Cirkel och excirkler av en triangel - Incircle and excircles of a triangle

I geometri , den incircle eller inskriven cirkel av en triangel är den största cirkel som finns i triangeln; den berör (är tangent till) de tre sidorna. Cirkeln i mitten är ett triangelcentrum som kallas triangelns centrum .

En excirkel eller escribed cirkel av triangeln är en cirkel som ligger utanför triangeln, tangent till en av dess sidor och tangent till förlängningarna av de andra två . Varje triangel har tre distinkta excirkler, var och en tangent till en av triangelns sidor.

Cirkeln i mitten, kallad incenteret , kan hittas som skärningspunkten mellan de tre inre vinkeln . Centret för en excirkel är skärningspunkten mellan den inre halvan av en vinkel (vid toppunkt , till exempel) och de yttre halvorna för de andra två. Mitten av denna excirkel kallas excenter relativt toppunkten , eller excenter av . Eftersom den inre halvan av en vinkel är vinkelrät mot dess yttre halvering, följer det att cirkelns centrum tillsammans med de tre excirkelcentren bildar ett ortocentriskt system . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Alla vanliga polygoner har inringningar som tangerar alla sidor, men inte alla polygoner har det; de som gör det är tangentiella polygoner . Se även Tangentlinjer till cirklar .

Inringning och incenter

Antag att det har en cirkel med radie och centrum . Låt vara längden på , längden på och längden på . Också låt , och vara beröringspunkter där incircle berör , och . ${\ displaystyle \ triangel ABC}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle AB}$

Incenter

Incenter är den punkt där de inre vinkel bisectors av möts. ${\ displaystyle \ vinkel ABC, \ vinkel BCA, {\ text {och}} \ vinkel BAC}$

Avståndet från toppunkt till incenter är: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle d (A, I) = c {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {B} {2}} \ right)} {\ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ höger)}} = b {\ frac {\ sin \ vänster ({\ frac {C} {2}} \ höger)} {\ cos \ vänster ({\ frac {B} {2}} \ höger)} }.}$

Trilinjära koordinater

De trelinjiga koordinaterna för en punkt i triangeln är förhållandet mellan alla avstånd till triangelns sidor. Eftersom incenteret är samma avstånd från alla sidor av triangeln är de trelinjiga koordinaterna för incenteret

${\ displaystyle \ 1: 1: 1.}$

Barycentric koordinater

De barycentriska koordinaterna för en punkt i en triangel ger vikter så att punkten är det viktade genomsnittet av triangelns toppunktpositioner. Barycentric koordinater för incenteret ges av

${\ displaystyle \ a: b: c}$

där ,, och är längderna på sidorna av triangeln, eller motsvarande (med hjälp av sines lag ) av ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ sin (A): \ sin (B): \ sin (C)}$

där , och är vinklarna vid de tre hörnpunkterna. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

kartesiska koordinater

De kartesiska koordinaterna för incenteret är ett viktat medelvärde av koordinaterna för de tre hörnpunkterna som använder sidolängderna av triangeln relativt omkretsen (det vill säga med hjälp av de barycentriska koordinaterna ovan, normaliserade för att summera till enhet) som vikter. Vikten är positiva så att incenteret ligger inuti triangeln som anges ovan. Om de tre hörn är belägna vid , och , och sidorna mittemot dessa hörn har motsvarande längder , och , sedan incenter är vid ${\ displaystyle (x_ {a}, y_ {a})}$${\ displaystyle (x_ {b}, y_ {b})}$${\ displaystyle (x_ {c}, y_ {c})}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {ax_ {a} + bx_ {b} + cx_ {c}} {a + b + c}}, {\ frac {ay_ {a} + by_ {b} + cy_ { c}} {a + b + c}} \ höger) = {\ frac {a \ vänster (x_ {a}, y_ {a} \ höger) + b \ vänster (x_ {b}, y_ {b} \ höger) + c \ vänster (x_ {c}, y_ {c} \ höger)} {a + b + c}}.}$

Radie

Den inradius av incircle i en triangel med sidor av längd , , ges av ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}},}$ var ${\ displaystyle s = (a + b + c) / 2.}$

Se Herons formel .

Avstånd till topparna

Betecknar incenter av as , avstånden från incenter till topparna i kombination med längderna på triangelns sidor följer ekvationen ${\ displaystyle \ triangel ABC}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1.}$

Dessutom,

${\ displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2},}$

var och är triangelns circumradius respektive inradius . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$

Andra egenskaper

Samlingen av triangelcentra kan ges strukturen för en grupp under koordinatmässig multiplikation av trelinjiga koordinater; i denna grupp bildar incenteret identitetselementet .

Incircle och dess radieegenskaper

Avstånd mellan toppunkt och närmaste beröringspunkter

Avstånden från ett toppunkt till de två närmaste beröringspunkterna är lika; till exempel:

${\ displaystyle d \ left (A, T_ {B} \ right) = d \ left (A, T_ {C} \ right) = {\ frac {1} {2}} (b + ca).}$

Andra egenskaper

Antag att tangenspunkterna i cirkeln delar upp sidorna i längder på och , och , och och . Då har cirkeln radien ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {xyz} {x + y + z}}}$

och triangelns område är

${\ displaystyle \ Delta = {\ sqrt {xyz (x + y + z)}}.}$

Om de höjder från sidorna av längder , och är , och , då den inradius är en tredjedel av den harmoniska medelvärdet av dessa höjder; det är, ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h_ {a}}$${\ displaystyle h_ {b}}$${\ displaystyle h_ {c}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle r = {\ frac {1} {{\ frac {1} {h_ {a}}} + {\ frac {1} {h_ {b}}} + {\ frac {1} {h_ {c }}}}}.}$

Produkten av incircle radie och circumcircle radie av en triangel med sidor , och är ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle rR = {\ frac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Några förhållanden mellan sidorna, cirkelradien och cirkelradien är:

${\ displaystyle {\ begin {align} ab + bc + ca & = s ^ {2} + (4R + r) r, \\ a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & = 2s ^ {2} -2 (4R + r) r. \ Slut {justerad}}}$

Varje linje genom en triangel som delar både triangelns område och dess omkrets i hälften går genom triangelns centrum (centrum för dess cirkel). Det finns antingen en, två eller tre av dessa för en viss triangel.

Att beteckna mitten av inringningen av as har vi ${\ displaystyle \ triangel ABC}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1}$

och

${\ displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2}.}$

Inkretsningsradien är inte större än en nionde av summan av höjderna.

Det kvadratiska avståndet från incenter till circumcenter ges av ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle OI ^ {2} = R (R-2r)}$ ,

och avståndet från incenteret till mitten av niopunktscirkeln är ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle IN = {\ frac {1} {2}} (R-2r) <{\ frac {1} {2}} R.}$

Incentret ligger i den mediala triangeln (vars hörn är sidornas mittpunkter).

Förhållande till området för triangeln

Radien för incircle är relaterad till området av triangeln. Förhållandet mellan områdets yta och arean av triangeln är mindre än eller lika med , med jämställdhet endast för liksidiga trianglar . ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$

Antag att det har en cirkel med radie och centrum . Låt vara längden på , längden på och längden på . Nu är cirkeln tangentiell vid någon tidpunkt , och så är det rätt. Således är radien en höjd av . Därför har baslängd och höjd , och så har området . På samma sätt har området och har området . Eftersom dessa tre trianglar bryts ner ser vi att området är: ${\ displaystyle \ triangel ABC}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle \ angle AT_ {C} I}$${\ displaystyle T_ {C} I}$${\ displaystyle \ triangel IAB}$${\ displaystyle \ triangel IAB}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} cr}$${\ displaystyle \ triangel IAC}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} br}$${\ displaystyle \ triangel IBC}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ar}$${\ displaystyle \ triangel ABC}$${\ displaystyle \ Delta {\ text {of}} \ triangel ABC}$

${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {2}} (a + b + c) r = sr,}$     och     ${\ displaystyle r = {\ frac {\ Delta} {s}},}$

var är området för och är dess semiperimeter . ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ triangel ABC}$${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c)}$

För en alternativ formel, överväga . Detta är en rätvinklig triangel med en sida lika med och den andra sidan lika med . Detsamma gäller för . Den stora triangeln består av sex sådana trianglar och den totala ytan är: ${\ displaystyle \ triangel IT_ {C} A}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r \ cot \ left ({\ frac {A} {2}} \ höger)}$${\ displaystyle \ triangel IB'A}$

${\ displaystyle \ Delta = r ^ {2} \ left (\ cot \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) + \ cot \ left ({\ frac {B} {2}} \ right ) + \ cot \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) \ right).}$

Gergonne triangel och spets

Den Gergonne triangel (av ) definieras av de tre kontaktpunkterna av incircle på de tre sidorna. Kontaktpunkten motsatt är betecknad , etc. ${\ displaystyle \ triangel ABC}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T_ {A}}$

Denna Gergonne-triangel,, är också känd som kontakttriangeln eller intouch-triangeln av . Dess område är ${\ displaystyle \ triangel T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangel ABC}$

${\ displaystyle K_ {T} = K {\ frac {2r ^ {2} s} {abc}}}$

där , och är det område, radien på incircle , och semiperimeter av den ursprungliga triangeln, och , och är sidolängder av den ursprungliga triangeln. Detta är samma område som i extouch-triangeln . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

De tre linjerna , och skär varandra i en enda punkt som kallas Gergonne-punkten , betecknad som (eller triangelns centrum X ₇ ). Gergonne-punkten ligger i den öppna ortocentroidala skivan punkterad i sitt eget centrum och kan vara vilken punkt som helst. ${\ displaystyle AT_ {A}}$${\ displaystyle BT_ {B}}$${\ displaystyle CT_ {C}}$${\ displaystyle G_ {e}}$

Gergonnepunkten i en triangel har ett antal egenskaper, inklusive att det är symmetianpunkten i Gergonnetriangeln.

Trilinjära koordinater för hörn i intouch triangeln ges av

• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {A} = 0: \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ höger)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {B} = \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): 0: \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ höger)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {C} = \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({ \ frac {B} {2}} \ höger): 0.}$

Trilinjära koordinater för Gergonne-punkten ges av

${\ displaystyle \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ sek ^ {2} \ vänster ({\ frac {C} {2}} \ höger),}$

eller, likvärdigt, enligt Sines Law ,

${\ displaystyle {\ frac {bc} {b + ca}}: {\ frac {ca} {c + ab}}: {\ frac {ab} {a + bc}}.}$

Excircles och excenters

En excirkel eller escribed cirkel av triangeln är en cirkel som ligger utanför triangeln, tangent till en av dess sidor och tangent till förlängningarna av de andra två . Varje triangel har tre distinkta excirkler, var och en tangent till en av triangelns sidor.

Centret för en excirkel är skärningspunkten mellan den inre halvan av en vinkel (vid topp , till exempel) och de yttre halvorna för de andra två. Mitten av denna excirkel kallas excenter relativt toppunkten , eller excenter av . Eftersom den inre halvan av en vinkel är vinkelrät mot dess yttre halvering, följer det att centrum av incirkeln tillsammans med de tre excirkelcentren bildar ett ortocentriskt system . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Trilinjära koordinater för excenters

Medan incenteret av har trelinjiga koordinater , har excentrarna trelinjer , och . ${\ displaystyle \ triangel ABC}$ ${\ displaystyle 1: 1: 1}$${\ displaystyle -1: 1: 1}$${\ displaystyle 1: -1: 1}$${\ displaystyle 1: 1: -1}$

Exradii

Radierna på excirklerna kallas exradii .

Exradiens av motsatt cirkel (så rörande , centrerad på ) är ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle J_ {A}}$

${\ displaystyle r_ {a} = {\ frac {rs} {sa}} = {\ sqrt {\ frac {s (sb) (sc)} {sa}}},}$ var ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c).}$

Se Herons formel .

Derivation av exradii-formel

Andra egenskaper

Av formlerna ovan kan man se att excirklerna alltid är större än incircle och att den största excirkeln är den som tangerar den längsta sidan och den minsta excirkeln tangerar den kortaste sidan. Vidare ger kombination av dessa formler:

${\ displaystyle \ Delta = {\ sqrt {rr_ {a} r_ {b} r_ {c}}}.}$

Andra excirkelegenskaper

Omkretsarnas cirkulära skrov är invändigt tangent till var och en av excirklerna och är således en Apollonius-cirkel . Radien för denna Apollonius-cirkel är var är cirkeln radie och är semiperimeter av triangeln. ${\ displaystyle {\ tfrac {r ^ {2} + s ^ {2}} {4r}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$

Följande relationer håller bland inradius den circumradius den semiperimeter och excircle radier , , : ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle r_ {a}}$${\ displaystyle r_ {b}}$${\ displaystyle r_ {c}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} & = 4R + r, \\ r_ {a} r_ {b} + r_ {b} r_ {c} + r_ {c} r_ {a} & = s ^ {2}, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} & = \ left (4R + r \ höger) ^ {2} -2s ^ {2}. \ slut {justerad}}}$

Cirkeln genom de tre excirklarnas centrum har radie . ${\ displaystyle 2R}$

Om är ortocentret för , då ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ triangel ABC}$

${\ displaystyle {\ begin {align} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} + r & = AH + BH + CH + 2R, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} + r ^ {2} & = AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + (2R) ^ {2}. \ Slut {justerad }}}$

Nagel triangel och Nagelpunkt

Den Nagel triangel eller extouch triangel av betecknas med spetsarna , och som är de tre punkter där excircles berör hänvisningen och där är motsatsen till , etc. Detta är också känd som den extouch triangel av . Den circumcircle av extouch kallas Mandart cirkeln . ${\ displaystyle \ triangel ABC}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangel ABC}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ triangel T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangel ABC}$${\ displaystyle \ triangel T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$

De tre linjerna , och kallas triangelns delare ; de halverar var och en omkretsen av triangeln, ${\ displaystyle AT_ {A}}$${\ displaystyle BT_ {B}}$${\ displaystyle CT_ {C}}$

${\ displaystyle AB + BT_ {A} = AC + CT_ {A} = {\ frac {1} {2}} \ left (AB + BC + AC \ right).}$

Delarna skär varandra i en enda punkt, triangelns Nagel-punkt (eller triangelns centrum X ₈ ). ${\ displaystyle N_ {a}}$

Tre-linjära koordinater för extices triangelns hörn ges av

• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {A} = 0: \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ höger)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {B} = \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): 0: \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ höger)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {C} = \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({ \ frac {B} {2}} \ höger): 0.}$

Trilinjära koordinater för Nagelpunkten ges av

${\ displaystyle \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right),}$

eller, likvärdigt, enligt Sines Law ,

${\ displaystyle {\ frac {b + ca} {a}}: {\ frac {c + ab} {b}}: {\ frac {a + bc} {c}}.}$

Nagelpunkten är det isotomiska konjugatet av Gergonnepunkten.

Relaterade konstruktioner

Nio-punkts cirkel och Feuerbach-punkt

I geometri är niopunktscirkeln en cirkel som kan konstrueras för vilken triangel som helst . Det heter så eftersom det passerar genom nio betydande concycliska punkter definierade från triangeln. Dessa nio punkter är:

• Den mittpunkten av varje sida av triangeln
• Den foten av varje höjd
• Mittpunkten för linjesegmentet från varje toppunkt i triangeln till ortocentret (där de tre höjderna möts; dessa linjesegment ligger på sina respektive höjder).

1822 upptäckte Karl Feuerbach att varje triangels niopunktscirkel är externt tangent till den trekantens tre excirkler och internt tangent till dess cirkel ; detta resultat är känt som Feuerbachs teorem . Han bevisade att:

... cirkeln som passerar genom fötterna på höjderna i en triangel är tangent till alla fyra cirklar som i sin tur är tangent till tre sidor av triangeln ... ( Feuerbach 1822 ) harv-fel: inget mål: CITEREFFeuerbach1822 ( hjälp )

Den triangel centrum vid vilken incircle och de nio punkter cirkel beröring kallas Feuerbach punkten .

Incentrala och excentrala trianglar

Skärningspunkterna av de inre vinkel bisectors av med segmenten , , och är det hörn av den incentral triangeln . Trelinjiga koordinater för den inre triangelns hörn ges av ${\ displaystyle \ triangel ABC}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle CA}$${\ displaystyle AB}$

• ${\ displaystyle \ \ left ({\ text {vertex motsatt}} \, A \ höger) = 0: 1: 1}$
• ${\ displaystyle \ \ left ({\ text {vertex motsatt}} \, B \ höger) = 1: 0: 1}$
• ${\ displaystyle \ \ left ({\ text {vertex motsatt}} \, C \ höger) = 1: 1: 0.}$

Den excentrala triangeln i en referens triangel har hörn i mitten av referens triangelns excirkler. Dess sidor ligger på referens triangelns yttre vinkelhalvor (se figuren högst upp på sidan ). Trilinjära koordinater för topparna i den excentrala triangeln ges av

• ${\ displaystyle ({\ text {vertex motsatt}} \, A) = - 1: 1: 1}$
• ${\ displaystyle ({\ text {vertex motsatt}} \, B) = 1: -1: 1}$
• ${\ displaystyle ({\ text {vertex motsatt}} \, C) = 1: 1: -1.}$

Ekvationer för fyra cirklar

Låta vara en variabel punkt i Trilinjär koordinater , och låt , , . De fyra cirklarna som beskrivs ovan ges motsvarande av någon av de två givna ekvationerna: ${\ displaystyle x: y: z}$${\ displaystyle u = \ cos ^ {2} \ left (A / 2 \ right)}$${\ displaystyle v = \ cos ^ {2} \ left (B / 2 \ right)}$${\ displaystyle w = \ cos ^ {2} \ left (C / 2 \ right)}$

• Inringning:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz-2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ höger) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ vänster ({\ frac {C} {2}} \ höger) & = 0 \ slut {justerad}}}$

• ${\ displaystyle A}$ - excirkel:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz + 2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {-x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ höger) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ vänster ({\ frac {C} {2}} \ höger) & = 0 \ slut {justerad}}}$

• ${\ displaystyle B}$ - excirkel:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz-2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {-y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ höger) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ vänster ({\ frac {C} {2}} \ höger) & = 0 \ slut {justerad}}}$

• ${\ displaystyle C}$ - excirkel:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz + 2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ höger) \ pm {\ sqrt {-z}} \ cos \ vänster ({\ frac {C} {2}} \ höger) & = 0 \ slut {justerad}}}$

Eulers sats

Eulers sats säger att i en triangel:

${\ displaystyle (Rr) ^ {2} = d ^ {2} + r ^ {2},}$

var och är circumradius respektive inradius, och är avståndet mellan circumcenter och incenter. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle d}$

För excirkler är ekvationen liknande:

${\ displaystyle \ left (R + r _ {\ text {ex}} \ höger) ^ {2} = d _ {\ text {ex}} ^ {2} + r _ {\ text {ex}} ^ {2}, }$

var är radien på en av excirklerna, och är avståndet mellan omcentret och excirkelns centrum. ${\ displaystyle r _ {\ text {ex}}}$${\ displaystyle d _ {\ text {ex}}}$

Generalisering till andra polygoner

Vissa (men inte alla) fyrkantiga sidor har en cirkel. Dessa kallas tangentiella fyrkantiga sidor . Bland deras många egenskaper är det kanske viktigaste att deras två par på motsatta sidor har lika stora summor. Detta kallas Pitot-satsen .

Mer allmänt kallas en polygon med ett antal sidor som har en inskriven cirkel (det vill säga en som är tangent till varje sida) en tangentiell polygon .

Se även

• Circumgon
• Omskriven cirkel
• Ex-tangentiell fyrkant
• Harcourts sats  - Område av en triangel från dess sidor och vertexavstånd till vilken linje som helst som tangerar dess cirkel
• Circumconic and inconic  - En konisk sektion som passerar genom en hörn i en triangel eller är tangent till dess sidor
• Inskriven sfär
• Kraften i en punkt
• Steiner inellips
• Tangentiell fyrkant
• Trilliumteorem  - Ett uttalande om egenskaper hos inskrivna och avgränsade cirklar

Anteckningar

Referenser

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble , LCCN   52013504
• Kay, David C. (1969), College Geometry , New York: Holt, Rinehart and Winston , LCCN   69012075
• Kimberling, Clark (1998). "Triangelcentra och centrala trianglar". Congressus Numerantium (129): i – xxv, 1–295.
• Kiss, Sándor (2006). "Orthic-of-Intouch och Intouch-of-Orthic Triangles". Forum Geometricorum (6): 171–177.

externa länkar

• Derivation av formel för cirkelns cirkelradie av en triangel
• Weisstein, Eric W. "Incircle" . MathWorld .

Interaktiv

• Triangle incenter     Triangle incircle    Inkrets av en vanlig polygon    Med interaktiva animationer
• Konstruera en triangelns incenter / cirkel med kompass och rätlinje En interaktiv animerad demonstration
• Jämställdhetssats vid klippning
• The Five Incircles Theorem vid cut-the-knot
• Par av Incircles i en fyrkant vid knuten
• En interaktiv Java-applet för incenteret