enkle strukturer kan grunnleggende modusformer bli funnet ved inspeksjon, men det er ikke en konservativ metode. Rayleighs prinsipp sier:

"Frekvensen ω til en vilkårlig vibrasjonsmåte, beregnet ved energimetoden, er alltid større enn - eller lik - grunnfrekvensen ω _n ."

For en antatt modusform , av et strukturelt system med masse M; bøyestivhet, EI ( Youngs modul , E , multiplisert med det andre øyeblikk av område , I ); og påført kraft, F ( x ): ${\ displaystyle {\ bar {u}} (x)}$

${\ displaystyle {\ text {Tilsvarende masse,}} M _ {\ text {eq}} = \ int M {\ bar {u}} ^ {2} \, du}$

${\ displaystyle {\ text {Tilsvarende stivhet,}} k _ {\ text {eq}} = \ int EI \ left ({\ frac {d ^ {2} {\ bar {u}}} {dx ^ {2} }} \ høyre) ^ {2} \, dx}$

${\ displaystyle {\ text {Tilsvarende kraft,}} F _ {\ text {eq}} = \ int F {\ bar {u}} \, dx}$

deretter, som ovenfor:

${\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {k _ {\ text {eq}}} {M _ {\ text {eq}}}}}$

Modal respons

Den komplette modale responsen til en gitt belastning F ( x , t ) er . Oppsummeringen kan utføres på en av tre vanlige metoder: ${\ displaystyle v (x, t) = \ sum u_ {n} (x, t)}$

• Overvåk komplette tidshistorikker for hver modus (tidkrevende, men nøyaktig)
• Ha maksimal amplitude i hver modus (rask, men konservativ)
• Sett kvadratroten av summen av kvadrater (godt estimat for godt separerte frekvenser, men usikre for frekvenser med tett mellomrom)

For å overordne de individuelle modalsvarene manuelt, etter å ha beregnet dem etter energimetoden:

Forutsatt at stigtiden t _r er kjent ( T = 2 π / ω ), er det mulig å lese DAF fra en standardgraf. Den statiske forskyvningen kan beregnes med . Den dynamiske forskyvningen for den valgte modusen og påførte kraften finner du da fra: ${\ displaystyle u _ {\ text {static}} = {\ frac {F_ {1, {\ text {eq}}}} {k_ {1, {\ text {eq}}}}}}$

${\ displaystyle u _ {\ max} = u _ {\ text {static}} {\ text {DAF}}}$

Modal deltakelsesfaktor

For ekte systemer er det ofte masse som deltar i tvangsfunksjonen (som massen av bakken i et jordskjelv ) og massen som deltar i treghetseffekter (massen av selve strukturen, M _ekv. ). Den modale deltakelse faktor Γ er en sammenligning av disse to massene. For en enkelt grad av frihetssystem Γ = 1.

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {\ sum M_ {n} {\ bar {u}} _ {n}} {\ sum M_ {n} {\ bar {u}} _ {n} ^ {2} }}}$

Eksterne linker

• DYSSOLVE: Dynamic System Solver - En kryptert kilde, lett, gratis programvare som kan brukes til å løse grunnleggende strukturelle dynamiske problemer.
• Strukturell dynamikk og vibrasjonslaboratorium ved McGill University
• Frame3DD åpen kildekode 3D strukturell dynamikk analyse program
• Frekvensresponsfunksjon fra modale parametere
• Structural Dynamics Tutorials & Matlab scripts
• AIAA Exploring Structural Dynamics ( http://www.exploringstructuraldynamics.org/ ) - Structural Dynamics in Aerospace Engineering: Interactive Demos, Videos & Interviews with Practicing Engineers