Monoton funktion - Monotonic function

Figur 1. En monotont icke-minskande funktion.

Figur 2. En monotoniskt icke-ökande funktion

Figur 3. En funktion som inte är monoton

I matematik är en monoton funktion (eller monoton funktion ) en funktion mellan ordnade uppsättningar som bevarar eller vänder den givna ordningen . Detta koncept uppstod först i kalkylen och generaliserades senare till den mer abstrakta inställningen av ordningsteori .

I kalkyl och analys

I kalkyl kallas en funktion definierad på en delmängd av de reella talen med verkliga värden monoton om och bara om den antingen är helt icke-ökande eller helt icke-minskande. Det vill säga, enligt figur 1, en funktion som ökar monotont behöver inte uteslutande öka, den får helt enkelt inte minska. ${\ displaystyle f}$

En funktion kallas monotoniskt ökande (även ökande eller icke-minskande ), om för alla och sådant som man har , så bevarar ordningen (se figur 1). På samma sätt kallas en funktion monotoniskt minskande (även minskande eller icke-ökande ) om, när som helst , då , så att den vänder ordningen (se figur 2). ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle f \! \ vänster (x \ höger) \ leq f \! \ vänster (y \ höger)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle f \! \ vänster (x \ höger) \ geq f \! \ vänster (y \ höger)}$

Om ordningen i definitionen av monotonicitet ersätts av den strikta ordningen , då får man ett starkare krav. En funktion med denna egenskap kallas strikt ökande ( ökar också ). Återigen, genom att vända ordningssymbolen, hittar man ett motsvarande koncept som kallas strikt minskande ( minskar också ). En funktion kan kallas strikt monoton om den antingen strikt ökar eller minskar. Funktioner som är strikt monotona är en-till-en (eftersom de inte är lika med , antingen eller så, av monotonicitet, antingen eller , alltså .) ${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle <}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle x> y}$${\ displaystyle f \! \ vänster (x \ höger) <f \! \ vänster (y \ höger)}$${\ displaystyle f \! \ left (x \ right)> f \! \ left (y \ right)}$${\ displaystyle f \! \ vänster (x \ höger) \ neq f \! \ vänster (y \ höger)}$

Om det inte är klart att "ökande" och "minskande" anses inkludera möjligheten att upprepa samma värde vid på varandra följande argument, kan man använda termerna svagt monoton , svagt ökande och svagt minskande för att betona denna möjlighet.

Termerna "icke-minskande" och "icke-ökande" bör inte förväxlas med de (mycket svagare) negativa kvalifikationerna "minskar inte" och "ökar inte". Till exempel faller funktionen i figur 3 först, stiger sedan, faller sedan igen. Det minskar därför inte och ökar inte, men det är varken icke-minskande eller icke-ökande.

En funktion sägs vara absolut monoton över ett intervall om derivaten av alla ordningar av är icke -negativa eller alla icke -positiva vid alla punkter på intervallet. ${\ displaystyle f \! \ vänster (x \ höger)}$${\ displaystyle \ left (a, b \ right)}$${\ displaystyle f}$

Omvänd funktion

En funktion som är monoton, men inte strikt monoton, och därmed konstant på ett intervall, har inte en invers. Detta beror på att för att en funktion ska ha en invers måste det finnas en en-till-en-mappning från intervallet till funktionens domän. Eftersom en monoton funktion har några värden som är konstanta i dess domän betyder det att det skulle finnas mer än ett värde i intervallet som kartlägger till detta konstanta värde.

En funktion y = g ( x ) som är strikt monoton har dock en invers funktion så att x = h ( y ) eftersom det garanterat alltid kommer att finnas en en-till-en-mappning från intervall till domän för funktionen. En funktion kan också sägas vara strikt monoton på en rad värden och därmed ha en invers på det värdeområdet. Till exempel, om y = g ( x ) är strikt monoton på intervallet [ a , b ], så har det en invers x = h ( y ) på intervallet [ g ( a ), g ( b )], men vi kan inte säga att hela funktionsområdet har en invers.

Observera att vissa läroböcker felaktigt anger att en invers existerar för en monoton funktion, när de verkligen betyder att en invers existerar för en strikt monoton funktion.

Monoton transformation

Termen monoton transformation (eller monoton transformation ) kan också möjligen orsaka viss förvirring eftersom den hänvisar till en transformation genom en strikt ökande funktion. Detta är fallet inom ekonomin med avseende på de ordinära egenskaperna hos en verktygsfunktion som bevaras över en monoton transform (se även monoton preferenser ). I det här sammanhanget kallas det vi kallar en "monoton transformation", närmare bestämt en "positiv monoton transformation", för att skilja den från en "negativ monoton transformation", som vänder siffrornas ordning.

Några grundläggande tillämpningar och resultat

Följande egenskaper gäller för en monoton funktion : ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

• ${\ displaystyle f}$har gränser från höger och från vänster vid varje punkt i dess domän ;
• ${\ displaystyle f}$har en gräns vid positiv eller negativ oändlighet ( ) för antingen ett reellt tal ,, eller .${\ displaystyle \ pm \ infty}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle -\ infty}$
• ${\ displaystyle f}$kan bara ha hoppdiskontinuiteter ;
• ${\ displaystyle f}$kan bara ha otaligt många diskontinuiteter i sin domän. Diskontinuiteterna består dock inte nödvändigtvis av isolerade punkter och kan till och med vara täta i ett intervall ( a , b ).

Dessa egenskaper är anledningen till att monotoniska funktioner är användbara i tekniskt arbete vid analys . Några fler fakta om dessa funktioner är:

• om är en monoton funktion definierad på ett intervall , då är differentierbar nästan överallt på ; dvs uppsättningen tal i sådana som inte är differentierbar i har Lebesgue -mått noll . Dessutom kan detta resultat inte förbättras till att räknas: se Cantor -funktionen .${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$
• om den här mängden kan räknas är den absolut kontinuerlig.${\ displaystyle f}$
• om är en monoton funktion definierad på ett intervall , då är Riemann integrerbar .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ left [a, b \ right]}$${\ displaystyle f}$

En viktig tillämpning av monoton funktioner är inom sannolikhetsteorin . Om är en slumpmässig variabel är dess kumulativa fördelningsfunktion en monotoniskt ökande funktion. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle F_ {X} \! \ left (x \ right) = {\ text {Prob}} \! \ left (X \ leq x \ right)}$

En funktion är unimodal om den monotoniskt ökar upp till någon punkt ( läget ) och sedan monotont minskar.

När är en strikt monoton funktion, då är injektiv på sin domän, och om den rad av , då finns det en omvänd funktion på för . Däremot är varje konstant funktion monoton, men inte injektiv, och kan därför inte ha en invers. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle f}$

Inom topologi

En karta sägs vara monoton om var och en av dess fibrer är anslutna; dvs för varje element i (eventuellt tomt) set är anslutet. ${\ displaystyle f: X \ högerpil Y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f^{-1} (y)}$

I funktionell analys

I funktionell analys på ett topologiskt vektorutrymme sägs en (möjligen icke-linjär) operatör vara en monoton operatör om ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T: X \ högerpil X^{*}}$

${\ displaystyle (Tu-Tv, uv) \ geq 0 \ quad \ forall u, v \ in X.}$

Kachurovskiis sats visar att konvexa funktioner på Banach -utrymmen har monotona operatörer som sina derivat.

En delmängd av sägs vara en monoton uppsättning om för varje par och in , ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X \ times X^{*}}$${\ displaystyle [u_ {1}, w_ {1}]}$${\ displaystyle [u_ {2}, w_ {2}]}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle (w_ {1} -w_ {2}, u_ {1} -u_ {2}) \ geq 0.}$

${\ displaystyle G}$sägs vara maximal monoton om den är maximal bland alla monoton uppsättningar i betydelsen uppsättning inkludering. Diagrammet för en monoton operatör är en monoton uppsättning. En monoton operatör sägs vara maximal monoton om dess graf är en maximal monoton uppsättning . ${\ displaystyle G (T)}$

I ordningsteori

Orderteori behandlar godtyckliga delvis ordnade uppsättningar och förbeställda uppsättningar som en generalisering av reella tal. Ovanstående definition av monotonicitet är också relevant i dessa fall. Termerna "ökar" och "minskar" undviks emellertid, eftersom deras konventionella bildframställning inte gäller order som inte är totala . Dessutom är de strikta relationerna <och> till liten nytta i många icke-totala order och därför införs ingen ytterligare terminologi för dem.

Att låta ≤ beteckna delordningsrelationen för alla delvis ordnade uppsättningar, en monoton funktion, även kallad isoton , eller orderbevarande , uppfyller fastigheten

x ≤ y innebär f ( x ) ≤ f ( y ),

för alla x och y i dess domän. Kompositen av två monotona mappningar är också monoton.

Det dubbla begreppet kallas ofta antiton , anti-monoton eller ordningsomvändning . Därför uppfyller en antitonfunktion f egenskapen

x ≤ y innebär f ( y ) ≤ f ( x ),

för alla x och y i dess domän.

En konstant funktion är både monoton och antiton; om f är både monoton och antiton, och om f -domänen är ett gitter , måste f vara konstant.

Monotona funktioner är centrala i ordningsteorin. De förekommer i de flesta artiklar om ämnet och exempel från specialapplikationer finns på dessa platser. Några anmärkningsvärda speciella monotona funktioner är ordningsinbäddningar (funktioner för vilka x ≤ y om och endast om f ( x ) ≤ f ( y )) och ordningsisomorfismer ( inbyggda ord med inbyggd ordning).

I samband med sökalgoritmer

I samband med sökalgoritmer är monotonicitet (även kallad konsistens) ett villkor som tillämpas på heuristiska funktioner . En heuristisk h (n) är monotont om till varje nod n och varje efterföljare n ' av n som genereras av någon åtgärd a , den beräknade kostnaden för att nå målet från n inte är större än steget kostnaden för att få till n' plus uppskattad kostnad för att nå målet från n ' ,

${\ displaystyle h (n) \ leq c \ left (n, a, n '\ right)+h \ left (n' \ right).}$

Detta är en form av triangel ojämlikhet , med n , n ' , och målet G _n närmast n . Eftersom varje monoton heurist också är tillåten , är monotonin ett striktare krav än tillåtlighet. Vissa heuristiska algoritmer som A* kan bevisas optimala förutsatt att heuristiken de använder är monoton.

I booleska funktioner

Med den icke -monotona funktionen "om a då både b och c " visas falska noder ovanför sanna noder.

Hasse -diagram över den monotona funktionen "minst två av a , b , c håll". Färger indikerar funktionsutgångsvärden.

I boolesk algebra , är en sådan en monoton funktion att för alla en _i och b _i i {0,1}, om en ₁ ≤ b ₁ , en ₂ ≤ b ₂ , ..., en _n ≤ b _n (dvs. den Kartesisk produkt {0, 1} ⁿ beställs koordinatmässigt ), sedan f ( a ₁ , ..., a _n ) ≤ f ( b ₁ , ..., b _n ) . Med andra ord är en boolsk funktion monoton om, för varje kombination av ingångar, att byta en av ingångarna från falskt till sant bara kan få utgången att växla från falsk till sann och inte från sann till falsk. Grafiskt betyder detta att en n -ary -boolsk funktion är monoton när dess representation som en n -kub märkt med sanningvärden inte har någon uppåtgående kant från sant till falskt . (Detta märkta Hasse -diagram är det dubbla av funktionens märkta Venn -diagram , vilket är den vanligaste representationen för n ≤ 3. )

De monotoniska booleska funktionerna är just de som kan definieras genom ett uttryck som kombinerar ingångarna (som kan visas mer än en gång) med endast operatörerna och och eller (särskilt inte är förbjudet). Till exempel "minst två av a , b , c håll" är en monoton funktion av a , b , c , eftersom det kan skrivas till exempel som (( a och b ) eller ( a och c ) eller ( b och c ))).

Antalet sådana funktioner på n variabler är känt som Dedekind -talet för n .

Se även

• Monoton kubisk interpolation
• Pseudo-monoton operatör
• Spearmans rangkorrelationskoefficient - mått på monotonicitet i en uppsättning data
• Total monotonicitet
• Cyklisk monotonicitet
• Operatörens monotona funktion

Anteckningar

Bibliografi

• Bartle, Robert G. (1976). Elementen i verklig analys (andra upplagan).
• Grätzer, George (1971). Gitterteori: första begrepp och distributiva gitter . ISBN 0-7167-0442-0.
• Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2001). Matematik för ekonomer: en inledande lärobok . Manchester University Press. ISBN 0-7190-3341-1.
• Renardy, Michael & Rogers, Robert C. (2004). En introduktion till partiella differentialekvationer . Texter i tillämpad matematik 13 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag. sid. 356. ISBN 0-387-00444-0.
• Riesz, Frigyes & Béla Szőkefalvi-Nagy (1990). Funktionell analys . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-66289-3.
• Russell, Stuart J .; Norvig, Peter (2010). Artificiell intelligens: en modern metod (3: e upplagan). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-604259-4.
• Simon, Carl P .; Blume, Lawrence (april 1994). Matematik för ekonomer (första red.). ISBN 978-0-393-95733-4. (Definition 9.31)

externa länkar

• "Monoton funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Konvergens av en monoton sekvens av Anik Debnath och Thomas Roxlo (The Harker School), Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. "Monoton funktion" . MathWorld .