Sannolikhetstolkningar - Probability interpretations

Ordet sannolikhet har använts på en mängd olika sätt sedan det först tillämpades på den matematiska studien av hasardspel . Mäter sannolikheten den verkliga, fysiska, tendensen hos något att inträffa, eller är det ett mått på hur starkt man tror att det kommer att inträffa, eller drar den på båda dessa element? När man svarar på sådana frågor tolkar matematiker sannolikhetsvärdena för sannolikhetsteorin .

Det finns två breda kategorier av sannolikhetstolkningar som kan kallas "fysiska" och "bevisliga" sannolikheter. Fysiska sannolikheter, som också kallas objektiva eller frekvenssannolikheter , är associerade med slumpmässiga fysiska system som roulettehjul, rullande tärningar och radioaktiva atomer. I sådana system tenderar en given typ av händelse (såsom en form som ger en sex) att inträffa med en ihållande hastighet, eller "relativ frekvens", i en lång period av försök. Fysiska sannolikheter antingen förklarar eller åberopas för att förklara dessa stabila frekvenser. De två huvudsakliga teorierna om fysisk sannolikhet är frekventistiska konton (som de av Venn, Reichenbach och von Mises) och benägenhetskonton (som de av Popper, Miller, Giere och Fetzer).

Bevisande sannolikhet, även kallad Bayesiansk sannolikhet , kan tilldelas vilket som helst uttalande, även om ingen slumpmässig process är inblandad, som ett sätt att representera dess subjektiva sannolikhet, eller i vilken grad uttalandet stöds av tillgängliga bevis. På de flesta konton anses uppenbara sannolikheter vara grader av tro, definierade i termer av dispositioner att spela med vissa odds. De fyra viktigaste tydliga tolkningarna är den klassiska (t.ex. Laplace) tolkningen, den subjektiva tolkningen ( de Finetti och Savage), den epistemiska eller induktiva tolkningen ( Ramsey , Cox ) och den logiska tolkningen ( Keynes och Carnap ). Det finns också tydliga tolkningar av sannolikhet som täcker grupper, som ofta märks som "intersubjektiv" (föreslagna av Gillies och Rowbottom).

Vissa tolkningar av sannolikhet är associerade med tillvägagångssätt för statistisk inferens , inklusive teorier om uppskattning och hypotesprovning . Den fysiska tolkningen tas till exempel av anhängare av "frekventistiska" statistiska metoder, som Ronald Fisher , Jerzy Neyman och Egon Pearson . Statistiker från den motsatta Bayesian- skolan accepterar vanligtvis tolkningen av frekvenser när det är vettigt (men inte som en definition), men det finns mindre enighet om fysiska sannolikheter. Bayesians anser att beräkningen av bevisliga sannolikheter är både giltiga och nödvändiga i statistiken. Denna artikel fokuserar emellertid på tolkningar av sannolikhet snarare än teorier om statistisk inferens.

Terminologin för detta ämne är ganska förvirrande, delvis för att sannolikheter studeras inom en rad olika akademiska områden. Ordet "frekventist" är särskilt knepigt. För filosofer hänvisas till en viss teori om fysisk sannolikhet, en som mer eller mindre har övergivits. För forskare, å andra sidan, är " frekvent sannolikhet " bara ett annat namn för fysisk (eller objektiv) sannolikhet. De som främjar Bayesian-inferens ser " frekventistisk statistik " som ett tillvägagångssätt för statistisk inferens som baseras på frekvenstolkningen av sannolikhet, vanligtvis förlitar sig på lagen i stort antal och kännetecknas av det som kallas "Null Hypothesis Significance Testing" (NHST). Även ordet "objektivt", som tillämpat på sannolikhet, betyder ibland exakt vad "fysiskt" betyder här, men används också av bevisliga sannolikheter som fixas av rationella begränsningar, såsom logiska och epistemiska sannolikheter.

Man enas enhälligt om att statistik på något sätt beror på sannolikheten. Men vad sannolikhet är och hur den är kopplad till statistik har det sällan funnits en så fullständig oenighet och uppdelning av kommunikationen sedan Babels torn. Utan tvekan är mycket av oenigheten bara terminologisk och skulle försvinna under tillräckligt skarp analys.

- (Savage, 1954, s 2)

Filosofi

Den filosofi sannolikhetspresenterar problem främst i fråga om kunskapsteori och orolig gränssnittet mellan matematiska begrepp och vanligt språk som den används av icke-matematiker. Sannolikhetsteori är ett etablerat fält inom matematik. Det har sitt ursprung i korrespondens som diskuterar matematiken i hasardspel mellan Blaise Pascal och Pierre de Fermat på 1600-talet och formaliserades och gjordes axiomatisk som en distinkt gren av matematik av Andrey Kolmogorov på 1900-talet. I axiomatisk form har matematiska uttalanden om sannolikhetsteori samma typ av epistemologiskt förtroende inom matematikens filosofi som delas av andra matematiska uttalanden.

Den matematiska analysen har sitt ursprung i observationer av spelutrustningens beteende såsom spelkort och tärningar , som är utformade specifikt för att införa slumpmässiga och utjämnade element; i matematiska termer är de ämnen för likgiltighet . Detta är inte det enda sättet probabilistiska uttalanden används på vanligt mänskligt språk: när människor säger att " det kommer troligen att regna ", betyder de vanligtvis inte att resultatet av regn kontra icke-regn är en slumpmässig faktor som oddsen för närvarande gynnar; istället förstås sådana uttalanden kanske bättre som att de kvalificerar deras förväntningar på regn med ett visst förtroende. På samma sätt, när det skrivs att "den mest troliga förklaringen" av namnet Ludlow, Massachusetts "är att det namngavs efter Roger Ludlow ", menas här inte att Roger Ludlow gynnas av en slumpmässig faktor, utan snarare att detta är den mest troliga förklaringen av bevisen, som medger andra, mindre sannolika förklaringar.

Thomas Bayes försökte tillhandahålla en logik som kunde hantera olika grad av självförtroende; som sådan är Bayesians sannolikhet ett försök att omarbeta framställningen av probabilistiska uttalanden som ett uttryck för den grad av förtroende som troen de uttrycker hålls med.

Även om sannolikheten ursprungligen hade något vardagliga motiv, är dess moderna inflytande och användning utbredd, allt från evidensbaserad medicin , genom sex sigma , hela vägen till det sannolikt kontrollerbara beviset och strängteorilandskapet .

En sammanfattning av några tolkningar av sannolikhet
	Klassisk	Frekventist	Subjektiv	Benägenhet
Huvudhypotes	Principen om likgiltighet	Frekvens av förekomst	Grad av tro	Graden av orsakssamband
Konceptuell grund	Hypotetisk symmetri	Tidigare data och referensklass	Kunskap och intuition	Systemets nuvarande tillstånd
Konceptuell inställning	Antagande	Empirisk	Subjektiv	Metafysiskt
Enstaka fall möjliga	Ja	Nej	Ja	Ja
Exakt	Ja	Nej	Nej	Ja
Problem	Oklarhet i princip om likgiltighet	Cirkulär definition	Referensklassproblem	Omstridd koncept

Klassisk definition

Det första försöket med matematisk noggrannhet inom sannolikhetsområdet, som Pierre-Simon Laplace förkämpar , är nu känt som den klassiska definitionen . Utvecklat från studier av hasardspel (som tärning ) anger att sannolikheten delas lika mellan alla möjliga resultat, förutsatt att dessa resultat kan anses lika troliga. (3.1)

Slumpteorin består i att reducera alla händelser av samma slag till ett visst antal fall som är lika möjliga, det vill säga till sådana som vi kan vara lika obeslutade om när det gäller deras existens, och för att bestämma antalet fall gynnsamt för det evenemang vars sannolikhet eftersträvas. Förhållandet mellan detta antal och alla möjliga fall är måttet på denna sannolikhet, som alltså helt enkelt är en bråkdel vars täljare är antalet gynnsamma fall och vars nämnare är antalet alla möjliga fall.

- Pierre-Simon Laplace, En filosofisk uppsats om sannolikheter

Den klassiska definitionen av sannolikhet fungerar bra i situationer med endast ett begränsat antal lika troliga resultat.

Detta kan representeras matematiskt enligt följande: Om ett slumpmässigt experiment kan resultera i N ömsesidigt exklusiva och lika troliga resultat och om N _A av dessa resultat resulterar i händelse A , definieras sannolikheten för A

{\ displaystyle P (A) = {N_ {A} \ över N}.}

Det finns två tydliga begränsningar för den klassiska definitionen. För det första är det endast tillämpligt i situationer där det bara finns ett "begränsat" antal möjliga resultat. Men några viktiga slumpmässiga experiment, som att slänga ett mynt tills det stiger upp, ger upphov till en oändlig uppsättning resultat. Och för det andra måste du bestämma i förväg att alla möjliga resultat är lika troliga utan att förlita dig på begreppet sannolikhet för att undvika cirkularitet - till exempel av symmetriöverväganden.

Frekventism

För frekventister kan sannolikheten för att bollen landar i valfri ficka endast bestämmas av upprepade försök där det observerade resultatet konvergerar till den underliggande sannolikheten på lång sikt .

Frekventister menar att sannolikheten för en händelse är dess relativa frekvens över tid, (3.4), dvs dess relativa förekomstfrekvens efter upprepning av en process ett stort antal gånger under liknande förhållanden. Detta är också känt som aleatorisk sannolikhet. Händelserna antas styras av några slumpmässiga fysiska fenomen, som antingen är fenomen som är i princip förutsägbara med tillräcklig information (se determinism ); eller fenomen som i huvudsak är oförutsägbara. Exempel på den första typen är att kasta tärningar eller snurra ett roulettehjul ; ett exempel på den andra typen är radioaktivt förfall . När det gäller att slänga ett rättvist mynt säger frekventister att sannolikheten för att få ett huvud är 1/2, inte för att det finns två lika troliga resultat utan för att upprepade serier av stort antal försök visar att den empiriska frekvensen konvergerar till gränsen 1 / 2 när antalet försök går till oändlighet.

Om vi betecknar med antalet förekomster av en händelse i prövningar, så om vi säger det . ${\ displaystyle \ textstyle n_ {a}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {n_ {a} \ over n} = p}$ ${\ displaystyle \ textstyle P ({\ mathcal {A}}) = p}$

Den frekventa synen har sina egna problem. Det är naturligtvis omöjligt att faktiskt utföra en oändlighet av repetitioner av ett slumpmässigt experiment för att bestämma sannolikheten för en händelse. Men om bara ett begränsat antal repetitioner av processen utförs, kommer olika relativa frekvenser att visas i olika försöksserier. Om dessa relativa frekvenser definierar sannolikheten kommer sannolikheten att vara något annorlunda varje gång den mäts. Men den verkliga sannolikheten borde vara densamma varje gång. Om vi erkänner det faktum att vi bara kan mäta en sannolikhet med ett visst mätfel, kommer vi fortfarande in i problem eftersom mätfelet bara kan uttryckas som en sannolikhet, själva konceptet vi försöker definiera. Detta gör även frekvensdefinitionen cirkulär; se till exempel “ Vad är risken för en jordbävning? ”

Subjektivism

Subjektivister, även kända som Bayesians eller anhängare av epistemisk sannolikhet , ger uppfattningen om sannolikhet en subjektiv status genom att betrakta den som ett mått på individens 'grad av tro' som bedömer osäkerheten i en viss situation. Epistemisk eller subjektiv sannolikhet kallas ibland trovärdighet , i motsats till termen chans för en benägenhetssannolikhet. Några exempel på epistemisk sannolikhet är att tilldela en sannolikhet för förslaget att en föreslagen fysiklag är sant eller att bestämma hur sannolikt det är att en misstänkt begått ett brott baserat på de bevis som presenterats. Användningen av Bayesians sannolikhet väcker den filosofiska debatten om den kan bidra med giltiga motiveringar av tro . Bayesians pekar på arbetet från Ramsey (s 182) och de Finetti (s 103) som bevisar att subjektiva övertygelser måste följa sannolikhetslagarna om de ska vara sammanhängande. Bevis tvivlar på att människor kommer att ha en sammanhängande tro. Användningen av Bayesians sannolikhet innebär att man anger en tidigare sannolikhet . Detta kan erhållas med hänsyn till huruvida den erforderliga tidigare sannolikheten är större eller mindre än en referenssannolikhet associerad med en urnmodell eller ett tankeexperiment . Frågan är att för ett givet problem kan flera tankeexperiment gälla, och att välja ett är en bedömningsfråga: olika människor kan tilldela olika tidigare sannolikheter, så kallade referensklassproblem . " Soluppgångsproblemet " är ett exempel.

Benägenhet

Benägenhetsteoretiker tänker på sannolikheten som en fysisk benägenhet eller disposition eller en tendens av en viss typ av fysisk situation att ge ett resultat av ett visst slag eller att ge en långsiktig relativ frekvens av ett sådant resultat. Denna typ av objektiv sannolikhet kallas ibland ”slump”.

Benägenheter eller chanser är inte relativa frekvenser utan påstådda orsaker till de observerade stabila relativa frekvenserna. Benägenheter åberopas för att förklara varför upprepning av en viss typ av experiment kommer att generera givna utfallstyper med ihållande hastigheter, som kallas benägenheter eller chanser. Frekventister kan inte ta detta tillvägagångssätt, eftersom relativa frekvenser inte existerar för enstaka kast av ett mynt, utan bara för stora ensembler eller kollektiv (se "enstaka fall möjligt" i tabellen ovan). Däremot kan en propensitist använda lagen i stort antal för att förklara beteendet hos långvariga frekvenser. Denna lag, som är en konsekvens av axiomerna av sannolikhet, säger att om (till exempel) ett mynt kastas upprepade gånger många gånger, på ett sådant sätt att dess sannolikhet att landa huvuden är densamma vid varje kast, och resultaten är sannolikt oberoende, då kommer den relativa frekvensen av huvuden att vara nära sannolikheten för huvuden vid varje enskilt kast. Denna lag tillåter att stabila långsiktiga frekvenser är en manifestation av oförändrade enstaka fallsannolikheter. Förutom att förklara framväxten av stabila relativa frekvenser motiveras tanken med benägenhet av önskan att förstå enskilda fall sannolikhetsattribut i kvantmekanik, såsom sannolikheten för förfall av en viss atom vid en viss tidpunkt.

Den största utmaningen för benägenhetsteorier är att säga exakt vad benägenhet innebär. (Och naturligtvis för att visa att den definierade benägenheten har de nödvändiga egenskaperna.) För närvarande är tyvärr ingen av de välkända berättelserna om benägenhet nära att möta denna utmaning.

En benägenhet för sannolikhet gavs av Charles Sanders Peirce . En senare benägenhetsteori föreslogs av filosofen Karl Popper , som emellertid bara hade en liten bekantskap med skrifterna från C. S. Peirce. Popper noterade att resultatet av ett fysiskt experiment produceras av en viss uppsättning "genererande förhållanden". När vi upprepar ett experiment, som ordspråket säger, utför vi verkligen ett nytt experiment med en (mer eller mindre) liknande uppsättning genereringsförhållanden. Att säga att en uppsättning genererar betingelser har benägenhet p att producera de utfall E organen att dessa exakta betingelserna, om den upprepas i oändlighet, skulle ge ett resultat sekvens i vilken E inträffade med begränsande relativ frekvens p . För Popper skulle då ett deterministiskt experiment ha benägenhet 0 eller 1 för varje utfall, eftersom de genererande förhållandena skulle ha samma resultat vid varje försök. Med andra ord, icke-triviella benägenheter (de som skiljer sig från 0 och 1) existerar endast för verkligt icke-bestämda experiment.

Ett antal andra filosofer, inklusive David Miller och Donald A. Gillies , har föreslagit benägenhetsteorier som liknar Poppers.

Andra benägenhetsteoretiker (t.ex. Ronald Giere) definierar inte uttryckligen benägenheter alls utan ser snarare benägenheten såsom den definieras av den teoretiska roll den spelar i vetenskapen. De hävdade till exempel att fysiska storheter som elektrisk laddning inte heller kan definieras uttryckligen i termer av mer grundläggande saker, utan bara i termer av vad de gör (som att attrahera och avvisa andra elektriska laddningar). På ett liknande sätt är benägenheten vad som helst som fyller de olika roller som fysisk sannolikhet spelar inom vetenskapen.

Vilka roller spelar fysisk sannolikhet inom vetenskapen? Vilka är dess egenskaper? En central chansegenskap är att när det är känt begränsar det rationell tro att ta samma numeriska värde. David Lewis kallade detta Principal Principle , (3.3 & 3.5) en term som filosofer mestadels har antagit. Antag till exempel att du är säker på att ett visst partiskt mynt har benägenhet 0,32 att landa huvuden varje gång det kastas. Vad är då rätt pris för ett spel som betalar $ 1 om myntet landar på huvudet, och inget annat? Enligt Principal Principle är det verkliga priset 32 cent.

Logisk, epistemisk och induktiv sannolikhet

Det är allmänt erkänt att termen "sannolikhet" ibland används i sammanhang där det inte har något att göra med fysisk slumpmässighet. Tänk till exempel påståendet att dinosauriernas utrotning förmodligen orsakades av en stor meteorit som slog jorden. Uttalanden som "Hypotes H är förmodligen sant" har tolkats så att de (för närvarande tillgängliga) empiriska bevisen (E, säg) stöder H i hög grad. Denna grad av stöd av H med E har kallats den logiska sannolikheten för H givet E, eller den epistemiska sannolikheten för H givet E, eller den induktiva sannolikheten för H givet E.

Skillnaderna mellan dessa tolkningar är ganska små och kan verka obetydliga. En av de viktigaste punkterna för oenighet ligger i sambandet mellan sannolikhet och tro. Logiska sannolikheter conceived (exempelvis i Keynes ' Treatise on Sannolikhet ) att vara sakliga, logiska förbindelser mellan satser (eller meningar), och således att inte vara beroende på något sätt vid tron. De är grader av (partiell) intag , eller grader av logisk konsekvens , inte grader av tro . (De dikterar ändå riktiga grader av tro, vilket diskuteras nedan.) Frank P. Ramsey , å andra sidan, var skeptisk till förekomsten av sådana objektiva logiska relationer och hävdade att (bevisbar) sannolikhet är "logiken för partiell tro ". (s 157) Med andra ord hävdade Ramsey att epistemiska sannolikheter helt enkelt är grader av rationell tro, snarare än att vara logiska relationer som bara begränsar grader av rationell tro.

En annan punkt av oenighet gäller det unika med bevisbar sannolikhet i förhållande till ett visst kunskapstillstånd. Rudolf Carnap hävdade till exempel att logiska principer alltid bestämmer en unik logisk sannolikhet för alla uttalanden, i förhållande till alla bevis. Ramsey, däremot, trodde att även om grader av tro är föremål för vissa rationella begränsningar (såsom, men inte begränsade till, axiomer av sannolikhet), begränsar dessa begränsningar vanligtvis inte ett unikt värde. Rationella människor, med andra ord, kan skilja sig något i deras grad av tro, även om de alla har samma information.

Förutsägelse

En alternativ redogörelse för sannolikhet betonar förutsägelsens roll - förutsäga framtida observationer på grundval av tidigare observationer, inte på icke observerbara parametrar. I sin moderna form är det främst i Bayesian ven. Detta var sannolikhetens huvudsakliga funktion före 1900-talet, men föll i misstanke jämfört med det parametriska tillvägagångssättet, som modellerade fenomen som ett fysiskt system som observerades med fel, såsom i himmelska mekanik .

Det moderna prediktiva tillvägagångssättet var banbrytande av Bruno de Finetti , med den centrala tanken på utbytbarhet - att framtida observationer ska bete sig som tidigare observationer. Denna uppfattning kom till den engelskspråkiga världen med 1974 års översättning av de Finettis bok och har sedan dess förespråkats av sådana statistiker som Seymour Geisser .

Axiomatisk sannolikhet

Matematiken för sannolikhet kan utvecklas på en helt axiomatisk grund som är oberoende av någon tolkning: se artiklarna om sannolikhetsteori och sannolikhetsaxiom för en detaljerad behandling.

Se även

Referenser

Vidare läsning

Cohen, L (1989). En introduktion till filosofin om induktion och sannolikhet . Oxford New York: Clarendon Press Oxford University Press. ISBN 978-0198750789.
Eagle, Antony (2011). Sannhetsfilosofi: samtida avläsningar . Abingdon, Oxon New York: Routledge. ISBN 978-0415483872.
Gillies, Donald (2000). Filosofiska teorier om sannolikhet . London New York: Routledge. ISBN 978-0415182768.En omfattande monografi som täcker de fyra viktigaste nuvarande tolkningarna: logisk, subjektiv, frekvens, benägenhet. Föreslår också en ny intersubektiv tolkning.
Hacking, Ian (2006). Framväxten av sannolikhet: en filosofisk studie av tidiga idéer om sannolikhet, induktion och statistisk inferens . Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521685573.
Paul Humphreys , red. (1994) Patrick Suppes : vetenskaplig filosof , Synthese Library, Springer-Verlag.
- Vol. 1: Sannolikhet och probabilistisk kausalitet .
- Vol. 2: Fysikfilosofi, teoristruktur och mätning och handlingsteori .
Jackson, Frank och Robert Pargetter (1982) "Fysisk sannolikhet som en benägenhet", Noûs 16 (4): 567–583.
Khrennikov, Andrei (2009). Tolkningar av sannolikhet (2: a upplagan). Berlin New York: Walter de Gruyter. ISBN 978-3110207484.Täcker mestadels icke-Kolmogorov-sannolikhetsmodeller, särskilt med avseende på kvantfysik .
Lewis, David (1983). Filosofiska artiklar . New York: Oxford University Press. ISBN 978-0195036466.
Platon, Jan von (1994). Skapa modern sannolikhet: dess matematik, fysik och filosofi i historiskt perspektiv . Cambridge England New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521597357.
Rowbottom, Darrell (2015). Sannolikhet . Cambridge: Polity. ISBN 978-0745652573.En mycket tillgänglig introduktion till tolkningen av sannolikhet. Täcker alla huvudtolkningar och föreslår en ny tolkning av gruppnivå (eller "intersubjektiv"). Täcker även misstag och tillämpningar av tolkningar inom samhällsvetenskap och naturvetenskap.
Skyrms, Brian (2000). Val och chans: en introduktion till induktiv logik . Australien Belmont, Kalifornien: Wadsworth / Thomson Learning. ISBN 978-0534557379.

Languages

In other projects